2026届高三数学二轮专题复习课件第4篇第5讲

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第5讲　立体几何与空间向量
1．空间几何体的表面积和体积
2．球的组合体(1)球与长方体的组合体：长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长．(2)球与正方体的组合体：正方体的内切球的直径是正方体的棱长，正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长，正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长．
3．空间线面位置关系的证明方法
4．用空间向量证明平行、垂直设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α、β的法向量分别为μ＝(a2，b2，c2)，υ＝(a3，b3，c3)．则有：(1)线面平行l∥α⇔a⊥μ⇔a·μ＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.(2)线面垂直l⊥α⇔a∥μ⇔a＝kμ⇔a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2.
(3)面面平行α∥β⇔μ∥υ⇔μ＝λυ⇔a2＝λa3，b2＝λb3，c2＝λc3.(4)面面垂直α⊥β⇔μ⊥υ⇔μ·υ＝0⇔a2a3＋b2b3＋c2c3＝0.
5．用向量求空间角(1)直线l1，l2的夹角θ有cs θ＝|cs〈l1，l2〉|(其中l1，l2分别是直线l1，l2的方向向量)．(2)直线l与平面α的夹角θ有sin θ＝|cs〈l，n〉|(其中l是直线l的方向向量，n是平面α的法向量)．(3)平面α，β的夹角θ有cs θ＝|cs〈n1，n2〉|，则α－l－β二面角的平面角为θ或π－θ(其中n1，n2分别是平面α，β的法向量)．
忽视平面图形翻折前后的显性关系
●易错剖析易错点1：不清楚空间点、线、面的位置关系突破点：解决这类问题的基本思路有两个：一是逐个寻找反例作出否定的判断或逐个进行逻辑证明作出肯定的判断；二是结合长方体模型或实际空间位置(如课桌、教室)作出判断，要注意定理应用准确、考虑问题全面细致．
易错点2：表面积的计算不准确突破点：在求表面积时还要注意空间物体是不是中空的，表面积与侧面积要认真区分．易错点3：对折叠与展开问题认识不清致误突破点：注意折叠或展开过程中平面图形与空间图形中的变量与不变量，不仅要注意哪些变了，哪些没变，还要注意位置关系的变化．易错点4：建立空间直角坐标系不当致误突破点：利用空间向量坐标法求解空间角或距离时，应首先考虑建立空间直角坐标系，但一定要找到两两垂直关系，该证明的需要证明．
【解析】　(1)证明：∵BM⊥AD，CN⊥AD，∴BM∥CN，在四棱锥D－ABCN中，CN⊂平面CDN，BM⊄平面CDN，∴BM∥平面CDN，又平面BMEF∩平面CDN＝EF，∴BM∥EF，∵平面ADN⊥平面ABCN且交于AN，BM⊥AN，∴BM⊥平面ADN，即EF⊥平面ADN，又DA⊂平面ADN，∴EF⊥DA．
(2)存在，E为棱DN上靠近N点的四等分点．∵DA＝DN，AM＝MN＝1，连接DM，∴DM⊥AN，又平面ADN⊥平面ABCN，且平面ADN∩平面ABCN＝AN，∴DM⊥平面ABCN.如图，以M为坐标原点，分别以MA，MB，MD所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
建立空间直角坐标系忽视垂直关系的证明
2．(2025·腾冲市校级三模)如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD.(1)证明：平面AEC⊥平面BED；
【解析】　(1)证明：因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD，因为BE⊥平面ABCD，所以AC⊥BE，BD∩BE＝B，故AC⊥平面BED，又AC⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面BED.
过G作直线l⊥平面ABCD，以G为原点，直线GB为x轴，直线GC为y轴，l为z轴建立空间直角坐标系G－xyz.