福建省厦门集美中学2025-2026学年高一下学期3月阶段检测数学限时训练1试题含答案

这是一份福建省厦门集美中学2025-2026学年高一下学期3月阶段检测数学限时训练1试题含答案，共12页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知向量 a=2,3,b=−1,2 ，若 ma+b 与 a−2b 共线，则 m 的值为( )
A. 2 B. -2
C. 12 D. −12
2. 已知平面内 M,N,P 三点满足 MN−PN+PM=0 ,则下列说法正确的是
A. M,N,P 是一个三角形的三个顶点 B. M,N,P 是一条直线上的三个点
C. M,N,P 是平面内的任意三个点 D. 以上都不对
3. 已知向量 BA=4,−3 ，向量 BC=2,−4 ，则 △ABC 的形状为
A. 等腰非直角三角形 B. 等边三角形
C. 直角非等腰三角形 D. 等腰直角三角形
4. 已知向量 a,b 满足 a=1,a+2b=2 ，且 b−2a⊥b ，则 b= ( )
A. 12 B. 22 C. 32 D. 1
5. 已知 △ABC 中,内角 A,B,C 所对边分别为 a,b,c ,若 A=π3, b=2acsB,c=1 , 则 △ABC 的面积等于( )
A. 32 B. 34 C. 36 D. 38
6. 如图,海平面上的甲船位于中心 O 的南偏西 30∘ ,与 O 相距 15 海里的 C 处. 现甲船以 35 海里/小时的速度沿直线 CB 去营救位于中心 O 正东方向 25 海里的 B 处的乙船,则甲船到达 B 处需要的时间为 ( )


A. 12 小时 B. 1 小时
C. 32 小时 D. 2 小时
7. P 是 △ABC 内的一点， AP=13AB+AC ，则 △ABC 的面积与 △ABP 的面积之比为
A. 32 B. 2 C. 3 D. 6
8. 如图扇形 AOB 所在圆的圆心角大小为 2π3,P 是扇形内部(包括边界)任意一点，若 OP=xOA+yOB ,那么 2x+y 的最大值是( )

A. 2 B. 3 C. 4 D. 23
二、多选题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有 多项符合题目要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 如图所示,四边形 ABCD , CEFG , CGHD 是全等的菱形,则下列结论中一定成立的是 ( )

A. AB=EF
B. AB 与 FH 共线
C. BD 与 EH 共线
D. CD=FG
10. 已知点 M 是 △ABC 的重心，点 A1,2 ， B2,3 ， C−2,5 ，点 D 是 BC 上靠近点 B 的三等分点,则( )
A. M13,103 B. D23,113 C. ⟨MD,AC⟩=π3 D. 3MD−AC=26
11. 在 △ABC 中， sinA+B+sinA−B=3sin2B . 若 C=π3 ，则 ab 的值可以等于( )
A. 12 B. 13 C. 2 D. 3
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 若平面向量由 a+b 平行于 x 轴， a+b=1 ， b=2,−1 ，则 a= _____.
13. 如图，已知两个力 F1 ， F2 的大小和方向，则合力的大小为_____ N ；若在图示坐标系中用坐标表示合力，则合力的坐标为_____.

14. 已知向量 a,b 夹角为 π3,b=2 ，若对任意 x∈R ，恒有 b+xa≥b−12a ，则函数 tb−12at∈R 的最小值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.
15. 如图,已知 A,B,C 为直角坐标系 xOy 中的三个定点.
(1)若点 D 为平行四边形 ABCD 的第四个顶点，求 BD ；
(2)若点 P 在直线 OC 上，且 PA⋅PB=4 ，求点 P 的坐标.

