广西壮族自治区桂林市2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试卷（解析版）

这是一份广西壮族自治区桂林市2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试卷（解析版），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑）
1．若一元二次方程的二次项系数为1，则常数项为（ ）
A．1B．2C．3D．
【答案】D
【详解】一元二次方程的二次项系数为1，则常数项为，
故选：D.
2.已知线段，其中，，，则等于（ ）
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】∵，其中，，，
∴，解得
故选：A.
3.下列各点在反比例函数的图象上的是（ ）
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】∵，，，，
∴在反比例函数的图象上，故选项B符合题意，
故选：B.
4.一元二次方程根的情况为（ ）
A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根
C.没有实数根D.有两个正的实数根
【答案】A
【解析】一元二次方程根的判别式，
所以一元二次方程有两个不相等的实数根，
故选：A.
5.一城市准备选购一千株高度大约为2m的某种风景树来进行街道绿化,有四个苗圃生产基地投标（单株树苗的价格都一样）.采购小组从四个苗圃中都任意抽查了20株树苗的高度，得到的数据如下：请你帮采购小组出谋划策，应选购（ ）
A.甲苗圃的树苗B.乙苗圃的树苗
C.丙苗圃的树苗D.丁苗圃的树苗
【答案】D
【解析】根据表中数据可知甲、丁的方差小，波动小，树苗较整齐；
而甲树苗的高度为1.8m，丁树苗的高度为2.0m，根据题意选择丁苗圃的树苗.
故选D.
6.用配方法解一元二次方程，则配方后所得的方程正确的是（ ）
A.B.
C.D.
【答案】C
【解析】，
，
，
，
故选：C.
7.如图1是某班级的三角形花架，图2是其侧面示意图，已知，，，则的长为（ ）
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C.
8.如图，某山坡的坡面米，坡角，则该山坡的高度是（ ）
A.米B.米
C.米D.米
【答案】D
【解析】∵，
∴，
∵米，坡角，
∴米，
故选：D.
9.如图，和是直立在地面上的两根立柱，的长为6米，某一时刻在阳光下的投影米，在阳光下的投影长为8米，则的长为（ ）
A.米B.米C.米D.米
【答案】C
【解析】如图，
在测量的投影时，同时测量出在阳光下的投影长为8米，
∵，米，米，米，
，
，
∴.
故选：C.
10.若反比例函数的图象位于第一，三象限，则的取值范围是（ ）
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】根据题意得，，解得，，
故答案为：B.
11.今年政府继续支持家电以旧换新，涵盖了冰箱，洗衣机，电视，空调等8类家电商品.桂林出台最高补贴标准为按每件销售价格的给予补贴（每位消费者仅补贴一件，且补贴不得超过2000元）.李老师今年购买某品牌的全自动洗衣机一台，享受最高补贴后实际支付了2961元.已知此品牌的全自动洗衣机当时的售价是从4800元经过连续两次降价后的价格，且每次降低的百分率相同，设每次降低的百分率为，则根据题意，下列方程正确的是（ ）
A.B.
C.D.
【答案】B
【解析】设这个百分率为，根据题意得：，
故选：B.
12.我们学过“黄金分割”，知道“黄金分割”应用广泛，与之对应，还有一种分割叫“白银分割”.日常生活中随处可以见到“白银分割”的身影，比如日常用到的纸（图①），对折后分割成两个全等并与纸相似的纸（图②），这就是一个“白银分割”的例子.图中纸长边与短边的比值为（ ）
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】设纸长边与短边分别为x和y，
则纸长边与短边分别为y和，
根据对折后分割成两个全等并与纸相似的纸，
所以，
所以，
故图中纸长边与短边的比值为，
故选：A.
二、填空题（共6小题，每小题2分，共12分，请将答案填在答题卡上）
13.若，则 .
【答案】2
【解析】，则，
故答案为：2.
14.已知为锐角，若，则 .
【答案】45
【解析】∵为锐角，且，∴.
故答案为：45.
15.已知关于的一元二次方程的一个根为，则另一个根为 .
【答案】
【解析】设另一个根为，∵关于的一元二次方程的一个根为，
∴，解得：，
故答案为：.
16.青蛙是我们人类的朋友，为了了解某池塘里青蛙的数量，先从池塘里捕捞只青蛙，作上标记后放回池塘，经过一段时间后，再从池塘中捕捞出只青蛙，其中有标记的青蛙有只，估计这个池塘里大约有 只青蛙.
【答案】200
【解析】∵从池塘中捕捞出40只青蛙，其中有标记的青蛙有4只，
∴在样本中有标记的所占比例为，∴池塘里青蛙的总数为20÷=200.
17.如图，已知点在反比例函数的图象上，轴交轴于点，点在轴上，若的面积为3，则的值为 .
