四川省部分重点高中2025-2026学年高一下学期3月入学质量检测 数学（含解析）（含解析）

这是一份四川省部分重点高中2025-2026学年高一下学期3月入学质量检测 数学（含解析）（含解析），共2页。试卷主要包含了下列命题正确的有，计算，已知集合 ．等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干
净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
一、单选题.本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2.命题“ ”的否定为（ ）
A． B．
C． D．
3．下列函数中，既是幂函数，又在 上单调递减的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知关于 的不等式 的解集为 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
5．已知角 的终边过点 ，则 的值为（ ）
A．7 B． C． D．
6．函数 在 上的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
7．已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
8．若函数 的定义域为 ，且满足 的图象关于 成中心对称， 为偶函数，则下列说
法错误的是（ ）
A． 的一个周期为 4 B．
C． 图象的一条对称轴为 D．
二、多选题.本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9.下列命题正确的有（ ）
A．函数 的反函数是
B．函数 过定点
C．对于函数 ，能用二分法求函数零点近似值
D．已知 为奇函数，当 时， ，则 时，
10．已知 ，且 ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
11．已知函数 ，则下列说法正确的有（ ）
A．存在 ，使得 为偶函数
B．若 是 R 上的减函数，则 的取值范围是
C．若 存在最大值，则 的取值范围是
D．若 存在最小值，则 的取值范围是
三、填空题.本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12.． ______．
13．通过实验数据可知，盛于某容器中的某液体的蒸发速度 y（单位；升/小时）与液体所处的环境温度 t（单
位：℃）近似满足函数关系 （e 为自然对数的底数，a，b 为常数）．若该液体在环境温度为 10℃时
的蒸发速度是 0.2 升/小时，在环境温度为 20℃时的蒸发速度是 0.4 升/小时，则该液体在环境温度为______℃
时的蒸发速度为 1.6 升/小时．
14．函数 所有零点的和为__________．
四、解答题.本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13 分）（1）计算： ；
（2）化简： ．
16.（15 分）已知集合 ．
（1）若 ，求 ；
（2）若 ，求实数 的取值范围．
17.（15 分）
（1）已知 ，且 是第二象限角.求 ， 的值；
（2）已知函数 ,化简 的解析式并求对称中心.
18.（17 分）某同学用“五点法”画函数 在某一个周期内的图象时，列表并
填入了部分数据，如下表：
0
（1）求函数 的解析式；
（2）求 在区间 上的最大值和最小值.；
（3）将 图象上的所有点向右平移 个单位长度，并把图象上所有点的横坐标变为原来的 （纵
坐标不变），得到函数 的图象.若 满足 ，求 的最小值.
19.（17 分）若函数 的定义域为 ，且 ，以 为边长的三角形总存
在，则称函数 为“三角形函数”．现有函数
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）求函数 在 内的最值；
（3）若函数 为“三角形函数”，求实数 的取值范围．
答案
一、单选题
1 2 3 4 5 9 7 8 9 10 11
D D B B D C B B AB BCD BC
二、填空题
12． 13．40 14．22
12．【答案】
【分析】利用两角和的余弦公式计算可得．
【详解】 ．
故答案为： ．
13．【答案】40
【分析】根据给定的指数函数模型及己知可得 ，再令 求 即可．
【详解】由题设，有 ，可得 ，
令 ，可得 ．
故答案为：40
14．【答案】22
【分析】将问题转化为函数 的图象与直线 所有交点的横坐标之和．
【详解】由 ，得 ，则 所有零点的和等价于函数 的图象与直
线 所有交点的横坐标之和．
易得 的图象与直线 均关于点 对称．
又 ， ， ，
结合 的图象与直线 可知，
的图象与直线 在 内共有 5 个交点，
则 的图象与直线 共有 11 个交点，且关于点 对称，
则这 11 个交点的横坐标之和为 ，即 所有零点的和为 22．
故答案为：22
四、解答题
15．【详解】（1）
．
（2） ．
16．（1） ， ．
（2） ．
【详解】（1）当 时， ，
又 ，
故 ，
．
（2） ，
当 时， ，解得 ，
当 时， 解得 ，
故 的取值范围是 ．
17．【详解】（1）因为 ，且 是第二象限角，
所以 ， ；
；
（2） ．
（2） ，所以 的
对称中心为 ，
18．【答案】（1） （2） ， （3）
【详解】（1）由题意知 ，解得 ， ，
又 ，解得 ，
所以 ．
（2） ，
∴ ，
（3）将 的图象向右平移 个单位长度，得到
的图象，
再将图象上所有点的横坐标变为原来的 （纵坐标不变），得到 的图象，
因为 ，所以 的图象关于 中心对称，
所以 ， ，解得 ， ，
因为 ，所以当 时，此时 取得最小值为 ．
19．【详解】（1）当 时，由于 ，
所以 ，
从而不等式 的解集为 ．
（2）变形得 ．
当 时， ， ；
当 时，由于 ， ，所以 ，
当且仅当 即 时取等号，
①当 时， ，
从而 ，即 得最小值，当且仅当 时， ；
②当 时， ，
从而 ，即 为三角形，当时而当 时， .
