黑龙江省龙东十校联盟2025-2026学年高一下学期开学考试数学试卷含解析（word版）

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1.满分 150 分, 考试时间 120 分钟.
2. 答题前，考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3. 考生作答时，请将答案答在答题卡上. 选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑; 非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
4. 本卷命题范围: 人教 A 版必修第一册.
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有 一项是符合题目要求的.
1. 已知角 α=−1670∘ ，则角 α 为( )
A. 第一象限角 B. 第二象限角
C. 第三象限角 D. 第四象限角
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意可得 α=130∘−5×360∘ ,进而判断角 α 所属象限即可.
【详解】已知角 α=−1670∘ ,所以 α=−1670∘=130∘−5×360∘ ,故角 α 为第二象限角. 故选:B.
2. 已知集合 A={−2,0,2,3,5},B=x x−3x≥0 ，则 A∩B= ()
A. {5} B. {−2,5} C. {−2,3,5} D. {−2,0,3,5}
【答案】C
【解析】
【分析】根据分式不等式的解法求出集合 B ,结合交集的概念求解即可.
【详解】由题意知 B=x x−3x≥0=−∞,0∪[3,+∞) .
因为 A={−2,0,2,3,5} ,所以 A∩B={−2,3,5} .
故选: C.
3. 若函数 fx=tanωx+φω>0 图象的相邻两个对称中心的距离为 π8 ，则 ω= ( )
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】由题意可得该函数周期,即可得 ω .
【详解】因为函数 fx=tanωx+φω>0 图象的相邻两个对称中心的距离为 π8 ,
所以 fx 的最小正周期 T=2×π8=π4 ,又 T=πω=π4 ,所以 ω=4 .
故选: C.
4. 已知 sin5π12−α2=−25 ,则 cs27π12+α2+cs13π12+α2= ( )
A. −1125 B. −3125 C. 1125 D. 3125
【答案】D
【解析】
【分析】根据诱导公式及同角三角函数关系,将 cs27π12+α2、cs13π12+α2 转化为 cs25π12−α2、sin5π12−α2 即可求解.
【详解】因为 sin5π12−α2=−25 ,所以 cs25π12−α2=1−sin25π12−α2=2125 ,
所以 cs27π12+α2+cs13π12+α2=cs2π−5π12−α2−csπ12+α2
=cs25π12−α2−sinπ2−π12+α2
=cs25π12−α2−sin5π12−α2=2125+25=3125 .
故选: D.
5. 已知 α,β∈R ,则 “ α≠β ” 是 “ sinα≠sinβ ” 的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】举反例即可求解充分性, 根据正弦函数的性质即可求解必要性.
【详解】若 α=π6,β=5π6 ,此时 α≠β ,但是 sinα=sinβ=12 ,故 “ α≠β ” 不是 “ sinα≠sinβ ”. 的充分条件;
若 sinα≠sinβ ,由函数的定义知,若 α=β ,则必有 sinα=sinβ ,而 sinα≠sinβ 时,推不出 α≠β,
故“ α≠β ”是“ sinα≠sinβ ”的必要条件.
综上,“ α≠β ”是“ sinα≠sinβ ”的必要不充分条件.
故选: B
6. 某公司为提升科研能力，计划逐年加大科研经费投入，若该公司 2025 年全年投入科研经费 1700 万元，在此基础上，每年投入的科研经费比上一年增长 13% ，则该公司全年投入的科研经费开始超过 2500 万元的年份是( )
(参考数据: lg1.13≈0.05,lg1.7≈0.23,lg2≈0.30 )
A. 2027 年 B. 2028 年 C. 2029 年 D. 2030 年
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意列出函数关系式, 结合对数函数知识解不等式即可.
【详解】取 2026 年是第 1 年,根据题意得第 n 年该公司全年投入的科研经费为 1700×1+13%n .
令 1700×1+13%n>2500 ,即 1.13n>2517 ,即 1.13n>2.51.7 ,
两边取对数可得: lg1.13n>lg2.51.7 ,即 nlg1.13>lg2.5−lg1.7 ,
则 n>1−2lg2−≈1−2×0.30− ,
则第 4 年，即 2029 年该公司全年投入的科研经费开始超过 2500 万元.
故选: C.
7. 函数 fx=1−sinx+1+sinx 的值域为( )
A. 12,2 B. 22,2 C. 1,2 D. 2,2
【答案】D
【解析】
【分析】将表达式平方并利用余弦函数值域即可求出函数 fx 的值域.
【详解】因为 1−sinx≥0,1+sinx≥0 ,所以 fx≥0 ,
所以
fx2=1−sinx+1+sinx2=2+21−sinx1+sinx=2+21−sin2x=2+2csx ,
又 0≤csx≤1 ,所以 2≤fx2≤4 ,所以 2≤fx≤2 ,
即函数 fx 的值域为 2,2 .