16. 已知 △ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c 且 a=2 ， csB=35 .
(1)若 b=3 ，求 sinA 的值；
(2)若 △ABC 的面积 S△ABC=4 ，求 b,c 的值
17. 平面内给定三个向量 a=3,2,b=−1,2,c=4,1 .
(1)求满足 a=mb+nc 的实数 m,n ；
(2)若 a+kc//2b−a ，求实数 k ；
(3)设 d=x,y 满足 d−c//a+b ，且 d−c=1 ，求 d .
18. 记 △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ，已知 △ABC 的面积为 3 ， D 为 BC 中点， 且 AD=1 .
(1)若 ∠ADC=π3 ，求 tanB ；
(2)若 b2+c2=8 ，求 b,c .
19. 十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题: “已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”它的答案是: “当三角形的三个角均小于 120∘ 时,所求的点为三角形的正等角中心,即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角 120∘ ; 当三角形有一内角大于或等于 120∘ 时,所求点为三角形最大内角的顶点. 在费马问题中所求的点称为费马点. 已知 a,b,c 分别是 △ABC 三个内角 A,B,C 的对边,且 csA2csB=sinC−π6 ,点 P 为 △ABC 的费马点.
(1)求角 B ；
(2)若 b2−a−c2=6 ，求 PA⋅PB+PB⋅PC+PA⋅PC 的值；
(3)若 b=1 ，求 PA+PC−PB 的取值范围.
1. D
利用向量线性运算的坐标表示及共线向量的坐标表示求解作答.
向量 a=2,3,b=−1,2 ,则 ma+b=2m−1,3m+2,a−2b=4,−1 ,
而 ma+b 与 a−2b 共线,因此 43m+2=−2m−1 ,解得 m=−12 ,
所以 m 的值为 −12 .
故选: D
2. C
【解析】根据平面向量的线性运算求解证明恒成立即可.
因为 MN−PN+PM=MN+NP+PM=MP+PM=0 ,
故 MN+NP+PM=0 对任意情况都成立,所以 M,N,P 是平面内的任意三个点,
故选: C.
【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算,属于基础题型.
3. C
由向量 BA 得出向量 AB 的坐标,然后利用平面向量的数量积运算法则求出 AC - BC ,得出值为 0,可得两向量互相垂直,最后分别求出三向量的模,发现互不相等,进而得出三角形 ABC 为直角非等腰三角形.
: BA=4,−3,BC=2,−4 ,
∴AC=BC−BA=−2,−1 ,
∴CA⋅CB=2,1⋅−2,4=0 ,
∴∠C=90∘ ,且 CA=5,CB=25,CA≠CB .
∴△ABC 是直角非等腰三角形.
故选 C.
4. B
由 b−2a⊥b 得 b2=2a⋅b ,结合 a=1,a+2b=2 ,得 1+4a⋅b+4b2=1+6b2=4 , 由此即可得解.
因为 b−2a⊥b ,所以 b−2a⋅b=0 ,即 b2=2a⋅b ,
又因为 a=1,a+2b=2 ,
所以 1+4a⋅b+4b2=1+6b2=4 ,
从而 b=22 .
故选: B.
5. B
试题分析: 根据正弦定理 asinA=bsinB 由 b=2acsB 可得 sinB=2sinAcsB , ∴tanB=sinBcsB=2sinA=2sinπ3=3,∴ 在 △ABC 中 B=π3 ,
∴C=π−A−B=π3,∴△ABC 为边长为 1 的正三角形, ∴S△ABC=12×1×1×sin60∘=34 . 故 B 正确.
考点: 正弦定理.
6. B
利用方向坐标画出图形,结合图形利用余弦定理求出 BC 的值,再计算甲船到达 B 处需要的时间.
解: 如图所示,

△OBC 中, ∠BOC=30∘+90∘=120∘,OC=15,OB=25 ;
所以 BC2=152+252−2×15×25×cs120∘=1225 ,
BC=35,
又甲船的速度为 35nmile/ℎ ,
所以甲船到达 B 处需要的时间为 35÷35=1ℎ .
故选: B.
7. C
【解析】设 △ABC 边 BC 的中点为 D ,则有 AD=12AB+AC ,因为 AP=13AB+AC ,则 AD=32AP ，即 AD=32AP ，因为 S△ABCS△ABP=2S△ABDS△ABP=2ADAP ，即可求出结果.
设 △ABC 边 BC 的中点为 D ,则 S△ABCS△ABP=2S△ABDS△ABP=2ADAP . ∵AP=13AB+AC=23AD,∴AD=32AP,∴AD=32AP∴S△ABCS△ABP=3 . 故选:C.
8. C
建系,用三角函数表示点 P ,再将已知向量关系用三角函数表示,得出 2x−y=2arcsθy=23a3rsinθ,最后用辅助角公式得到所求的最值关系,结合正弦函数得到最大值.
以点 O 为坐标原点, OA 所在直线为 x 轴建立如下图所示的平面直角坐标系,

