2026年云南省中考数学专题练习二十七圆的综合题专题练习

这是一份2026年云南省中考数学专题练习二十七圆的综合题专题练习，共40页。试卷主要包含了已知等内容，欢迎下载使用。
（1）若CE＝CB，且∠CBE＝60°，求∠BCE的度数；
（2）求证：直线CF是⊙O的切线；
（3）探究，发现与证明：
已知AC平分∠BAE，是否存在常数a，b，使等式AC2＝aBC•CE+bAB•AE成立？若存在，请直接写出一个a的值和一个b的值，并证明你写出的a的值和b的值，使等式AC2＝aBC•CE+bAB•AE成立；若不存在，请说明理由．
2．（12分）（2025•楚雄市二模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，O为边AB上的一点，以O为圆心，OB的长为半径的圆与AC相切于点E，与AB交于另一点D，连接BE．
（1）求证：BE平分∠ABC．
（2）若BO＝4，BE＝6，求CE的长．
（3）在（2）的条件下，求csA的值．
3．（12分）（2025•禄丰市模拟）如图，在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点G，OA⊥CD于点E，过点B的直线与CD的延长线交于点F，AC∥BF．
（1）若∠FGB＝∠FBG，求证：BF是⊙O的切线；
（2）若tan∠F=34，CD＝24，求⊙O的半径；
（3）请问GF2−GB22DF⋅GF的值为定值吗？若是，请写出计算过程，若不是，请说明理由．
4.（12分）（2025•楚雄州模拟）已知AB为⊙O的直径，点C、D为⊙O上异于A、B的两点，点P在⊙O外，已知CD⊥AB，垂足为G，过点C作CE⊥AD，垂足为F，CE交AB于点H，连接DE．
（1）如图1，求证：∠E＝2∠ECD；
（2）如图1，若OA2＝OG•OP，判断PD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（3）如图2，连接BE，分别交AD，CD于点M，N，若OH＝2OG，HF=10，求线段EN的长．

5．（12分）（2025•建水县模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上的一点，CD⊥AD于点D，AD交⊙O于点F，连接AC，若AC平分∠DAB，过点F作FG⊥AB于点G交AC于点H．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）延长AB和DC交于点E，若AE＝4BE，求cs∠DAB的值；
（3）在（2）的条件下，求FHAF的值．
6．（12分）（2025•西山区校级模拟）如图，在△ABC中AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，M为AC上一点，∠CDM=12∠BAC，点E是∠ABD内一点，连接BE，延长ED至F，使ED＝DF，连接AF．
（1）若BC＝10，求CD的长；
（2）求证：DM为⊙O的切线；
（3）若AB2﹣BE2＝AF2，设BE的延长线交AF于点G，请判断点G在⊙O内、在⊙O上、在⊙O外，哪个正确？并说明理由．
7．（12分）（2025•盘龙区一模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AF是∠BAC的平分线，分别交BC于点G，交⊙O于点D，BD平分∠CBF，延长DO交⊙O于点E，过点E作EM⊥AB，垂足为点M．
（1）若∠CBD＝32°，求∠CAD的度数；
（2）求证：BF是⊙O的切线；
（3）看一看，想一想，证一证：以下与线段AB、线段AC、线段AM有关的三个结论：AB−ACAM＜2，AB−ACAM=2，AB−ACAM＞2，你认为哪个正确？请说明理由．