（3）当 时， ，符合题意；
当 时，要使得函数 为“三角形函数”，则 ，即 ，
所以 ；
当 时，要使得函数 为“三角形函数”，则 ，即 ，
所以 ．
综上，实数 的取值范围为 ．
选择题详细答案
1．【答案】D
【分析】解得集合 ，再求交集即可．
【详解】因为 ， ，
所以 ．
故选：D．
2．【答案】D
【分析】根据特称命题的否定即可得到答案.
【详解】根据特称命题的否定，可得命题的否定为“ ， ”．
故选：D．
3．【答案】B
【分析】利用幂函数的定义，图像和性质求解．
【详解】 ， 均不是幂函数，
在 上单调递增，
是幂函数，且在 上单调递减．
故答案为：B．
4．【答案】B
【分析】先根据一元二次不等式的解集确定 ， ，进而求得结果．
【详解】因为不等式 的解集为 ，
所以 ， ， ，
解得 ， ．
所以不等式 化简得 ，即 ，
解得 ．
故选：B．
5．【答案】D
【分析】根据三角函数的定义求出 ，再将弦化切，代入计算可得．
【详解】因为角 的终边过点 ，
所以 ，所以 ．
故选：D
6．【答案】C
【分析】通过判断函数 的奇偶性，排除 A，B，通过求 的值，排除 D，即可得解．
【详解】因为 ，
所以 是偶函数，其图象关于 轴对称，故排除 A，B．
又因为 ，故排除 D．
故选：C
7．【答案】B
【分析】由正弦的性质可得 ，再结合对数、指数函数的性质比较大小即可．
【详解】因为 ， ， ，
所以 ．
故选：B．
8．【答案】B
【分析】利用抽象函数的性质推出函数的周期和对称轴，判断选项 A，C；求出相应函数值，结合函数周期
性计算判断选项 B，D．
【详解】∵ 的图象关于 中心对称，
∴ 是奇函数，即 ，
∵ 为偶函数，
∴ ，把 替换为 ，则 ，
∴ ，把 替换为 ，得 ，
，
∴ 周期为 4，
∵ ，
∴ 的对称轴为 ，又∵ 周期为 4，
∴ 的对称轴为 ， ，
∵ 是奇函数，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
选项 A： ，故周期为 4，故 A 正确；
选项 B：∵ ，
∴ ，
∵ ， ，∴ ，
∴ ，故 B 错误；
选项 C：∵ 的对称轴为 ， ，
当 时，对称轴为 ，故 C 正确；
选项 D：∵ ， ， 周期为 4，
∴ ，
∴ ，故 D 正确．
故选：B．
二、多选题
9．【详解】选项 A：函数 ，其定义域为 R，值域为 ，
且 是单调递增函数，则它存在反函数，
两边取自然对数可得 ，将 ， 互换，得到 ，
所以函数 的反函数是 ，故选项 A 正确；
选项 B：对数函数 ，当 时， ，
在函数 中，
令 ，即 ，此时 ，
因为 （ 且 ，所以 ，
即函数 过定点 ，故选项 B 正确；
选项 C：对于函数 ，
令 ，即 ，解得 ，
当 时， ，不存在区间 使得 ，
所以不能用二分法求函数零点近似值，故选项 C 错误；
选项 D：因为 为奇函数，则 ，
当 时， ，
当 时， ，则 ，
因为 是奇函数，所以 ，而非 ，故选项 D 错误．
故选：AB．
10．【答案】BCD
【分析】由正切关系得到正余弦关系，结合 ，分别求出 和 ，判断出
AB 选项，再由二倍角公式和和差角公式判断出 CD 选项．
【详解】∵ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，B 选项正确，
∴ ，A 选项错误，
∴
，C 选项正确，
，
∵ ，∴ ，∴ ，D 选项正确．
故选；BCD
11．【答案】BC
【分析】分析函数图像即可判断选项 A；由函数单调性列关于 的不等式组即可求解判断选项 B；由 的
单调性求出函数的取值范围即可分析判断选项 C；由 C 选项即可分析求解㓫断选项 D．
【详解】选项 A：当 时 ，图象为指数函数部分图象，
当 时 ， ， ，图象为一条射线，
所以 图象不关于 轴对称，故不存在 使得 为偶函数，故 A 错误；
选项 B：∵ 是 上的减函数，所以 ．
所以若 是 上的减函数，则 的取值范围是 ，故 B 正确；
选项 C：当 时， ．
若 即 时， 在 上单调递增，此时 ，
所以若 在 R 上存在最大值，则 ；
若 即 ， 在 上恒有 ，
则函数 在 R 上有最大值为 6，故 ；
若 ， 在 上单调递减，此时 ，
则函数 在 R 上无最大值，不符合．
∴ 存在最大值的条件是 ，即 ，故 C 正确；
选项 D：由 C 可知 时， 无最小值；
时， 在 R 上值域为 ，无最小值；
，要使 在 R 上有最小值，则 ，即 ；
∴ 存在最小值时， 的取值范围是 ，故 D 不存．
故选：BC．