广西梧州市2024—2025学年上学期期末考试九年级数学试题（解析版）-A4

这是一份广西梧州市2024—2025学年上学期期末考试九年级数学试题（解析版）-A4，共6页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
温馨提示：亲爱的同学，这是我们初中学段的一次检阅，希望你认真审题，周密思考，规范作答，考出理想成绩．请将答案填写在答题卡的对应区域内！
一、选择题：（每小题3分，共36分，请将答案填涂在答题卡相应的位置上）
1. 抛物线的对称轴是直线（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，对于二次函数，其对称轴为直线，据此可得答案．
【详解】解：抛物线的对称轴是直线，
故选：B．
2. 如图，在中，，那么的值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查锐角三角函数，解题的关键是记住正弦函数的定义．
根据锐角正弦函数定义：在中，，的正弦求解即可．
【详解】解：在中，，
∴．
故选：B．
3. 已知两个相似三角形的相似比为，则它们的对应高的比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比．相似三角形的面积的比等于相似比的平方．直接利用相似三角形的性质求解．
【详解】解：因为两个相似三角形的相似比为，
所以这两个三角形的对应高的比为．
故选：B．
4. 若点是反比例函数图象上的一点，则常数k的值为（ ）
A. 8B. C. 2D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，直接把代入反比例函数解析式中进行求解即可．
【详解】解：∵点是反比例函数图象上的一点，
∴，
∴，
故选：A．
5. 如图，，若，，，则的长度是（ ）
A. B. C. 3D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，即，
解得，．
故选：D．
6. 已知一坡面的坡度，则坡角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形，由斜坡的坡比为可得，由此结合特殊角的三角函数值即可求得坡角的度数.
【详解】解：∵斜坡的坡比为，坡角为，
∴，
∴.
故选：B．
7. 将二次函数的图像先向右平移2个单位，再向上平移7个单位，所得新抛物线的表达式（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可．
【详解】解：将二次函数的图像先向右平移2个单位，再向上平移7个单位，所得新抛物线的表达式，
故选：C．
8. 若的三边长分别是3，5，6，则与相似的的边可能是（ ）
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，根据相似三角形的判定定理对四个选项进行逐一判断即可．
【详解】解：A、∵的三边长分别是3，5，6，，，，
∴，
∴此选项不符合题意．
B、∵的三边长分别是3，5，6，，，，
∴，
∴此选项不符合题意．
C、∵的三边长分别是3，5，6，，，，
∴，
∴此选项不符合题意．
D、∵的三边长分别是3，5，6，，，，
∴，
∴此选项符合题意．
故选：D．
9. 已知a、b是不等于0的实数，，那么下列等式中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了比例的性质，根据比例的性质进行求解即可．
【详解】解：A、由得，，故本选项不符合题意；
B、由得，，整理得，，故本选项符合题意；
C、由得，，整理得，，故本选项不符合题意；
D、由得，，整理得，，故本选项不符合题意．
故选：B．
10. 若点（，），（，），（，），都是反比例函数图像上的点，并且，则下列各式中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】解：∵反比例函数y=﹣中k=﹣1＜0，
∴此函数的图像在二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大，
∵y1＜0＜y2＜y3，
∴点（x1，y1）在第四象限，（x2，y2）、（x2，y2）两点均在第二象限，
∴x2＜x3＜x1．
故选D．
11. 如图，点A0,3，，将线段平移得到线段．若，，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了坐标与图形的变换—平移，相似三角形的判定和性质，过点作轴于点，先证明，根据相似三角形的性质可得，求出点的坐标，构造相似三角形是解题的关键．
【详解】解：过点作轴于点，如图所示：
则，
∵点A0,3，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴点坐标为，
故选：A．
12. 如图，二次函数的图像经过点，，与y轴交于点C．则以下结论：
①；
②；
③；