8．（12分）（2025•云南校级模拟）已知：如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，过点C的切线与直径AB的延长线相交于点P，连接PD．
（1）求证：PD是⊙O的切线．
（2）判断线段PD、PB、PA之间的数量关系，并加以证明．
（3）若PB＝3，tan∠CDB=12，求⊙O的半径的长．
参考答案
1．（12分）（2025•云南）如图，⊙O是五边形ABCDE的外接圆，BD是⊙O的直径．连接AC，BE，CE，∠AEC＝∠ACF．
（1）若CE＝CB，且∠CBE＝60°，求∠BCE的度数；
（2）求证：直线CF是⊙O的切线；
（3）探究，发现与证明：
已知AC平分∠BAE，是否存在常数a，b，使等式AC2＝aBC•CE+bAB•AE成立？若存在，请直接写出一个a的值和一个b的值，并证明你写出的a的值和b的值，使等式AC2＝aBC•CE+bAB•AE成立；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵CE＝CB，且∠CBE＝60°，
∴△CBE是等边三角形，
∴∠BCE＝60°；
（2）证明：延长CO交⊙O于点M，连接EM，如图，
∵CM是⊙O的直径，
∴∠CEM＝90°，
∴∠AEC+∠AEM＝90°，
∵∠AEM＝∠ACM，∠AEC＝∠ACF，
∴∠ACF+∠ACM＝90°，
∴∠MCF＝90°，
∴OC⊥CF，
∵OC是⊙O的半径，
∴直线CF是⊙O的切线；
（3）解：存在常数a＝1，b＝1，使等式AC2＝aBC•CE+bAB•AE成立；理由如下：
如图，设AC与BE交于点N，
∵AC平分∠BAE，
∴∠EAC＝∠BAC，
∵∠EAC＝∠EBC，∠BEC＝∠BAC，
∴∠EAC＝∠EBC＝∠BAC＝∠BEC，
∴CE＝CB，
∵∠BCN＝∠ACB，∠CBE＝∠BAC，
∴△BCN∽△ACB，
∴BCAC=CNCB，
∴BC2＝AC•CN①，
∵∠AEN＝∠BEA，∠EAC＝∠BAC，
∴△AEN∽△ACB，
∴AEAC=ANAB，
∴AE•AB＝AC•AN②，
①+②得：BC2+AE•AB＝AC•CN+AC•AN＝AC（CN+AN）＝AC2，
∵CE＝CB，
∴AC2＝BC•CE+AB•AE，
∴此时a＝1，b＝1．
∴存在常数a＝1，b＝1，使等式AC2＝aBC•CE+bAB•AE成立．
2．（12分）（2025•楚雄市二模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，O为边AB上的一点，以O为圆心，OB的长为半径的圆与AC相切于点E，与AB交于另一点D，连接BE．
（1）求证：BE平分∠ABC．
（2）若BO＝4，BE＝6，求CE的长．
（3）在（2）的条件下，求csA的值．
（1）证明：连接OE，如图，
∵AC为圆的切线，
∴OE⊥AC，
∵∠C＝90°，
∴BC⊥AC，
∴OE∥BC，
∴∠OEB＝∠BCE．
∵OE＝OB，
∴∠OEB＝∠OBE，
∴∠OBE＝∠CBE，
∴BE平分∠ABC；
（2）解：连接DE，如图，
∵BD为圆的直径，
∴∠BDE＝90°，
∵OB＝4，
∵BD＝2OB＝8，
∴DE=BD2−BE2=82−62=27．
由（1）知：∠OBE＝∠CBE，
∵∠DEB＝∠C＝90°，
∴△BED∽△BCE，
∴DEBD=CEBE，
∴278=CE6，
∴CE=372．
（3）解：连接DE，如图，
BC=BE2−EC2=62−(372)2=92．
由（1）知：OE∥BC，
∴△AEO∽△ACB，
∴AEAC=AOAB=OEBC=492=89，
∴AEAE+372=AOAO+4=89，
∴AE＝127，AO＝32．
∴csA=AEAO=12732=378．
3．（12分）（2025•禄丰市模拟）如图，在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点G，OA⊥CD于点E，过点B的直线与CD的延长线交于点F，AC∥BF．
