重庆市开州中学2025-2026学年高一下学期定时训练（一）数学试题含答案

这是一份重庆市开州中学2025-2026学年高一下学期定时训练（一）数学试题含答案，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 如图所示，已知在 △ABC 中， D 是线段 AB 上的靠近 A 的三等分点，则 CD= ()

A. BC−23BA B. −BC+23BA C. −BC−23BA D. BC+23BA
2. 已知向量 a=1,−4,b=2,3 ，则向量 a 在向量 b 上的投影向量为( )
A. 1013,1513 B. −1013,−1513 C. −2013,−3013 D. 2013,3013
3. 开中冯大师健身塑形取得阶段性成就，引体向上成绩尤为出色，经测试，当两臂夹角为 60∘ 身体处于平衡状态时, 动作效果最佳.在此状态下, 他身上还能额外悬挂三个与他体重相等的人. 已知冯大师的体重为 62.5 kg ，重力加速度取 10 m/s2 . 此时平均每只胳膊的最大拉力大小约为多少. ( )

A. 25003 N B. 2500N C. 1250N D. 250033 N
4. 设 e1,e2 是两个不共线的向量,若向量 m=−e1+ke2 与 n=e2−2e1 共线,则 k= ( )
A. 2 B. 12 C. -2 D. −12
5. 已知向量 a=csθ,sinθ,b=1,3 ，若 a 与 b 的夹角不超过 π3 ，则 a−b 的范围是( )
A. 1,3
B. 12,32
C. 1,3
D. 14,34
6. 若平面向量 a,b,c 模长相等，且 a+2b+5c=0 ，则 cs⟨a,c⟩= ()
A. 55 B. 0
C. −55 D. 255
7. 已知菱形 ABCD 的边长为 2,∠BAD=π3 ，点 P 在线段 BC 上，点 Q 在线段 DC 上， BP=QC ，则 DP⋅BQ 的最大值为( )
A. −32 B. 2
C. 32 D. -2
8. 已知平面向量 a,b 满足 a=b=2 ，且 a⊥b . 若向量 c 满足 c−a⋅c−b=0 ，则 c 的最大值为( )
A. 23 B. 3 C. 2 D. 1
二、多选题
9. 下列各组向量中, 能作为它们所在平面内所有向量的基底的是 ( )
A. e1=−2,2,e2=5,1 B. e1=3,5,e2=−6,−10
C. e1=2,−3,e2=3,3 D. e1=0,2,e2=0,0
10. 下列说法错误的是( )
A. 若 a=b,b=c ,则 a=c
B. 若 a>b ,则 a>b
C. 对任意向量 a,b,c 都有 a⋅b⋅c=a⋅b⋅c
D. a⋅b=0 ,则 a 与 b 中至少有一个为 0
11. 已知点 C 在以 AB 为直径的圆上运动,且 AB=2 ，动点 M 为平面 ABC 内一点，且 MA⋅MB=3 ，则下列结论正确的是( )
A. MC 的最小值为 1
B. CM⋅AB 的最小值为 -6
C. MA+MB+2MC 的最大值为 10
D. MA+MB+2MC 的最小值为 8
三、填空题
12. 已知向量 a,b 的夹角为 60∘,a=1,b=2 ,若 a+μb⊥2a+b ,则 μ= _____.
13. 已知 6 个边长均为 2 的正六边形摆放如图所示位置， C 是这 6 个正六边形内部(包括边界)的动点，则 AC⋅AB 的取值范围是_____.

14. 设 P 为 △ABC 内一点,且 PA+PB+PC=0 ,则 S△ABP:S△ABC= _____.
四、解答题
15. 已知向量 a=e1−e2,b=4e1+3e2 ,其中 e1=1,0,e2=0,1 .
(1)试计算 a⋅b 及 a+b 的值；
(2)求与 b 同向的单位向量 d .
16. 设 e1、e2 是夹角为 π3 的两个单位向量,如果 AB=3e1−2e2,BC=4e1+e2,CD=8e1−9e2 .
(1)求证: A ， B ， D 三点共线；
(2)若 e1+λe2 与 λe1+e2 的夹角为锐角,试求 λ 的取值范围.
17. 如图，在 △ABC 中， AB=2 ， AC=3 ， ∠BAC=π3 ，且 BC=2BD ， AC=3AE ，设 AD 与 BE 交于点 P .