故选: D.
8. 若 a⋅2a=b3lg3b=c3lg5c=1 ，则())
A. abd D. a−d>b−c
【答案】BD
【解析】
【分析】举反例即可求解 AC, 利用作差法即可求解 B, 利用不等式的性质即可求解 D.
【详解】对于 A ,当 c=0 时,显然不成立,故 A 错误;
对于 B ,因为 a>b ,所以 a3−b3=a−ba2+ab+b2=a−ba+12b2+34b2>0 ,即 a3>b3 ,故 B 正确;
对于 C ,当 a=1,b=0,c=−1,d=−2 满足 a>b,c>d ,但是 ac=−1,bd=0 ,故 acd ,所以 −d>−c ,而 a>b ,所以 a−d>b−c ,故 D 正确.
故选: BD.
10. 已知函数 fx 满足: ∀x∈R,fx+1fx=2 ,且当 x∈0,1 时, fx=2x+a ,则下列说法正确的是 ( )
A. a=1
B. fx 为偶函数
C. fx 为偶函数
D. 关于 x 的方程 fx=lg3x 恰有 5 个解
【答案】BC
【解析】
【分析】先利用 fx+1fx=2 及 x∈0,1 的表达式求 a 判断 A,依据 fx+1fx=2 推出周期判断 B ,再求 x∈[−1,0) 表达式判断奇偶性以判断 C ,作函数图象判断方程解的个数以判断 D .
【详解】在 fx+1fx=2 中,
令 x=0 ,得 f1f0=2 ,
又当 x∈0,1 时, fx=2x+a ,
所以 f0=2a,f1=21+a ,
所以 f0f1=2a⋅21+a=22a+1=2 ,
解得 a=0 ,故 A 错误;
由 fx+1fx=2 ,得 fx≠0,fx+2fx+1=2 ,
所以 fx+2=fx ,
所以 fx 是周期为 2 的周期函数,故 B 正确;
当 x∈[−1,0) 时, fx=2fx+1=22x+1=2−x ,
又 f0=1 ,显然当 x∈−1,1 时,函数 fx 为偶函数,
又因为函数 fx 的周期为 2,
所以函数 fx 是实数集上的偶函数,故 C 正确;
函数 y=fx,y=lg3x 的图象如下图所示:

由图可知函数 y=fx 的图象与 y=lg3x 的图象有 6 个交点,
故关于 x 的方程 fx=lg3x 恰有 6 个解,故 D 错误.
故选: BC.
11. 已知函数 fx=x3+x+2,gx=fxx ,则下列说法正确的是 ( )
A. fx 的图象是中心对称图形
B. gx 在 1,+∞ 上单调递增
C. 当 x∈−π2,π2 时, fcsxm>0 ,且 gm=gn ,则 mn0 ,所以 m+n=2mn>2mn ,所以 mn0,n>0 ，且 m+n=1 ，则 2mm2+n+nm+n2 的最大值为_____.
【答案】 3+233
【解析】
【分析】根据题意利用换元法将原式变为 2mm2+n+nm+n2=m+1m2−m+1 ,再由 m2−m+1m+1=m+1+3m+1−3 ,结合基本不等式求解最值即可.
【详解】由题可得 n=1−m,m∈0,1 ,
所以 2mm2+n+nm+n2=2mm2+1−m+1−mm+1−m2=m+1m2−m+1 ,
则 m2−m+1m+1=m+1+3m+1−3≥23−3 ,当且仅当 m+1=3m+1 ,
即 m=3−1 时取等号,
所以 2mm2+n+nm+n2=m+1m2−m+1≤123−3=23+33 ,
即 2mm2+n+nm+n2 的最大值是 3+233 .
故答案为: 3+233 .
14. 已知函数 fx=cssinωx−1ω>0 在区间 −π6,π4 上恰有两个零点,则 ω 的取值范围是_____.
【答案】 (4,6]
【解析】
【分析】由 fx 在区间 −π6,π4 上恰有两个零点,得到 cssinωx=1 在区间 −π6,π4 上有两个
实数解,得到 sinωx=2kπ,k∈Z ,由 sinωx∈−1,1 得到 sinωx=0 在 −π6,π4 上有两个不同的实数解,由 x 的范围得到 ωx 的范围,从而得到 ω 的不等式组,计算出 ω 的取值范围.
【详解】函数 fx=cssinωx−1ω>0 在区间 −π6,π4 上恰有两个零点,
则 cssinωx=1 在区间 −π6,π4 上有两个实数解,
由 cssinωx=1 可得 sinωx=2kπ,k∈Z ,
又 sinωx∈−1,1 ,故有 sinωx=0 在 −π6,π4 上有两个不同的实数解,
而当 x∈−π6,π4 时, ωx∈−π6ω,π4ω ,所以 π