（1）若∠FGB＝∠FBG，求证：BF是⊙O的切线；
（2）若tan∠F=34，CD＝24，求⊙O的半径；
（3）请问GF2−GB22DF⋅GF的值为定值吗？若是，请写出计算过程，若不是，请说明理由．
（1）证明：∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∵OA⊥CD，
∴∠OAB+∠AGC＝90°，
又∵∠FGB＝∠FBG，∠FGB＝∠AGC，
∴∠FBG+∠OBA＝90°，即∠OBF＝90°，
∴OB⊥FB，
∵AB是⊙O的弦，
∴点B在⊙O上，
∴BF是⊙O的切线；
（2）解：∵AC∥BF，
∴∠ACF＝∠F
∵CD＝24，OA⊥CD，
∴CE=12CD＝12，
∵tan∠F=34，
∴tan∠ACF=AECE=34，
即AE12=34，
解得AE＝9，
连接OC，如图1所示：
设圆的半径为r，则OE＝r﹣9，
在Rt△OCE中，CE2+OE2＝OC2，
即122+（r﹣9）2＝r2，
解得：r＝12.5；
（3）解：是定值22；理由如下：
连接BD，如图2所示：
∵∠DBG＝∠ACF，∠ACF＝∠F，
∴∠DBG＝∠F，
∵∠DGB＝∠FGB，
∴△BDG∽△FBG，
∴DGGB=GBGF，
即GB2＝DG•GF，
∴GF2−GB22DF⋅GF=GF2−DG⋅GF2DF⋅GF=GF(GF−DG)2DF⋅GF=GF⋅DF2DF⋅GF=12=22．

4.（12分）（2025•楚雄州模拟）已知AB为⊙O的直径，点C、D为⊙O上异于A、B的两点，点P在⊙O外，已知CD⊥AB，垂足为G，过点C作CE⊥AD，垂足为F，CE交AB于点H，连接DE．
（1）如图1，求证：∠E＝2∠ECD；
（2）如图1，若OA2＝OG•OP，判断PD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（3）如图2，连接BE，分别交AD，CD于点M，N，若OH＝2OG，HF=10，求线段EN的长．
（1）证明：连接AC，如图，
∵AB为⊙O的直径，CD⊥AB，
∴BD=BC，
∴∠DAB＝∠CAB，
∴∠DAC＝2∠DAB，
∵∠E＝∠DAC，
∴∠E＝2∠DAB．
∵CD⊥AB，
∴∠AGD＝90°，
∴∠ADG+∠DAB＝90°，
∵AF⊥CE，
∴∠DFC＝90°，
∴∠ADG+∠ECD＝90°，
∴∠ECD＝∠DAB，
∴∠E＝2∠ECD；
（2）解：PD是⊙O的切线，理由如下：
连接OD，如图，
∵点D在圆上，所以OD是⊙O的半径，
∴OD＝OA，
∵OA2＝OG•OP，
∴OD2＝OG•OP，
即ODOP=OGOD，
∵∠DOG＝∠DOP，
∴△DOG∽△DOP，
∴∠DGO＝∠PDO，
∵AB⊥CD，
∴∠OGD＝90°，
∴∠ODP＝90°，
∴OD⊥PD，
∵OD是⊙O的半径，
∴PD是⊙O的切线．
（3）解：连接AE，OC，BC，如图，
设OG＝x，则OH＝2x，HG＝3x，
∵AB⊥CD，CE⊥AD，
∴∠ECD+∠CHG＝∠ECD+∠CDF＝90°，
∴∠CHG＝∠CDF，
又∵∠ADC＝∠ABC，
∴∠CHG＝∠ABC，
∴CH＝CB．
∵CG⊥BH，
∴BG＝HG＝3x，OB＝BG+OG＝4x，
∴OC＝4x，AB＝8x，AH＝2x，
∵∠CHB＝∠AHE，∠CBA＝∠CEA，∠CHB＝∠CBA，
∴∠AHE＝∠CEA，
∴AE＝AH＝2x，
在Rt△OCG中，CG=OC2−OG2=15x，
在Rt△ABE中，BE=AB2−AE2=215x，
在Rt△HGC中，CH=HG2+CG2=26x，
由（1）可知：∠BAD＝∠DCE，
∴sin∠BAD＝sin∠DCE，
∵sin∠BAD=HFAH，sin∠DCE=HGCH，
即HFAH=HGCH，
∴102x=3x26x，
∴x=2153，
