黑龙江省十所名校2025-2026学年高一下学期3月开学考试 数学（含解析）（含解析）

这是一份黑龙江省十所名校2025-2026学年高一下学期3月开学考试 数学（含解析）（含解析），共2页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知角，则角为（ ）
A．第一象限角B．第二象限角
C．第三象限角D．第四象限角
2．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
3．若函数图象的相邻两个对称中心的距离为，则（ ）
A．1B．2C．4D．8
4．已知，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．某公司为提升科研能力，计划逐年加大科研经费投入，若该公司2025年全年投入科研经费1700万元，在此基础上，每年投入的科研经费比上一年增长，则该公司全年投入的科研经费开始超过2500万元的年份是（ ）
（参考数据：，，）
A．2027年B．2028年C．2029年D．2030年
7．函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
8．若，则（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．若，则（ ）
A．B．
C．D．
10．已知函数满足：，且当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．为周期函数
C．为偶函数
D．关于的方程恰有5个解
11．已知函数，，则下列说法正确的是（ ）
A．的图象是中心对称图形
B．在上单调递增
C．当时，
D．若，且，则
三、填空题
12． .
13．已知，且，则的最大值为 .
14．已知函数在区间上恰有两个零点，则的取值范围是 .
四、解答题
15．（1）已知，求的值；
（2）若是第一象限角，且，求的值.
16．已知函数.
(1)求的最小正周期及单调递减区间；
(2)若，且，求的值.
17．某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
(1)求函数的解析式；
(2)求不等式的解集；
(3)将图象上的所有点向右平移个单位长度，并把图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象.若满足，求的最小值.
18．已知函数，函数.
(1)求的定义域；
(2)判断在上的单调性，并用定义证明；
(3)若，使得成立，求的取值范围.
19．已知函数的定义域为，且是偶函数，是奇函数.
(1)求的解析式；
(2)已知函数.
（i）证明：函数有且只有一个零点；
（ii）记函数的零点为，证明：.
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参考答案
1．B
【详解】已知角，所以，故角为第二象限角.
故选:B.
2．C
【详解】由题意知.
因为，所以.
故选：C.
3．C
【详解】因为函数图象的相邻两个对称中心的距离为，
所以的最小正周期，又，所以.
故选：C.
4．D
【详解】因为，所以，
所以
．
故选：D．
5．B
【详解】若，此时，但是，故“”不是“”的充分条件；
若，由函数的定义知，若，则必有，而时，推不出，
故“”是“”的必要条件.
综上，“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
6．C
【详解】取2026年是第1年，根据题意得第年该公司全年投入的科研经费为.
令，即，即，
两边取对数可得：，即，
则，
则第4年，即2029年该公司全年投入的科研经费开始超过2500万元.
故选：C.
7．D
【详解】因为，所以，
所以，
又，所以，所以，
即函数的值域为.
故选：D.
8．A
【详解】因为，而当时，，当时，，所以，
因为，而当时，，所以，
因为，而当时，，所以，
由，得，
所以为和图象交点的横坐标，
为和图象交点的横坐标，
在同一个平面直角坐标系作出和的图象，如图所示，
由图可得，综上，．
故选：A．
9．BD
【详解】对于A，当时，显然不成立，故A错误；
对于B，因为，所以，即，故B正确；
对于C，当满足，但是，故，故C错误；
对于D，因为，所以，而，所以，故D正确.
故选：BD.
10．BC
【详解】在中，
令，得，
又当时，，
所以，
所以，
解得，故A错误；
由，得，
所以，
所以是周期为2的周期函数，故B正确；
当时，，
又，显然当时，函数为偶函数，
又因为函数的周期为2，
所以函数是实数集上的偶函数，故C正确；
函数的图象如下图所示：
由图可知函数的图象与的图象有6个交点，
故关于的方程恰有6个解，故D错误.
故选：BC.
11．ABD
【详解】因为关于原点对称，所以关于对称，所以的图象是中心对称图形，故A正确；
，
又，均在上单调递增，所以在上单调递增，故B正确；
易得在上单调递增，又当时，，所以，所以，所以，故C错误；
由，得，即，
又，所以，所以，故D正确.
故选：ABD.
12．
【详解】易知.
故答案为：
13．
【详解】由题可得，
所以，
则，当且仅当，
即时取等号，
所以，
即的最大值是.
故答案为：.
14．
【详解】函数在区间上恰有两个零点，
则在区间上有两个实数解，
由可得，
又，故有在上有两个不同的实数解，
而当时，，所以，
解得，即的取值范围是.
故答案为：.
15．（1）（2）
【详解】（1）由题意知，
所以.
（2）因为，又是第一象限角，
易得，
所以.
16．(1)，
(2)
【详解】（1）
，
所以的最小正周期为，
令，
解得，所以函数的单调递减区间为
（2）由题意知，
又，所以，又，所以.
若，则，不符合题意；
所以，所以，
所以
17．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由题意知，解得，，
又，解得，
所以.
（2）由，得，所以，
解得，
即不等式的解集为.
（3）将的图象向右平移个单位长度，得到的图象，
再将图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到的图象，
因为，所以的图象关于中心对称，
所以，解得，
因为，所以当时，此时取得最小值为.
18．(1)
(2)单调递增，证明见解析
(3)
【详解】（1）由题意知，整理得，
所以，解得，即的定义域为；
（2）在上单调递增，证明如下：
任取，且，
则
，
又，所以，所以，
即，所以在上单调递增；
（3）若，使得成立，则.
由（2）知在上单调递增，所以，
记，
因为，所以，所以，
当时，，
则，所以，所以或，又，所以；
当时，，
则，所以，所以，又，所以；
综上，的取值范围为.
19．(1)
(2)（i）证明见解析（ii）证明见解析
【详解】（1）因为是偶函数，所以，
所以，
又是奇函数，
所以，所以，
所以，即.
（2）（i）由题意知
，
当，则，
此时在上单调递增，
又在上单调递增，所以在上单调递增，
又，
所以在上有
唯一零点；
当，所以，
所以在上没有零点；
当时，，所以，所以，
所以在上没有零点.
综上，有且只有一个零点.
（ii）由题意知，且，
所以，
所以，
令，
因为，所以，又，
则，
所以
，
即.