（全卷解析）黑龙江省黑河市龙西北名校联盟2024-2025学年高一下学期开学考试数学试题

这是一份（全卷解析）黑龙江省黑河市龙西北名校联盟2024-2025学年高一下学期开学考试数学试题，文件包含精品解析黑龙江省黑河市龙西北名校联盟2024-2025学年高一下学期期初考试数学试题原卷版docx、精品解析黑龙江省黑河市龙西北名校联盟2024-2025学年高一下学期期初考试数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共18页， 欢迎下载使用。
一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 已知集合，，则( ).
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】解不等式化简集合，再利用交集的定义求出结果.
【详解】依题意，，又因为，
则.
故选：D.
2. 计算（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据诱导公式化简求解.
【详解】.
故选：D.
3. 已知函数，则（ ）
A. 是奇函数，且在上是增函数B. 是偶函数，且在上是增函数
C. 是奇函数，且在上是减函数D. 是偶函数，且在上是减函数
【答案】C
【解析】
【分析】根据奇函数的定义判断，然后利用单调性的性质判断单调性即可求解.
【详解】函数定义域R．又，
所以函数为奇函数，设，，函数单调递增，
设，则在上单调递减，故函数在R上是减函数.
故选：C.
4. 已知关于x函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据复合函数的单调性及对数函数的定义域求解即可.
【详解】由题意，在上单调递减，
则函数在上单调递减，
且对于恒成立，
则，解得.
故选：A.
5. 已知函数是定义在上的偶函数，且在上是单调递增的，设，，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用指数函数、对数函数性质及特殊角的正切比较的大小，再利用函数的性质比较即可.
【详解】依题意，，
由函数是偶函数，得，
又函数在上单调递增，则，
所以的大小关系为.
故选：C.
6. 下列说法正确的是（ ）
A. 命题“，”的否定是“，”
B. 是第二象限角的必要不充分条件是且
C. 函数的零点是
D. 的单调递增区间为，
【答案】D
【解析】
【分析】根据含有一个量词的否定，判断A；根据三角函数在各象限的正负，以及充分条件和必要条件的定义，判断B；根据零点的定义判断C；结合对勾函数的性质，判断D.
【详解】对于A，根据含有一个量词的否定，命题“，”的否定是“，”，故A错误；
对于B，当且时，能推出是第二象限角，
反过来当是第二象限角，也能推出且，
所以是第二象限角的充要条件是且，故B错误；
对于C，函数的零点满足，即，所以零点是1，不是，故C错误；
对于D，函数结合对勾函数的图象，可知单调递增区间为，，故D正确，
故选：D.
7. 已知函数（，且）图象经过定点，若正数满足，则的最小值为（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出经过的定点的坐标，再利用基本不等式即可求解
【详解】函数
令，可得，代入函数可得，所以定点的坐标，
代入可得，且，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为.
故选：C.
8. 已知函数，若关于x的方程有4个不同的实根，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由对数函数图象可得，即，再由二次函数图象关于对称，可得，求得可得结果.
【详解】由关于x的方程有4个不同的实根，得函数与图象有4个交点；
作出函数与的图象，如图：

观察图象得，，
由，得，即，则，
而二次函数图象关于对称，则，因此，
由，解得或，则，
所以.
故选：A
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是正确作出函数的图象，借助对数函数、二次函数的性质数形结合求解.
二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
9. 已知、、、均为非零实数，则下列一定正确的有（ ）
A. B.
C. 若，则D. 若，，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据不等式可推出，由此可判断A;
利用基本不等式可判断B;举例可判断C；利用不等式的性质可判断D.
【详解】、、、均为非零实数,则 ，故 ，即，故A正确；
由题意可知 ，故 ，当且仅当，即 时取等号，故B正确；
若，比如a=1，b=-1，则不成立，故C错误；
若，，则若，，故，故D正确，
故选：ABD
10. 对于函数，下列说法正确的是（ ）
A. 最小正周期为B. 其图象关于点对称
C. 对称轴方程为D. 单调增区间
【答案】AC
【解析】
【分析】利用余弦型函数的周期公式可判断A选项；利用余弦型函数的对称性可判断BC选项；利用余弦型函数的单调性可判断D选项.
【详解】对于A选项，函数的最小正周期为，A对；
对于B选项，，B错；
对于C选项，由，可得，
即函数的对称轴方程为，C对；
对于D选项，由，解得，
所以，函数的单调增区间，D错.
故选：AC.
11. 已知函数的定义域为R，且的图象关于直线对称，，又，，则（ ）
A. 为偶函数B. 的图象关于点中心对称
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用给定的对称轴推理判断A；求出的值判断B；探讨函数的周期，并赋值计算判断CD.