∴BE=215x=20，BG=3x=215，AB=8x=16153，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠BGN＝∠AEB＝90°，
∴∠ABE＝∠GBN，
∴△BGN∽△BEA，
∴BNAB=BGBE，
∴BN=BG⋅ABBE=215×1615320=8，
∴EN＝BE﹣BN＝12．
5．（12分）（2025•建水县模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上的一点，CD⊥AD于点D，AD交⊙O于点F，连接AC，若AC平分∠DAB，过点F作FG⊥AB于点G交AC于点H．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）延长AB和DC交于点E，若AE＝4BE，求cs∠DAB的值；
（3）在（2）的条件下，求FHAF的值．
（1）证明：如图1，连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠CAO＝∠ACO，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠OAC，
∴∠DAC＝∠ACO，
∴AD∥OC，
∵CD⊥AD，
∴OC⊥CD，
∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵AE＝4BE，OA＝OB，
设BE＝x，则AB＝3x，
∴OC＝OB＝1.5x，
∵AD∥OC，
∴∠COE＝∠DAB，
∴cs∠DAB＝cs∠COE=OCOE=；
（3）解：由（2）知：OE＝2.5x，OC＝1.5x，
∴EC=OE2−OC2=(2.5x)2−(1.5x)2=2x，
∵FG⊥AB，
∴∠AGF＝90°，
∴∠AFG+∠FAG＝90°，
∵∠COE+∠E＝90°，∠COE＝∠DAB，
∴∠E＝∠AFH，
∵∠FAH＝∠CAE，
∴△AHF∽△ACE，
∴FHAF=CEAE=2x4x=12
6．（12分）（2025•西山区校级模拟）如图，在△ABC中AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，M为AC上一点，∠CDM=12∠BAC，点E是∠ABD内一点，连接BE，延长ED至F，使ED＝DF，连接AF．
（1）若BC＝10，求CD的长；
（2）求证：DM为⊙O的切线；
（3）若AB2﹣BE2＝AF2，设BE的延长线交AF于点G，请判断点G在⊙O内、在⊙O上、在⊙O外，哪个正确？并说明理由．
（1）解：连接CD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠BDA＝90°，即AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴点D为BC中点，
∴CD=12BC=12×10=5；
（2）证明：连接OD，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴AD平分∠BAC，
∴∠DAC=12∠BAC，
∵∠CDM=12∠BAC，
∴∠CDM＝∠DAC，
∵∠C＝∠C，
∴△CDM∽△CAD，
∴∠DMC＝∠ADC＝90°，
∵点O是AB的中点，点D是BC的中点，
∴OD∥AC，
∴∠ODM＝∠DMC＝90°，
即OD⊥DM，
∵OD为半径，
∴DM为⊙O的切线；
（3）解：点G在⊙O上，理由如下：
连接CF，延长BE交AF于点G，连接OG，
在△BDE和△CDF中，
ED=DF∠BDE=∠CDFBD=CD，
∴△BDE≌△CDF（SAS），
∴BE＝CF，∠EBD＝∠FCD，
∴BE∥CF，
∵AB2﹣BE2＝AF2，
又∵BE＝CF，AB＝AC，
∴AC2＝AF2+CF2，
∴∠AFC＝90°，
∴△AFC是直角三角形，
