【数学】黑龙江省龙东十校联盟2025-2026学年高二下学期开学考试试题（学生版+解析版）

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一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 样本数据的第75百分位数与极差的差为（ ）
A. 67B. 66C. 65D. 64
2. 已知三地的位置及其间修筑的道路如图所示，则从地到地不同路线的条数是（ ）
A. 5B. C. 7D. 8
3. 设随机变量，若，则（ ）
A. 1B. 0C. D. -1
4. 已知直线与直线平行，则实数的值为（ ）
A. -4B. 1C. -1D. -4或1
5. 已知二项式系数之和为32，则展开式中的系数为（ ）
A. B. C. 40D. 80
6. 某超市举行抽奖活动，规则如下：从装有编号四个小球的抽奖箱中，每次取出1个小球，记下编号后放回，连续取2次，取出的2个小球号码之和等于7中一等奖，等于6中二等奖，等于5中三等奖，则顾客参与抽奖1次中奖的概率是（ ）
A. B. C. D.
7. 某社区组织文化活动，现有书法艺术展示､传统戏曲表演､民间手工艺制作､古典诗词朗诵､现代音乐赏析这5个文化活动项目.社区安排6名志愿者负责这5个项目的活动组织，若每个项目的活动都至少有1名志愿者负责，每名志愿者均需要负责且只负责其中1个项目的活动组织，则不同的分配方法种数为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知直线与相交于点，则点到直线的距离的最大值为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 某汽车配件工厂在生产过程中，随机抽取100件同款零件测得其综合指标值，并按，分成六组，得到如下频率分布直方图.规定：综合指标值小于60的为二等品，综合指标值不小于60的为一等品，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 估计该厂所生产的该款零件的综合指标值的平均数为71（同一组数据用该组区间的中点值作代表）
C. 估计该厂所生产的该款零件的综合指标值的中位数为78
D. 从该厂随机抽取20000件该款零件，则一等品约有15000件
10. 已知随机事件满足，且事件与相互独立，则下列说法正确是（ ）
A. 若与相互独立，则
B. 若，则与相互独立
C. 若与互斥，且与也相互独立，则
D. 若与相互独立，且与也相互独立，则
11. 已知双曲线的左､右焦点分别为，过点且斜率为的直线与双曲线的左支交于两点，为的右支上一点（异于右顶点），的内切圆圆心为，则下列结论正确的是（ ）
A. 取值范围为
B. 若，则
C. 以为直径的圆与圆相切
D. 若，则点的坐标为或
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知随机变量，若，则__________.
13. 已知随机事件互相独立，且满足，则__________.
14. 现有30张彩票，其中有3张中奖彩票，从中任取张，若这张彩票中至少有1张中奖的概率大于，则的最小正整数值为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 某商场为了解顾客对某款坚果礼盒的满意程度，随机调研了200名购买过该款坚果礼盒的顾客，得到如下列联表.
（1）根据小概率值的独立性检验，分析顾客对该款坚果礼盒的满意度是否与性别有关联；
（2）从样本中对该款坚果礼盒满意的顾客中随机抽取2人，求这2人至少有1名女性的概率.
附：.
16. 已知圆，直线过原点.
（1）若直线与圆相切，求直线的方程；
（2）若直线与圆交于两点，当的面积最大时，求直线的方程.
17. 某公司投资某款电动玩具的宣传费（单位：十万元）和销量（单位：百万件）如表所示：
（1）已知可用线性回归模型拟合与的关系，求关于的经验回归方程；
（2）若甲､乙两人购买这款电动玩具的概率分别为，且甲､乙是否购买这款电动玩具互不影响.若每个电动玩具的售价均定为80元，且两人购买电动玩具的总金额的期望不超过120元，求的取值范围.
参考公式：经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为.
18. 甲､乙两个袋子中，各放有大小和形状相同的小球若干.每个袋子中标号为0的小球有1个，标号为1的有3个，标号为2的有个.从一个袋子中任取两个球，取到的标号都是2的概率是.
（1）求值；
（2）从甲袋中任取两个球，已知其中一个的标号是1，求另一个标号也是1的概率；
（3）从两个袋子中各取一个小球，用表示这两个小球的标号之和，求的分布列和期望.
19. 已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，点在上，抛物线的焦点为.
（1）求和的方程；
（2）若点在上，且，求的面积；
（3）过点的直线与交于两点，与相交于两点，试判断是否为定值，若为定值，请求出该定值；若不是，请说明理由.
性别
满意
不满意
合计
男性
40
40
80
女性
80
40
120
合计
120
80
200
0.1
0.05
0.01
2.706
3.841
6.635
宣传费（十万元）
3
4
5
6
销量（百万件）
2.5
3
4
4.5