④当时，y随x的增大而减少；
⑤若方程没有实数根，则．
其中正确结论的个数是（ ）
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
【答案】C
【解析】
【分析】根据抛物线的开口方向与y轴的交点可判断①；利用抛物线的对称轴直线对称轴判断②；利用抛物线的对称轴为，抛物线开口向上，可得到抛物线的最小值，进而可判断结论③；利用抛物线的增减性可判断④；利用一元二次方程的判别式结合即可求解⑤．
【详解】对于①：二次函数开口向上，故a＞0，与y轴的交点在y的负半轴，故c＜0，故ac＜0，因此①错误；
对于②：二次函数的图象与x轴相交于A（−2，0）、B（4，0），由对称性可知，其对称轴为：，又对称轴直线为，所以，所以因此，故②正确；
对于③：∵抛物线的对称轴为，抛物线开口向上，
∴当时，，
∴，
则
∴因此③正确；
对于④：∵抛物线的对称轴为，抛物线开口向上，
∴当时，y随x的增大而减少，
则有当时，y随x的增大而减少，故④正确；
对于⑤：∵若方程没有实数根，
∴＜0，
解得，故⑤正确；
∴正确的有②③④⑤，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与其系数的关系及二次函数的对称性，熟练掌握二次函数的图象性质是解决此类题的关键．
二、填空题：（每小题3分，共12分，请将答案填在答题卡相应的位置上）
13. 在中，，若，则________．
【答案】##0.4
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形，根据余弦的定义得到，则由正弦的定义可得．
【详解】解：∵在中，，，
∴，
∴，
故答案为：．
14. 大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是_____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形性质的应用，解题的关键在于理解小孔成像的原理得到相似三角形．
根据小孔成像的性质及相似三角形的性质求解即可．
【详解】根据小孔成像的性质及相似三角形的性质可得：蜡烛火焰的高度与火焰的像的高度的比值等于物距与像距的比值，
设蜡烛火焰的高度为，
根据题意得，，
解得：，
∴蜡烛火焰的高度为．
故答案为：．
15. 如图，抛物线与直线相交于点，，则关于x的方程的解为________．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，二次函数的图象和性质等知识点，能根据交点的坐标得出方程的解是解此题的关键．根据、两点的横坐标和函数的图象得出方程的解即可．
【详解】解：抛物线与直线相交于点，，
关于x方程的解为，，
故答案为：，．
16. 如图，在中，D、E分别是、上的点，与相交于点G，若，，则的值是______．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，结合图形准确作出平行线是解题的关键．过点D作交于点H，根据平行线分线段成比例定理得出，，即可得出结论．
【详解】解：过点D作交于点H，

，
，
，
，
，
，
，
，
，
的值是．
故答案为：．
三、解答题：（共72分）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了特殊角三角函数值的混合计算，先计算特殊角三角函数值，再根据实数的运算法则求解即可．
【详解】解：
．
18. 已知二次函数．
（1）请直接写出抛物线的顶点坐标；
（2）求抛物线与坐标轴交点的坐标．
【答案】（1）
（2）抛物线与x轴的交点坐标为和，与y轴的交点坐标为
【解析】
【分析】本题主要考查了求二次函数顶点坐标，求二次函数与坐标轴的交点坐标：
（1）根据解析式为顶点式即可得到答案；
（2）分别求出自变量为0时的函数值和函数值为0时自变量的值即可得到答案．
【小问1详解】
解：二次函数顶点坐标为；
【小问2详解】
解：在中，当时，，
当时，或，
∴抛物线与x轴的交点坐标为和，与y轴的交点坐标为．
19. 如图，在中，，，求的面积．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理和三线合一定理，过点A作于D，由三线合一定理得到，解求出的长，再利用勾股定理求出的长，从而求出的长，再利用三角形面积计算公式求解即可．
【详解】解：如图所示，过点A作于D，
∵，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
20. 如图，正方形的边长为4，点在边上，．
（1）请用直尺与圆规在边上画一点，使得（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）根据图中点的位置，证明（1）中结论成立．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的尺规作图，相似三角形的性质与判定，正方形的性质：