设扇形 AOB 的半径为 r ,则 Ar,0、B−r2,32r ,
设点 Pacsθ,asinθ0≤a≤r,0≤θ≤2π3 ,
因为 OP=xOA+yOB=xr,0+y−r2,32r=xr−ry2,32ry ,
所以, xr−y2r=acsθ32yr=asinθ ,所以, 2x−y=2arcsθy=23a3rsinθ ,
所以, 2x+y=2x−y+3y=2arcsθ+23arsinθ=4arsinθ+π6 ,
因为 0≤θ≤2π3 ,则 π6≤θ+π6≤5π6 ,
当 θ+π2=π2 且 a=r 时, 2x+y 取得最大值 4 .
故选: C
9. ABD
根据相等向量、共线向量的概念, 结合几何图形即可判断各项的正误.
由四边形 ABCD , CEFG , CGHD 是全等的菱形,知: AB=EF ,即 A 正确;
由图形可知: AB 与 FH 的方向相反, CD 与 FG 方向相同且长度相同即 CD=FG ,
故 B、D 正确；而 BD 与 EH 不一定共线，故 C 不一定正确.
故选: ABD.
10. AB
根据三角形的重心坐标公式即可求得点 M 坐标,利用共线向量的坐标计算公式易得点 D 坐标,利用平面向量的夹角公式计算即得 MD⊥AC ,通过平面向量的线性运算求出 3MD−AC 的坐标,易得其模长.

对于 A 项,如图,点 M 是 △ABC 的重心,点 A1,2,B2,3,C−2,5 ,设点 Mx,y , 则 x=1+2+−23=13y=2+3+53=103 ,故 A 选项正确;
对于 B 项,因点 D 是 BC 上靠近点 B 的三等分点,则 3BD=BC ,设 Da,b ,则 3a−2,b−3=−4,2,
即 3a−2=−43b−3=2 ,解得 a=23,b=113 ,故 B 项正确;
对于 C 项，因为 MD=13,13,AC=−3,3 ，则 csMD,AC=MD⋅ACMDAC=−1+132×23=0 ，
故 MD⊥AC ,即 MD,AC≠π3 ,故 C 项错误;
对于 D 项，因 3MD−AC=313,13−−3,3=4,−2 ，则 3MD−AC=42+−22=25 ，故 D 项错误.
故选:AB.
11. AD
根据两角和差的正弦公式、二倍角的正弦公式化简等式, 结合因式分解法, 运用正弦定义和正弦定理进行求解即可.
sinA+B+sinA−B=3sin2B⇒sinAcsB+csAsinB+sinAcsB−csAsinB=6sinBcsB ⇒sinAcsB=3sinBcsB⇒csBsinA−3sinB=0 ,
因此 csB=0 或 sinA=3sinB ,
当 csB=0 时,因为 B∈0,π ,所以 B=π2 ,而 C=π3 ,所以 ab=csC=csπ3=12 , 当 sinA=3sinB 时, ab=sinAsinB=3 ,
故选: AD
12. −3,1 或 −1,1
由 a+b 平行于 x 轴,得出 a+b=x+2,y−1=x+2,0 ,解出 a 的纵坐标,再由 a+b=1⇒x+22=1 ,求出 a 的横坐标
设 a=x,y
a+b 平行于 x 轴,得出 a+b=x+2,y−1=x+2,0 ,
解得 y=1
∵a+b=1,∴x+22=1 ,
解得 x=−3 ,或 x=−1
a=−3,1 或 −1,1
故答案为 −3,1 或 −1,1
13. (5,4)
运用向量坐标运算即可求解.
因为 F1=2,3, F2=3,1 ,所以合力 F=F1+F2=2,3+3,1=5,4 , 所以合力的大小为 52+42=41 N .
故答案为: 41;5,4 .
14. 32##123
先根据向量的夹角、模长及恒成立求出 a=2 ,将 tb−12at∈R 表示成关于 t 的函数, 根据二次函数最值即可求解.
∵b+xa≥b−12a,∴b+xa2≥b−12a2 ,
整理可得 a2x2+2ax+a−14a2≥0 ,
:对任意 x∈R ，上式恒成立， ∴Δ=4a2−4a2a−14a2≤0 ；
由题意知 a≠0,∴1−12a2≤0,∴a=2 .
∴tb−12a=t2b2+14a2−tb⋅a=4t2−2t+1=2t−142+316≥32 .
故答案为: 32 .
15. (1) BD=122
(2)点 P 的坐标为 −1,1 或 4,−4 .
(1) 由图可知, A5,3,B1,−3,C−2,2 ,可得 BA=4,6,BC=−3,5 ,从而得 BD=BA+BC=12+112=122;
(2)可设 OP=λOC=−2λ,2λ ，可得 PA=5+2λ,3−2λ,PB=1+2λ,−3−2λ ，由 PA⋅PB=5+2λ1+2λ+3−2λ)−3−2λ)=4 ，解得 λ=12 或 -2，从而可得结果.
(1) 由图可知, A5,3,B1,−3,C−2,2 ,
所以 BA=4,6,BC=−3,5
所以 BD=BA+BC=12+112=122 .
(2)因为点 P 在直线 OC 上，
所以可设 OP=λOC=−2λ,2λ ,
所以 PA=5+2λ,3−2λ,PB=1+2λ,−3−2λ ,
所以 PA⋅PB=5+2λ1+2λ+3−2λ−3−2λ=4 ,解得 λ=12 或-2.
故点 P 的坐标为 −1,1 或 4,−4 .
16. (1) 815;2b=17,c=5 .
(1) 先利用同角三角函数的基本关系计算 sinB ,再利用正弦定理计算 sinA=asinBb 即可;
(2)先利用面积公式解得 c=5 ，再利用余弦定理计算 b 边即可.
解: (1) △ABC 中, csB=35>0 ,则 B 是锐角, sinB=1−352=45 ,
由 asinA=bsinB 得, sinA=asinBb=2×453=815 ;
(2)由 S△ABC=4 得， 12acsinB=4 ，即 12×2×c×45=4 ，解得 c=5 ，
所以 b2=a2+c2−2accsB=4+25−2×2×5×35=17 ,即 b=17 .
所以 b=17,c=5 .
17. (1) m=59,n=89.;2k=−1613;3d=20+55,5+255 或 d=20−55,5−255 .
(1)根据向量的坐标运算求解即可.
(2)分别求得 a+kc,2b−a 再利用平行的公式求解即可.
(3)根据平行与模长的公式列式求解 d=x,y 即可.
(1) ∵a=mb+nc ,
∴3,2=−m+4n,2m+n .
∴−m+4n=3,2m+n=2, 解得 m=59,n=89.
(2) ∵a+kc//2b−a,a+kc=3+4k,2+k,2b−a=−5,2,∴23+4k+52+k=0 . 解得 k=−1613 .
(3) ∵d−c=x−4,y−1,a+b=2,4,d−c//a+b,d−c=1 ,
∴4x−4−2y−1=0,x−42+y−12=1.
解得 x=4+55,y=1+255 或 x=4−55,y=1−255,
∴d=20+55,5+255 或 d=20−55,5−255 .
18. 135 ;
(2) b=c=2 .
(1) 方法 1,利用三角形面积公式求出 a ,再利用余弦定理求解作答; 方法 2,利用三角形面积公式求出 a ,作出 BC 边上的高,利用直角三角形求解作答.
方法 1，利用余弦定理求出 a ，再利用三角形面积公式求出 ∠ADC 即可求解作答；方法 2，利用向量运算律建立关系求出 a ，再利用三角形面积公式求出 ∠ADC 即可求解作答.
( 1 )方法 1: 在 △ABC 中,因为 D 为 BC 中点, ∠ADC=π3,AD=1 ,