(1)求 AD⋅BE ；
(2) 求 cs∠APB .
18. 已知 a,b,c 是同一平面内的三个不同向量,其中 a=1,2 .
(1)若 c=25 ，且 a//c ，求 c ；
( 2 )若 b=2 ，且 ka+b=2a−kbk>0 ，求 a⋅b 的最小值，并求出此时 a 与 b 夹角的余弦值.
19. 已知平面直角坐标系中，点 Aa,0 ，点 B0,b (其中 a,b 为常数，且 ab≠0 )，点 O 为坐标原点.

(1)设点 P 为线段 AB 上靠近 A 的三等分点， OP=λOA+1−λOBλ∈R ，求 λ 的值；
(2)如图所示，设点 P1 ， P2 ， P3 ， … ， Pn−1 是线段 AB 的 n 等分点，其中 n∈N∗ ， n≥2 ，
① 当 n=2028 时，求 OA+OP1+OP2+⋯+OPn−1+OB 的值(用含 a,b 的式子表示)；
② 当 a=b=1,n=8 时,求 OPi⋅OPi+OPj1≤i,j≤n−1,i,j∈N∗ 的最小值.
(说明: 可能用到的计算公式: 1+2+3+⋯+n=nn+12,n∈N∗ ).
1. B
因 D 是线段 AB 上的靠近 A 的三等分点,则 CD=BD−BC=23BA−BC .
2. C
因为 a=1,−4,b=2,3,∴a⋅b=1×2−4×3=−10 , b=4+9=13 , 则向量 a 在向量 b 上的投影向量为 bb⋅a⋅bb=a⋅bb2⋅b=−10132,3=−2013,−3013 .
3. D
设两只胳膊的拉力分别为 F1,F2 ,重力为 G ,
则 G=mg=62.5×10=625N ,
因为他身上还能额外悬挂三个与他体重相等的人，
所以 F1×cs30∘+F2×cs30∘=4G ,解得 F1+F2=500033 ,
所以平均每只胳膊的最大拉力大小约为 250033 .
4. B
由共线向量定理可知存在实数 λ ,使得 m=λn ,
即 −e1+ke2=λe2−2e1=λe2−2λe1 ,又 e1 与 e2 是不共线向量,
所以 −1=−2λ,k=λ, 解得 k=12λ=12 .
故选: B.
5. A
由题意设 B1,3 ,得 OB=b ,且 ∠BOx=π3 ,
因为 a=1 ,在单位圆上取 OA=a ,

因为 a 与 b 的夹角不超过 π3 ,
所以 0≤θ≤2π3 ,
所以
a−b2=a2+b2−2a⋅b=1+4−2csθ+23sinθ=5−412csθ+32sinθ=5−4sinθ+π6 ,
又 0≤θ≤2π3 ,所以 π6≤θ+π6≤5π6 ,
所以 2≤4sinθ+π6≤4 ,
所以 1≤a−b2≤3 ,
故 a−b 的范围是 1,3 ,
故选: A
6. C
因为 a+2b+5c=0 ,则 a+5c=−2b ,两侧同时平方,再由平面向量 a,b,c 模长相等求解即可.
因为 a+2b+5c=0 ,所以 a+5c=−2b ,所以 a+5c2=−2b2 ,所以 a2+25a⋅c+5c2=4b2,
因为平面向量 a,b,c 模长相等,设 a=b=c=m ,
所以 m2+25m⋅m⋅cs⟨a,c⟩+5m2=4m2 ,所以解得 csa,c=−55 .
7. A
根据给定条件,用基底向量 CB,CD 分别表示 DP,BQ ,再利用数量积的运算律列式求出最大值.
在边长为 2 的菱形 ABCD 中,由 ∠BAD=π3 ,得 ∠BCD=π3 ,由点 Q 在线段 DC 上,
令 CQ=λCD,0≤λ≤1 ,由点 P 在线段 BC 上, BP=QC ,得 CP=1−λCB ,
则 BQ=CQ−CB=λCD−CB,DP=CP−CD=1−λCB−CD ,
而 CB⋅CD=2×2csπ3=2 ,因此 DP⋅BQ=1−λCB−CD⋅λCD−CB
=λ1−λ+1CB⋅CD−1−λCB2−λCD2=2λ−λ2+1−41−λ−4λ
=−2λ2+2λ−2=−2λ−122−32≤−32 ,当且仅当 λ=12 时取等号,
所以 DP⋅BQ 的最大值为 −32 .