【答案】
【解析】连接，由轴，得，
根据反比例函数的性质，得，
由函数图象在二、四象限，得.
故答案为：.
18.如图，在中，，，点从点出发沿方向向终点以的速度移动；同时，点从出发沿方向向终点以的速度移动.设运动时间为，当 时，与相似.
【答案】或
【解析】点从点出发沿方向向终点以的速度移动；同时，点从出发沿方向向终点以的速度移动.设运动时间为，
则，，，
∵，
当时，，
∵，，
∴，
解得，；
当时，，
∵，，
∴，
解得，；
故答案为：或.
三、解答题（本大题共8题，共72分，请将解答过程写在答题卡上）
19.计算：.
解：原式.
20.解方程：.
解：移项，得，
配方，得，
即，
开平方，得，
解得，.
21.如图，在中，点D、B、C、E在同一条直线上，且.
（1）求证：；
（2）若，求的长度.
（1）证明：∵
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵
∴
∵，
∴
解得
22.如图，在边长为1的小正形组成的网格中建立平面直角坐标系，以原点为位似中心，在第一象限内将放大到原来的2倍后得到，其中在图中格点上，点的对应点分别为、.
（1）在第一象限内画出；
（2）求的面积.
解：（1）如图所示：
即为所求；
（2）如图所示：
.
23.学校组织七、八年级学生参加了体能测试.已知七、八年级各有600人，现从两个年级分别随机抽取10名学生的测试成缋（单位：分）进行统计：
七年级 90，94，79，84，71，76，90，83，86，87
八年级 75，76，90，87，78，93，88，87，87，79
整理如表，根据以上信息，回答下列问题：
（1）直接写出表中，的值；
（2）小明同学说：“这次测试我得了86分，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是哪个年级的学生？请说明理由；
（3）学校规定测试成绩不低于85分为“优秀”，估计该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数.
解：（1）七年级出现最多的数据是90，所以，
八年级处于中间的两个数都是87，所以.
（2）小明是七年级学生；
因为小明得分86分，大于七年级中位数85分，位于年级中等偏上水平，由此可判断小明是七年级学生.
（3）（人）.
答：该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数大约为660人.
24.【学科综合】我们知道：光线从空气中射入水中，会发生折射现象（如图1），我们把称为光线从空气射入水中的折射率（其中代表入射角，代表折射角）.
【观察实验】为了观察光线从空气射入水中的折射现象，设计了图2所示的实验，用激光笔发射激光，图3是实验的示意图，矩形为水槽的截面图，水槽未注水时，点发出的一束激光正好在水槽底端处形成光斑；保持激光入射角度不变，注满水后，光斑移动到点，点，，在同一直线上，测得，.
（1）求的值；
（2）若，求光线从空气射入水中的折射率.
解：（1）如图，过点作，垂足为，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴四边形是矩形，
，，
在中，，
由对顶角相等得：，
∴.
（2）由（1）已得：，，
∵，
，
在中，，
，
在中，，，
，
，
折射率，
答：光线从空气射入水中的折射率为.
25.综合与实践
【方法研究】配方法是数学中重要的一种思想方法，配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法.利用配方法可求一元二次方程的根，也可以求代数式的最值等.
例：求代数式的最小值.
解：原式.
，
，
的最小值为3.
【方法应用】
（1）仿照例题，用配方法求代数式的最小值.
【问题迁移】
（2）若，求，.
【拓展应用】
（3）如图，这是加菲尔德证明勾股定理的一个图形，其中，，是和的三边长.根据勾股定理，可得，我们把关于的一元二次方程，称为“勾系一元二次方程”，已知代数式的最小值是“勾系一元二次方程”的一个根，且，试求四边形的周长.
解：（1），
，
，
的最小值为；
（2），
，
，
，
，，
，，
，；
（3）由（1）的最小值是“勾系一元二次方程”的一个根，
，
，
，，
，
∴，
∴，
∴（负值舍去），，
四边形的周长为.
26.如图1，在中，，，点，分别是边，上的点，且，，连接.将绕点按顺时针方向旋转，记旋转角为.
（1）【问题发现】当时，______；当时，______；
（2）【拓展探究】试判断：当时，的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明.
（3）【问题解决】当旋转至，，三点共线时，直接写出线段的长.
解：（1）∵，，
，
当时，，，
，，
∴，
故答案为：；
如图1当时，
，，
，，
∴，
故答案为：；；
（2）的大小无变化；理由如下：
，
，
又∵，，
∴
∴，
∴；
（3）或；理由如下：
∵，，，，
，
如图，当点E在上时，，
，
∴
∵，
∴；
如图，当点D在上时，
同理可求，，
∴
∵，
∴；
综上所述，或.年级
平均数
中位数
众数
方差
七年级
84
85
44.4
八年级
84
87
36.6