黑龙江省佳木斯市重点高中2025-2026学年高二下学期3月开学考试试卷 数学（含解析）

这是一份黑龙江省佳木斯市重点高中2025-2026学年高二下学期3月开学考试试卷 数学（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知空间向量，，若，则（ ）
A．1B．C．2D．
2．已知为等差数列，，则的公差为（ ）
A．3B．2C．1D．
3．若，则（ ）
A．2B．C．10D．
4．已知圆，圆，则圆与圆的位置关系是（ ）
A．内切B．相交C．外切D．外离
5．已知椭圆的左、右两个焦点分别为、，是上的动点，是圆上任意一点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
6．在三棱台中，，且，若平面，则点到直线的距离为（ ）
A．B．C．D．
7．已知双曲线的左、右焦点分别为，以原点为圆心，为半径作圆，与双曲线在第一、三象限分别交于A、B两点.若四边形的面积为，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．2
8．已知数列中，，，，若对于任意的，，不等式恒成立，则实数t的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．下列命题正确的是（ ）
A．
B．
C．一物体的运动方程为，则其在时的瞬时速度为1
D．已知函数在上可导，且，则
10．已知直线，圆，则下列说法正确的有（ ）
A．直线恒过定点
B．直线与圆一定相交
C．直线与圆可能相切
D．当时，直线被圆截得的弦长为
11．已知双曲线：的一条渐近线的倾斜角为，点P为C上位于第二象限内的一点，，分别为的左、右焦点，若内切圆的圆心为，则（ ）
A．点到渐近线的距离为3
B．若，则最小值是
C．当时，的面积为
D．若为坐标原点，则
三、填空题
12．已知直线过抛物线的焦点，且与抛物线在第一象限的交点为，若，则以点为圆心3为半径的圆被轴截得的弦长为___________.
13．设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为______．
14．在正方体中，若棱长为1，，分别为线段，上的动点，则下列结论中错误的序号为______.
（1）平面
（2）直线与平面所成角的正弦值为定值
（3）平面平面
（4）点到平面的距离为定值
四、解答题
15．已知圆.
(1)求圆的半径；
(2)若直线与圆相切于点，求直线的方程.
16．已知函数的导函数为，数列满足.
(1)求过点的曲线的切线方程；
(2)若点在的图象上，求的通项公式.
17．如图，正四棱台的高为3，且
(1)求证：平面平面；
(2)求与平面所成角的余弦值．
18．已知数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
19．已知椭圆过点．
(1)求椭圆的方程以及离心率；
(2)设直线与椭圆交于两点，过点作直线的垂线，垂足为．判断直线是否过定点，并证明你的结论．
参考答案
1．A
【详解】因为，且，
所以，即，解得，所以.
故选：A
2．C
【详解】设该等差数列的公差为.
因为，
所以，即，解得.
故选：C
3．A
【详解】由求导得：，
则，解得，即，
所以.
故选：A
4．B
【详解】化简，则其圆心，半径，
化简，则其圆心，半径，
则，而，
则，故两圆相交.
故选：B.
5．A
【详解】对于椭圆，，，则，故、，
圆的标准方程为，圆心为，半径为，如下图所示：
由椭圆定义可得，
所以
，
当且仅当点、分别为线段与椭圆、圆的交点时，上述两个等号同时成立，
故的最小值为.
故选：A.
6．D
【详解】因为平面，所以，又，所以.
可以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，.
所以，
所以在方向上的投影为，
所以点到直线的距离为．
7．C
【详解】已知双曲线的焦距为，则圆的方程为.
联立双曲线方程与圆的方程，消去得：
又因为，所以，故点纵坐标为.
四边形为平行四边形，面积为.
由题意，即.
又，故离心率.
故选：C
8．B
【详解】因，则，
则，即，
因，则，故数列是各项为的常数列，
则，即，则，
因对于任意的，，不等式恒成立，
则，即对任意的恒成立，
令，，
则，，
即，得或，
故实数t的取值范围为.
故选：B
9．AC
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，，故B不正确；
对于C，瞬时速度是位移函数的导数：，所以，故C正确；
对于D，根据导数的定义可得：，故D错误；
故选：AC
10．ABD
【详解】直线可化为，
令，解得，所以直线恒过定点，故A正确；
因为，所以定点在圆内，
所以直线与圆一定相交，故B正确，C错误；
当时，直线，
圆的圆心为，半径，
圆心到直线的距离，
所以直线被圆截得的弦长为，故D正确.
故选：ABD.
11．BCD
【详解】如图，

设的内切圆与，，的切点分别为，，，则，，，
因为点为上位于第二象限内一点，所以，因为，，
所以，
则点即为的左顶点，又，所以，因为，所以，所以，
所以，，双曲线：，
对于A，，渐近线为，所以点到渐近线的距离为，故A错误；
对于B，，所以，所以，
当，，三点共线时，的最小值是，，如图，

所以，故B正确；
对于C，，即内切圆半径为，所以，
所以，即为直角三角形，所以，
所以的面积为，故C正确；
对于D选项，，所以，
整理可得，
又，
两式相加可得，
即，所以，故D正确.
故选：BCD.
12．2
【详解】由题意知，，
又点在抛物线上且在第一象限，所以，故点为，
则以点为圆心3为半径的圆的方程为，
令得或，故以点为圆心3为半径的圆被轴截得的弦长为.
故答案为：
13．/
【详解】由求导得，则，
故切线方程为，令，得，令，得，
即切线与坐标轴分别交于，故切线与两坐标轴围成的三角形面积为.
故答案为：.
14．（2）
【详解】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，

则，，，，，，，.
令，得.
令，得，，
对于（1），，，，
显然，
即，而，平面ACD1，
因此平面ACD1，（1）正确；
对于（2），由平面，平面，得，
又因为，，平面，
所以平面，于是为平面的一个法向量.
由，设直线与平面所成角为，则，不是定值，（2）错误；
对于（3），由（1）知平面ACD1，即为平面ACD1的一个法向量.
易得，所以，
所以，
又，平面，
因此平面，
所以平面//平面ACD1，（3）正确；
对于（4），显然，因此点到平面ACD1的距离为，为定值，（4）正确.
故答案为：（2）
15．(1)5；
(2).
【详解】（1）因为圆的方程为，
即为，
所以圆的半径为5；
（2）显然切线不垂直于轴，设直线的方程为，
为圆心到直线的距离，
则有，
又因为线与圆相切，
所以，
即，
解得：，
所以切线的方程为，
即.
16．(1)，或
(2)
【详解】（1）由，
设切点为，所以，
因此过该切点的直线方程为，
把点的坐标代入，得
，或，
当时，切点为，，此时切线方程为；
当时，切点为，，此时切线方程为，
综上所述：切线方程为，或；
（2）因为点在的图象上，
所以，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以有.
17．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）设交于，连接并交于，连接，
由正四棱台的性质可知平面，平面，
所以，又，，平面，
所以平面，又平面，所以平面平面；
（2）取OC中点，连接，则，
所以四边形为平行四边形，所以，而平面，
故平面，所以为与平面所成角，
，，
，
所以，即与平面所成角的余弦值为.
18．(1)
(2)
【详解】（1）因为数列的前项和，
所以时，，
当时，，
又也适合上式，
所以数列的通项公式为；
（2）由，
得，
，
作差得：
得：
得：．
19．(1)椭圆方程为，离心率为
(2)定点为，证明见解析
【详解】（1）将代入椭圆方程可得且，
解得，故，
故椭圆方程为，离心率为
（2）联立与椭圆方程，消去可得，
设,，,，可得，，
则的方程为，又，
令，则
故直线经过定点．