8. C
由 a,b 的垂直关系和模长可令 a=2,0,b=0,2 ,再设 c=x,y ,由数量积的坐标表示确定 x,y 的轨迹方程,进而可求解.
因为 a∠b ,且 a=b=2 ,令 a=2,0,b=0,2 ,设 c=x,y ,
由 c−a⋅c−b=0 ,代入坐标得: x−2x+yy−2=0 ,
整理配方得: x−222+y−222=1 ,
即点 x,y 的轨迹是圆心为 22,22 ,半径 r=1 的圆.
则 c 是原点到圆上点 x,y 的距离,
又原点到圆心的距离为: d=222+222=1 ,
所以圆上点到原点的最大距离为 d+r=1+1=2 ,因此 c 的最大值为 2 .
9. AC
选项 A ,设 e1=λe2 ( λ 为实数),则 −2,2=λ5,1=5λ,λ , 即 5λ=−2λ=2 ,则 λ 无解,所以 e1,e2 不共线,
则 e1,e2 能作为它们所在平面内所有向量的基底,故 A 正确;
选项 B,因为 −6,−10=−23,5 ,则 e2=−2e1 ,即 e1,e2 共线,
所以 e1,e2 不能作为它们所在平面内所有向量的基底,故 B 不正确;
选项 C,设 e1=λe2λ为实数 ,则 2,−3=λ3,3=3λ,3λ ,
即 3λ=23λ=−3 ,则 λ 无解,所以 e1,e2 不共线,
则 e1,e2 能作为它们所在平面内所有向量的基底,故 C 正确;
选项 D, e2=0,0 是零向量,与 e1 共线,
所以 e1,e2 不能作为它们所在平面内所有向量的基底,故 D 不正确.
10. BCD
由题意, 根据向量的基本概念, 结合数量积的运算, 逐项判断即可.
对于 A 选项, 根据向量相等的概念, 两向量相等, 则其方向和大小都相同, 故 A 正确;
对于 B 选项，向量是既有大小又有方向的量，而方向是不能比较大小的，不能得出 a>b ， 故 B 错误;
对于 C 选项,根据向量数量积和数乘的运算, a⋅b⋅c 表示与 c 共线的向量,
而 a⋅b⋅c 表示与 a 共线的向量,但 a 与 c 不一定共线,故 C 错误;
对于 D 选项,当 a,b 均不为 0 ,且 a,b 夹角为 90∘ 时,满足 a⋅b=0 ,故 D 错误.
11. ABC
结合点 C 和点 M 的轨迹可以判断 A 选项; 由向量的数量积公式可知 CM⋅AB 的最小值,判断 B 选项; 利用向量的线性表示,得到 MA+MB+2MC=2OC−4OM ,结合向量夹角的范围得到 MA+MB+2MC 的范围,即得最大值和最小值,判断 C、D 两个选项.
A 选项,设 AB 中点为 O,∵MA=MO+OA,MB=MO+OB ,且 OA=−OB ,
∴MA⋅MB=MO+OAMO−OA=MO2−OA2=MO2−1=3,∴MO=2
由题意可知 OC=1,∵CM=OM−OC ,
∴CM2=OM−OC2=OM2+OC2−2OM⋅OCcs⟨OM,OC⟩ ,
即 CM2=5−4cs⟨OM,OC⟩≥1 ,当 OM,OC=0∘ ,即 OM,OC 同向时 MC 取得最小值 1 .
故 A 正确;

