黑龙江省大庆市重点高中2025-2026学年高一下学期3月开学考试 数学（含解析）

这是一份黑龙江省大庆市重点高中2025-2026学年高一下学期3月开学考试 数学（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．由单词“Chinese”中的字母作为集合A中的元素，则集合A中的元素个数为（ ）
A．3B．5C．6D．7
2．已知，则角的终边位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
3．我国著名数学家华罗庚先生曾说，数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，经常用函数的图象研究函数的性质，也常利用函数的解析式来琢磨函数图象的特征．函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
4．已知，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
6．已知扇形OAB的周长是60 cm，则扇形OAB的面积最大时圆心角的弧度数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．已知，，且，则的最大值为（ ）
A．6B．C．D．
8．已知函数，有三个不同的零点，，，且，则的范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知p是r的充分不必要条件，q是r的充分条件，s是r的充要条件，q是s的必要条件，则（ ）
A．q是s的充要条件B．p是s的充分不必要条件
C．q是s的充分不必要条件D．p是s的充要条件
10．关于的不等式的解集是，则（ ）
A．
B．
C．不等式的解集是
D．方程的解集是
11．已知函数则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若在上单调递增，则的值可以为
C．存在，使得在上单调递减
D．若的值域为，则的取值范围为
三、填空题
12．命题“”的否定是______.
13．已知实数，满足，，则的范围是____________
14．已知在区间上是严格增函数，则的取值范围是______．
四、解答题
15．已知集合，集合．
(1)求集合中的取值范围．
(2)若是的充分不必要条件，求取值范围．
16．函数是定义在上的奇函数，且.
(1)证明在上的单调性；
(2)解关于的不等式.
17．已知函数的图象过点，．
(1)求函数的解析式；
(2)若函数的定义域为，求的值域．
18．已知.
(1)若函数的图象过点（1，1），求函数的解析式；
(2)若函数只有一个零点，求实数a的取值范围.
19．我们将满足下列条件的函数称为“伴随函数”：存在一个正常数，对于任意的都有且．
(1)是否存在正常数，使得是“伴随函数”？若存在，请求出一个的值；若不是，请说明理由；
(2)已知是“伴随函数”，且的最小值为．
（i）求的解析式；
（ii）若为方程在上的根，求的值．
参考答案
1．C
【详解】根据集合中元素的互异性，.
即A中的元素个数为6，
故选：C
2．C
【详解】根据三角函数的符号与角的象限间的关系，
由，可得角的终边位于第三象限.
故选：C
3．A
【详解】，所以BD选项错误.
，所以C选项错误.
故选：A
4．B
【详解】由.
故选：B.
5．B
【详解】因为函数的定义域为，则函数的自变量满足：
，解得，
所以函数的定义域为，
故选：B
6．B
【详解】设半径为，圆心角的弧度数为，则，即
则扇形OAB的面积为
当时，扇形OAB的面积最大，此时圆心角的弧度数为
故选：B
7．C
【详解】由，，可得，
且，得，
当且仅当，即时取等号，
因此，所以的最大值为.
故选：C.
8．D
【详解】令，当时，，的图象如图所示，
由对称性可知，∴,
又∵，
∴，
,故，
∴,
故选：.
9．AB
【详解】因为p是r的充分不必要条件，q是r的充分条件，
所以，，.因为s是r的充要条件，所以.
因为q是s的必要条件，所以.
综上可得，，，但，
即q是s的充要条件，p是s的充分不必要条件.
故选：AB.
10．BC
【详解】由题意可知，所以，故A不正确，B正确；
不等式可化为，即，
所以解集为，故C正确；
方程可化为，即，
所以方程的解集是，故D不正确．
故选：BC.
11．ABD
【详解】由题意得，得，得，A正确；
若在上单调递增，则，得，B正确；
若在上单调递减，则，不等式组无解，C错误；
若的值域为，则，得在上单调递增．
当时，在上单调递增，则，得，即．
当时，在上单调递减，在上单调递增，则，得恒成立，即2．
综上，的取值范围为，D正确．
故选：ABD.
12．
【详解】根据全称量词命题的否定可知，命题“”的否定是“”.
13．
【详解】由题意，实数a，b满足，，
令，即
可得，解得，
所以，
则 ，，
所以.
故答案为：.
14．
【详解】，
因为在区间上是严格增函数，
所以，即.
故答案为：.
15．(1)或
(2)
【详解】（1）因为，所以，解得或，
所以的取值范围是或.
（2）因为恒成立，所以或，
所以或，
又因为是的充分不必要条件，所以⫋，
所以，解得，
当或时，，所以满足要求，
综上所述，的取值范围是.
16．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数，所以，解得；
又，则，解得；
函数的定义域为，定义域关于原点对称，
，
所以函数为奇函数，所以.
设，
则.
又，则，，，，
则，即，
则函数在上为增函数.
（2）由（1）知为奇函数且在上为增函数，
所以，即，也即，
所以，解得，
故不等式的解集为.
17．(1)
(2)
【详解】（1）由题意得，，即，则，
所以．
（2）令，因为，则，
则，所以在上单调递减，
因为，，所以，即的值域为．
18．(1)
(2)或
【详解】（1）∵函数的图象过点（1，1），
∴，解得
此时
（2）
∵函数只有一个零点，
只有一解，
将代入，得，
∴关于x的方程只有一个正根
⑴当时，
⑵当时:
①若有两个相等的实数根，
由，解得，此时，满足题意；
②若方程有两个相异实数根，即一正一负，则两根之和与积为一，所以，此时方程有一个正根，满足题意
综上：或
19．(1)存在，
(2)（i）；（ii）答案见解析
【详解】（1）存在正常数，使得是“伴随函数”．
因为，所以，
因为，所以，
所以一个的值为．
（2）（i）由得，，
所以是周期为的函数，且最小正周期为．
所以．
由得，，所以为的一条对称轴，
所以，．
因为，所以，所以．
（ii）易知在上的图象如图所示，
根据周期性结合图象，可知方程在上的根之和为：
当时，；
当时，；
当时，.