辽宁省部分重点高中2025-2026学年高一下学期3月开学考试 数学（含解析）

这是一份辽宁省部分重点高中2025-2026学年高一下学期3月开学考试 数学（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
2．函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
3．函数的零点所在区间为，则（ ）
A．0B．1C．2D．3
4．若向量，且，则实数m的值为（ ）
A．－2B．－C．1D．－2或1
5．已知函数的定义域为，且对，，则（ ）
A．3B．2C．D．
6．金秋十月，某校举行运动会，甲、乙两名同学均从跳高、跳远、100米跑和200米跑这四个项目中选择两个项目参加.设事件 “甲、乙两人所选项目恰有一个相同”，事件 “甲、乙两人所选项目完全不同”，事件 “甲、乙两人所选项目完全相同”，事件 “甲、乙两人均未选择100米跑项目”，则（ ）
A．A与C是对立事件B．C与D相互独立
C．A与D相互独立D．B与D不互斥
7．已知函数为幂函数，若函数，则的零点所在区间为（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．下列关于向量说法，正确的是（ ）
A．若，，则
B．在△ABC中，若，则△AOC与△ABC的面积之比为
C．两个非零向量，，若，则与共线且反向
D．若，则存在唯一实数使得
10．已知函数则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若在上单调递增，则的值可以为
C．存在，使得在上单调递减
D．若的值域为，则的取值范围为
11．为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：
根据此频率分布直方图，下面结论中正确的是（ ）
A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比例估计为6%
B．估计该地农户家庭年收入的85%分位数为10万元
C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
三、填空题
12．__________.
13．若，则的最大值是______.
14．若函数满足在定义域内的某个集合上，是一个常数，则称在上具有性质.设为上具有性质的偶函数.若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是______.
四、解答题
15．已知函数（其中a为常数）是定义域为的偶函数.
(1)求的解析式，并直接写出的单调区间和最小值；
(2)解不等式.
16．如图，在中，.设.
(1)用表示；
(2)若为内部一点，且.求证：三点共线.
17．已知华为公司生产mate系列的某款手机的年固定成本为200万元，每生产1只还需另投入80元.设华为公司一年内共生产该款手机x万只并全部销售完，每万只的销售收入为R（x）万元，且R（x）＝
(1)写出年利润W（万元）关于年产量x（万只）的函数解析式；
(2)当年产量为多少万只时，华为公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润.
18．已知函数，函数.
(1)求的定义域；
(2)判断在上的单调性，并用定义证明；
(3)若，使得成立，求的取值范围.
19．定义．
(1)用解析式表示，并写出的定义域：
(2)证明：；
(3)设．若对任意，都存在，使得，求实数的取值范围．
参考答案
1．D
【详解】易知集合，，
则.
故选：D
2．A
【详解】由题意得，
所以，
故选：A.
3．A
【详解】由于的定义域为R，且都为增函数，
故也为增函数，
且，即
因此零点在区间上，即．
故选：A
4．D
【详解】因为向量，且，
所以，解得m=－2或1.故A，B，C错误.
故选：D.
5．A
【详解】分别令和得到：，解得：．
故选：A．
6．C
【详解】设跳高、跳远、100米跑和200米跑分别为1，2，3，4，则甲、乙两名同学均从跳高、跳远、100米跑和200米跑中选择两个项目参加的情况有：
（1212），（1312），（1412），（2312），（2412），（3412），（1213），
（1313），（1413），（2313），（2413），（3413），（1214），（1314），（1414），（2314），
（2414），（3414），（1223），（1323），（1423），（2323），（2423），（3423），（1224），
（1324），（1424），（2324），（2424），（3424），（1234），（1334），（1434），（2334），（2434），（3434），共36种，
其中A有24种情况，B有6种情况，C有6种情况，D有9种情况，则，，，.
由可得A与C不是对立事件，选项A错误.
，C与D不相互独立，选项B错误.
，A与D相互独立，选项C正确.
由B与D不可能同时发生可知B与D互斥，选项D错误.
故选：C.
7．B
【详解】因为函数为幂函数，
所以，解得，所以，.
因为，，，
，，
由解析式可知在上单调递增，
所以在上有唯一零点.
故选：B.