B 选项， CM⋅AB=CM⋅AB⋅cs⟨CM,AB⟩=2CM⋅cs⟨CM,AB⟩ ,
∵CM,AB∈0,π ,即 csCM,AB≥−1 ,
∴ 当 ⟨CM,AB⟩=π ,即 CM,AB 反向时, cs⟨CM,AB⟩ 取得最小值 -1,
∴CM⋅AB=CM⋅AB⋅cs⟨CM,AB⟩≥−2CM ,
由图可知,当 O,C,M 三点共线且 C,M 在 O 的两侧时, CM 取得最大值为 MC=2+1=33 , ∴CM⋅AB≥−2×3=−6 ,即最小值为 -6,故 B 正确;

选项 C、D, MA+MB+2MC=2MO+2MO+OC=2OC−4OM ,
∴MA+MB+2MC2=2OC−4OM2
=4OC2+16OM2−16OC⋅OM=68−16OC⋅OM ,
而 OC⋅OM=OC×OMcs⟨OC,OM⟩=2csOC,OM
∵OC,OM∈0,π, ∴csOC,OM∈−1,1,
∴OC⋅OM=2csOC,OM∈−2,2 ,
∴MA+MB+2MC2=68−16OC⋅OM∈36,100 ,
∴MA+MB+2MC∈6,10,
即 MA+MB+2MC 的最大值是 10,最小值是 6,故 C 正确, D 错误.
故选: ABC.
12. −12##−0.5
根据向量的数量积运算及向量垂直的充要条件, 列出相应的方程, 求解可得.
因为向量 a,b 的夹角为 60∘,a=1,b=2 ,
∴a2=a2=1,b2=b2=4,a⋅b=1×2×cs60∘=1 .
∵a+μb⊥2a+b ,
∴a+μb⋅2a+b=2a2+1+2μa⋅b+μb2=2+1+2μ+4μ=0 ,
解得 μ=−12 .
故答案为: −12 .
13. −2,18
由向量数量积几何意义可得当 C 为 G,F 时,数量积最大,当 C 为 D,E 时,数量积最小, 据此可得答案.
如图,由数量积几何意义,当 C 为 G 或 F 时,数量积最大,
此时 AC⋅AB=AB⋅AH=2×3×2+3×2×cs60∘=18 ;
当 C 为 D 或 E 时,数量积最小,
此时 AC⋅AB=AB⋅AI=−2×2×cs60∘=−2 .
故答案为: −2,18

14. 1:3##13
设 AB 的中点是 D ,连接 PD ,根据平面向量线性运算法则,得到 PD=13CD ,即可求得 S△ABP:S△ABC .
设 AB 的中点是 D ,连接 PD ,由 PA+PB+PC=0 ,可得 PA+PB=−PC ,
因为 PA+PB=2PD ,所以 PC=−2PD ,所以 PD=13CD ,
所以 P 为 CD 的三等分点 (靠近 D 点的分点),即 PD=13PC ,
所以 S△ABP:S△ABC=1:3 .

故答案为: 1:3 .
15. (1) a⋅b=1,a+b=29
(2) d=45,35
(1) 根据向量数量积、模的坐标运算求解;
(2)根据共线同向向量，设 d=4x,3x,x>0 ，根据模为 1 列方程求解.
(1) a=e1−e2=1,0−0,1=1,−1
b=4e1+3e2=41,0+30,1=4,3,
∴a⋅b=4×1+3×−1=1 ,
a+b=4+12+3−12=25+4=29.
( 2 )设 b=4,3,d=4x,3x,x>0 ，
d=16x2+9x2=1 ,解得 x=15 ,
所以 d=45,35 .
16. (1)证明见解析
(2) −∞,−2−3∪−2+3,1∪1,+∞
(1) 根据向量平行且有公共点得出三点共线;
(2)把夹角为锐角转化为数量积大于零且向量不平行求参即可.
(1)因为 AB=3e1−2e2,BD=BC+CD=12e1−8e2 ,
则 4AB=BD ,可知 AB,BD 共线,所以 A,B,D 三点共线;
(2)若 e1+λe2⋅λe1+e2=λe12+λe22+λ2+1e1⋅e2=2λ+λ2+1×1×1×12>0 ,
解得 λ