则 S△ADC=12AD⋅DCsin∠ADC=12×1×12a×32=38a=12S△ABC=32 ，解得 a=4 ，
在 △ABD 中, ∠ADB=2π3 ,由余弦定理得 c2=BD2+AD2−2BD⋅ADcs∠ADB ,
即 c2=4+1−2×2×1×−12=7 ,解得 c=7 ,则 csB=7+4−127×2=5714 ,
sinB=1−cs2B=1−57142=2114,
所以 tanB=sinBcsB=35 .
方法 2: 在 △ABC 中,因为 D 为 BC 中点, ∠ADC=π3,AD=1 ,
则 S△ADC=12AD⋅DCsin∠ADC=12×1×12a×32=38a=12S△ABC=32 ，解得 a=4 ，
在 △ACD 中，由余弦定理得 b2=CD2+AD2−2CD⋅ADcs∠ADC ，
即 b2=4+1−2×2×1×12=3 ,解得 b=3 ,有 AC2+AD2=4=CD2 ,则 ∠CAD=π2 ,
C=π6 ,过 A 作 AE⊥BC 于 E ,于是 CE=ACcsC=32,AE=ACsinC=32,BE=52 ,
所以 tanB=AEBE=35 .
(2)方法 1:在 △ABD 与 △ACD 中，由余弦定理得
c2=14a2+1−2×12a×1×csπ−∠ADCb2=14a2+1−2×12a×1×cs∠ADC,
整理得 12a2+2=b2+c2 ,而 b2+c2=8 ,则 a=23 ,
又 S△ADC=12×3×1×sin∠ADC=32 ,解得 sin∠ADC=1 ,而 0