【详解】对于A，由的图象关于直线对称，得，
即，而函数的定义域为R，则，为偶函数，A正确；
对于B，由，得，即，解得，B错误；
由，得，
则，函数的周期为4，
由，得，
，函数的周期为4，
对于C，，C正确；
对于D，由，得，则，
由，得，，
，
所以，D正确.
故选：ACD
【点睛】结论点睛：函数的定义域为D，，
①存在常数a，b使得，则函数图象关于点对称.
②存在常数a使得，则函数图象关于直线对称.
三、填空题：（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）
12. 若，则______ .
【答案】
【解析】
【分析】本题首先可对分式的分子分母同时除，然后借助公式以及即可得出结果．
【详解】，故答案为．
【点睛】本题考查三角函数的相关性质，主要考查利用同角三角函数公式进行化简求值，考查的公式有，考查化归与转化思想，是简单题．
13. 某种药物作用在农作物上的分解率为，与时间（小时）满足函数关系式（其中为非零常数），若经过12小时该药物的分解率为，经过24小时该药物的分解率为，那么这种药物完全分解，至少需要经过_____________小时（参考数据：）
【答案】52
【解析】
【分析】根据题意建立方程组，可求得，，即得，再结合对数的运算性质化简，代值估算即得.
【详解】经过12小时该药物的分解率为，经过24小时该药物的分解率为，
，解得，，则，
当这种药物完全分解，即时，得，得，
即，两边取对数得
.
故答案为：52.
14. 函数的单调递增区间为______.
【答案】
【解析】
【分析】求出函数的定义域，利用复合函数法可求得原函数的单调递增区间.
【详解】对于，有，
所以，，即，
可得，解得，
所以，函数的定义域为，
令，，，
因为函数、都为增函数，故函数为增函数，
由得，
即函数在上为增函数，
由复合函数法可知，函数的增区间为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知集合．
（1）若，求；
（2）若，求实数a的取值范围．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）把的值代入求出集合，然后即可求出；
（2）讨论和两种情况，分别求满足题意的取值范围即可.
【小问1详解】
当时，，
∵，
因此，；
【小问2详解】
∵．
①当时，即，
∴，此时满足题意；
②当时．则或，
解得或．
综上所述，实数a的取值范围是．
16. 已知
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用诱导公式化简函数式，进而求出，再利用诱导公式求得值.
（2）由（1）的信息，利用齐次法求得值.
【小问1详解】
由，
得，所以.
【小问2详解】
.
17. 已知是函数的零点，.
（1）求实数的值；
（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据零点的定义代入求解即可；
（2）将原不等式化为，利用换元法转化为求函数的最小值即可求解.
【小问1详解】
是函数的零点，
，得；
【小问2详解】
，，
则不等式在上恒成立，
等价为在上恒成立，
，，
上述不等式两边同时除以，得在上恒成立，
令，，则在恒成立，
所以，
令，，
的图象开口方向向上，对称轴为，
所以在单调递减，所以，
则，即实数的取值范围为.
18. 设函数.
（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；
（2）判断函数的单调性，并利用定义加以证明；
（3）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）奇函数 （2）增函数,证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）由函数的奇偶性的定义可得结论；
（2）在上为增函数，运用单调性的定义证明，注意作差、变形和下结论等步骤；
（3）由的奇偶性和单调性，可得，再解一元二次不等式，可得所求范围．
【小问1详解】
由解得，
函数定义域为，
，
可得是定义域为的奇函数；
【小问2详解】
函数在上为增函数．
证明：设，，且，
，
由，可得，所以，
由，可得，,
所以，则，所以，
即，
所以在上为增函数；
【小问3详解】
因为是定义域为的奇函数，所以，
不等式化为，
因为在上为增函数，所以，
解得：或，
，解得：
，解得：,
综上：实数的取值范围
19. 若在函数的定义域内存在，使得成立，则称具有性质．
（1）试判断函数是否具有性质；
（2）证明：函数具有性质；
（3）若函数具有性质，求实数取值范围．
【答案】（1）不具有性质
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据性质的定义判断即可；
（2）函数，根据性质的定义证明即可；
（3）由已知可得，令，则问题转化为存在的根，计算求解即可得出解.
【小问1详解】
假设函数具有性质，
则存在，使得，
即，即，显然不成立，
假设不成立，即不具有性质．
【小问2详解】
证明：，
，，，
令，得，
即，即，
又函数的定义域为，，
函数具有性质．
【小问3详解】
函数的定义域为，且具有性质，
，
即，
令，则，
，
，
解得或，
当方程有一个正根时，即， 即，此时．
当方程有两个正根时，当，即时，此时．
实数的取值范围为