∵BG∥CF，
∴∠BGF＝∠AFC＝90°，
∴∠BGA＝180°﹣90°＝90°，
在Rt△AGB中，
∵点O是AB的中点，
∴OG=OA=12AB，
∴点G在⊙O上．
7．（12分）（2025•盘龙区一模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AF是∠BAC的平分线，分别交BC于点G，交⊙O于点D，BD平分∠CBF，延长DO交⊙O于点E，过点E作EM⊥AB，垂足为点M．
（1）若∠CBD＝32°，求∠CAD的度数；
（2）求证：BF是⊙O的切线；
（3）看一看，想一想，证一证：以下与线段AB、线段AC、线段AM有关的三个结论：AB−ACAM＜2，AB−ACAM=2，AB−ACAM＞2，你认为哪个正确？请说明理由．
（1）解：∵CD=CD，
∴∠CAD＝∠CBD＝32°；
（2）证明：连接AE，OB，
∵BD平分∠CBF，
∴∠FBD＝∠CBD，
∵CD=CD，
∴∠CBD＝∠DAC，
∵AF是∠BAC的平分线，
∴∠DAC＝∠BAD，
∴∠BAD＝∠FBD，
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB，
∵∠ODB＝∠BAE，
∴∠BAE＝∠OBD，
∵DE为直径，
∴∠EAD＝90°，
∴∠BAE+∠BAD＝90°，
∴∠OBD+∠FBD＝90°，
∴∠OBF＝90°，
即OB⊥BF，
∵OB是半径，
∴BF是⊙O的切线；
（3）AB−ACAM=2．
证明：连接BE、CE、AE，在BM上截取NM＝AM，连接EN，设ED与BC交于H，如图2所示：
∵EM⊥AB，
∴AE＝NE，
∴∠ANE＝∠NAE，
∵OD⊥BC，
∴BH＝CH，
∴BE＝CE，
∴∠ECB＝∠EBC，
∵∠EAB＝∠ECB，
∴∠EAB＝∠EBC＝∠ECB＝∠ANE，
∵∠AEN＝180°﹣∠ANE﹣∠EAN，∠BEC＝180°﹣∠EBC﹣∠ECB，
∴∠BEC＝∠AEN，
∴∠BEC﹣∠CEN＝∠AEN﹣∠CEN，即∠BEN＝∠CEA，
在△BEN和△CEA中，
BE=CE∠BEN=∠CEAEN=AE，
∴△BEN≌△CEA（SAS），
∴BN＝AC，
∵BN＝AB﹣AN＝AB﹣2AM，
∴AC＝AB﹣2AM，
∴AB﹣AC＝2AM，
∴AB−ACAM=2．
8．（12分）（2025•云南校级模拟）已知：如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，过点C的切线与直径AB的延长线相交于点P，连接PD．
（1）求证：PD是⊙O的切线．
（2）判断线段PD、PB、PA之间的数量关系，并加以证明．
（3）若PB＝3，tan∠CDB=12，求⊙O的半径的长．
（1）证明：连接OD，OC，如图，
∵PC是⊙O的切线，
∴∠PCO＝90°，
∵AB⊥CD，AB是直径，
∴弧BD＝弧BC，
∴∠DOP＝∠COP，
在△DOP和△COP中，
DO=CO∠DOP=∠COPOP=OP，
∴△DOP≌△COP（SAS），
∴∠PDO＝∠PCO＝90°，
∴OD⊥PD，
∵OD是⊙O的半径，
∴PD是⊙O的切线；
（2）解：PD2＝PB•PA．理由如下：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠PDO＝90°，
∴∠ADO＝∠PDB＝90°﹣∠BDO，
∵OA＝OD，
∴∠A＝∠ADO，
∴∠A＝∠PDB，
∵∠BPD＝∠DPA，
∴△PDB∽△PAD，
∴PD：PA＝PB：PD，
∴PD2＝PA•PB；
（3）解：∵弧BD＝弧BC，
∴∠A＝∠BDC，
∵tan∠BDC=12，
∴tanA=BDAD=12，
∵△PDB∽△PAD，
∴PBPD=PDPA=BDAD=12，
∵PB＝3，
∴PD＝6，
∴PA＝12，
∴AB＝PA﹣PB＝9．
∴⊙O的半径的长为4.5．