8．A
【详解】根据题意，函数
设，则有，解可得，
即函数的定义域为，关于原点对称，
又由，即函数为奇函数，
设，则，
，在上为增函数，而在上为增函数，
故在区间上为增函数，
又为增函数，所以在区间上为增函数，
不等式即为，
也即，
所以，解得.
故选：A.
9．BC
【详解】对于A，当时，因为零向量与任意向量都平行，所以，成立，而此时不一定平行，所以A错误，
对于B，因为，所以，设为的中点，连接，
则，所以，所以点到的距离等于点到的距离的3倍，
所以△AOC与△ABC的面积之比为，所以B正确，
对于C，由，得，化简得，
所以，所以与的夹角为，所以与共线且反向，所以C正确，
对于D，当时，不存在唯一实数使得，所以D错误.
故选：BC
10．ABD
【详解】由题意得，得，得，A正确；
若在上单调递增，则，得，B正确；
若在上单调递减，则，不等式组无解，C错误；
若的值域为，则，得在上单调递增．
当时，在上单调递增，则，得，即．
当时，在上单调递减，在上单调递增，则，得恒成立，即2．
综上，的取值范围为，D正确．
故选：ABD.
11．ABD
【详解】对于A，由频率分布直方图低于4.5万元的农户比例约为，A正确；
对于B，由频率分布直方图知收入超过10.5万元的有，收入在之间的有．低于9.5万元有80%，
而因此85%分位数，B正确；
对于C，平均值约为，C错；
对于D，家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的有，D正确．
故选：ABD．
12．
【详解】易知.
故答案为：
13．
【详解】由题设，则，
当且仅当，即时取等号，故的最大值是.
故答案为：
14．
【详解】设，
则，
由题意知，为偶函数，所以
即，所以，
则，，
令，因为，所以，
函数在单调递减，在单调递增，
当，，当，，当，，
所以当时，函数的值域为，
则当时，函数的值域为，
令，，
则关于的不等式在上恒成立，可化为在上恒成立，
不等式可化为，
即在上恒成立，
函数和函数在上均单调递减，
故函数在上单调递减，
则，
则，即实数的取值范围是.
故答案为：.
15．(1)，的单调减区间是，单调增区间是，最小值是
(2).
【详解】（1）因为是偶函数，所以对，都有
即，
整理得，所以，
，
令，则，
由可得，所以，
则，
所以函数在上单调递增，
结合奇偶性可得的单调减区间是，单调增区间是，
的最小值是.
（2）因为是偶函数，且在是增函数，
所以等价于，
解得：，
所以不等式的解集是.
16．(1)，
(2)证明见解析
【详解】（1），
；
（2），
又，故，
故三点共线.
17．(1)
(2)当年产量为32万只时，利润最大，最大利润为30520万元
【详解】（1）利用利润等于收入减去成本，可得
当时，；
当x＞40时，W＝xR（x）﹣（80x+200）＝,
∴.
（2）当0＜x≤40时，W＝﹣30（x-32）2+30520∴当x=32时，Wmax＝30520,
当x>40时，,
当且仅当，即x=50时，“=”成立，此时W取最大值28800,
∵30520>28800, ∴当年产量为32万只时，利润最大，最大利润为30520万元.
18．(1)
(2)单调递增，证明见解析
(3)
【详解】（1）由题意知，整理得，
所以，解得，即的定义域为；
（2）在上单调递增，证明如下：
任取，且，
则
，
又，所以，所以，
即，所以在上单调递增；
（3）若，使得成立，则.
由（2）知在上单调递增，所以，
记，
因为，所以，所以，
当时，，
则，所以，所以或，又，所以；
当时，，
则，所以，所以，又，所以；
综上，的取值范围为.
19．(1)，定义域为；
(2)证明见解析；
(3).
【详解】（1）设 ，.
令得：，
，
，解得 或 ，
由于 是开口向上的二次函数（二次项系数为正），
当 或 时，，故 ；
当 时，，故 .
因此，，定义域为 .
（2）证明：情况一：当时，
等式右边；
情况二：当时，，
等式右边.
综上，等式成立.
（3）依题意知：在上的值域是在上的值域的子集，
由于 在 上单调递增，值域为 .
因此，只需满足对任意 ，有 .
，
，
，
令，，
，
由（2）知：，
要使对任意 恒成立，
又对任意 恒成立，
所以只需对任意 恒成立，
易知：当时，不成立；
当时，，
故.