（1）作线段的垂直平分线交线段于F，则点F即为所求；
（2）可证明，则可证明，进而得到，，再证明，则可证明，据此可证明结论．
【小问1详解】
解：如图所示，作线段的垂直平分线交线段于F，则点F即为所求；
【小问2详解】
证明：由（1）可知，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
21. 多人跳绳是深受学生喜爱的一种运动．在跳绳过程中，大绳在某一时刻的形状可以近似地看成抛物线．阳光体育活动时间，小李和伙伴们一起跳绳．小李与小王分别站在两点摇绳，两位同学的摇绳点高度一致，其他伙伴参与跳绳．已知米，米．当大绳所在平面与地面垂直，且大绳的最低点E与地面刚好接触时，以点A为坐标原点，地面为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系．
（1）求此时抛物线的表达式；
（2）若参与跳绳的同学站在点F处，米，当绳位于图中抛物线时，则该同学最低要跳过多少米，才能让绳安全通过？
【答案】（1）
（2）该同学最低要跳过米，才能让绳安全通过
【解析】
【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式、二次函数的应用等知识点，掌握并能灵活运用二次函数的性质是解题的关键．
（1）依据题意可得：抛物线的顶点E为，从而可设抛物线为，又抛物线过点，将其代入求得a的值即可解答；
（2）依据题意可得：F的横坐标为4，从而G的纵坐标即可解答．
【小问1详解】
解：由题意可得，抛物线的顶点E为，，
∴可设抛物线为．
又∵抛物线过点，
∴，解得：，
∴抛物线为．
【小问2详解】
解：如图：过F作轴交抛物线与G，
由题意可知，F的横坐标为，则断G的横坐标为4，
∴点G的纵坐标为
∴该同学最低要跳过米，才能让绳安全通过．
22. 已知二次函数（为不等于0的常数）．
（1）若二次函数的图像经过点，则________；
（2）在（1）的条件下，当时，则的取值范围是________；
（3）若二次函数在时有最大值16，求的值．
【答案】（1）1 （2）
（3）或
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数图像的性质，求二次函数解析式，二次函数的最值问题：
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据（1）所求求出二次函数解析式，进而得到开口方向和对称轴，从而得到增减性，据此求解即可；
（3）先把解析式化为顶点式得到对称轴，再分和两种情况，根据二次函数在时有最大值16讨论求解即可．
【小问1详解】
解：∵二次函数的图像经过点，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：由（1）可知，该二次函数解析式为，
∴该二次函数开口向上，对称轴为直线，
∴当时，y随x增大而增大，
当时，，
当时，，
∴当时，则的取值范围是；
【小问3详解】
解：∵二次函数解析式为，
∴该二次函数对称轴为直线，顶点坐标为，
当时，函数在处有最大值，
∵二次函数在时有最大值16，
∴，
∴；
当时，则离对称轴越远函数值越大，
∵二次函数在时有最大值16，
∴当时，，
∴，
∴；
综上所述，或．
23. 【阅读理解】
在一个三角形中，如果有两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“亚直角三角形”．根据这个定义，显然，则这个三角形的第三个角为，这就是说“亚直角三角形”是特殊的钝角三角形．
【尝试运用】
（1）若某三角形是“亚直角三角形”，且一个内角为，请直接写出它的两个锐角的度数；
（2）如图1，在钝角中，，面积为42，求证：是“亚直角三角形”．（提示：作，垂足是点D）
【素养提升】
（3）如图2，在中，，点D在边上，连接，若是“亚直角三角形”，直接写出线段的长；
【答案】（1）和（2）见解析（3）或
【解析】
【分析】（1）根据新定义结合三角形的内角和定理得到，进行求解即可；
（2）作，垂足是点D，三角形的面积公式求出的长，勾股定理求出的长，进而求出的长，推出，证明，得到，进而推出，即可得证；
（3）分和两种情况，进行讨论求解即可．
【详解】解：（1）∵三角形是“亚直角三角形”，且一个内角为，
∴，解得：，
∴两个锐角的度数分别为：和；
（2）作，垂足是点D，
则：，
∴，
∴，
在中，由勾股定理，得：，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴是“亚直角三角形”；
（3）∵，
∴，
由题意，，且是“亚直角三角形”，分两种情况：
①当，
∵，
∴，
∴，
∴为的角平分线，
作，则：，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则：，
在中，，即：，解得：，
∴，
在中，；
②当时，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
综上：或．