广西壮族自治区南宁市2024~2025学年上学期八年级数学期末试卷（解析版）-A4

这是一份广西壮族自治区南宁市2024~2025学年上学期八年级数学期末试卷（解析版）-A4，共18页。试卷主要包含了本试卷分第Ⅰ卷两部分，不能使用计算器等内容，欢迎下载使用。
（考试形式：闭卷 考试时间：120分钟 分值：120分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效．
2．答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项．
3．不能使用计算器．考试结束时，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）
1. 下列各式是分式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查分式的识别，根据形如，为两个整式，且中含有字母，这样的式子叫做分式，进行判断即可．
【详解】解：，，，中，只有是分式；其余三个为整式；
故选B．
2. 下列长度的三根木条（单位：分米）首尾顺次相接能组成三角形的是（ ）
A. 1，2，3B. 1，3，5C. 4，4，5D. 2，5，8
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查构成三角形的条件，判断两条较短木条的长度和与较长木条的长度的大小关系，进行判断即可．
【详解】解：A、，不能构成三角形，不符合题意；
B、，不能构成三角形，不符合题意；
C、，能构成三角形，符合题意；
D、，不能构成三角形，不符合题意；
故选C．
3. 壮锦纹样取材于生活，是壮族文化的直接表现．下列壮锦纹样中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形的知识，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的概念是解题的关键．
【详解】解：A、该图形不是轴对称图形，故该选项不符合题意；
B、该图形不是轴对称图形，故该选项不符合题意；
C、该图形是轴对称图形，故该选项符合题意；
D、该图形不是轴对称图形，故该选项不符合题意；
故选：C．
4. 苏绣以细腻精美的刺绣技艺闻名，其所用最细丝线半径约为．数据用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．根据绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，进行求解即可．
【详解】解：用科学记数法表示为，故C正确．
故选：C．
5. 如图，高压电塔的设计中常采用三角形的结构使其更稳固，其中的道理是（ ）
A. 三角形具有稳定性B. 垂线段最短
C. 两点确定一条直线D. 两点之间，线段最短
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查三角形的稳定性，根据三角形的稳定性，判断即可．
【详解】解：高压电塔的设计中常采用三角形的结构使其更稳固，其中的道理是三角形具有稳定性；
故选A．
6. “方寸之间，别有洞天”，我国古代建筑常采用花窗框景，让风景如同镶嵌在画框中的风景画．如图所示的窗框的外框形状是正八边形，则这个正八边形的内角和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查正多边形的内角和，根据多边形的内角和的计算公式，进行求解即可．
【详解】解：；
故选D．
7. 如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和性质，先运用三角形内角和性质算出，结合全等三角形的性质，则，即可作答．
【详解】解：如图：
则，
∵上面这两个三角形是全等三角形，
∴，
故选：B．
8. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查整式的运算，根据同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，合并同类项的法则，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、不是同类项，不能合并，原运算错误，不符合题意；
B、，原运算错误，不符合题意；
C、，原运算错误，不符合题意；
D、，原运算正确，符合题意；
故选D．
9. 如图，从边长为a的正方形中去掉一个边长为1的小正方形，然后将剩余部分剪后拼成一个长方形，上述操作能验证的等式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查平方差公式几何背景，根据两个阴影部分的面积和可以用两个正方形的面积差表示，也可以用长方形的面积公式进行表示，即可得出结论．
【详解】解：由图可知，两个阴影部分的面积和，也可以用来表示；
∴能验证的等式是；
故选A．
10. 如图，在中，，，的平分线交于点D，于点E．若，则的长为（ ）
A. 8B. 10C. 12D. 14
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查含30度角的直角三角形，角平分线的性质．根据含30度的直角三角形的性质，得到，角平分线的性质，得到，再根据线段的和差关系进行求解即可．
【详解】解：∵，，
∴；
∵平分，，，
∴，
∴；
故选C．
11. 水退清淤不停歇，“洁”尽全力护家园．郁江2024年第1号洪水退水后，南宁市市政和园林管理局开展邕江沿岸清淤工作．该工作采用了人工冲洗和设备冲洗结合的方式，一台设备的工作效率相当于一名工人工作效率的10倍，用这台设备清理淤泥面积比5名工人清理这些淤泥少用．设一名工人每小时清理淤泥面积，可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查根据实际问题列分式方程，根据一台设备的工作效率相当于一名工人工作效率的10倍，用这台设备清理淤泥面积比5名工人清理这些淤泥少用20h，列出方程即可．
【详解】解：设一名工人每小时清理淤泥面积，则一台设备每小时清理淤泥面积，由题意，得：；
故选B．
12. 《庄子》中“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的意思是：一根一尺长的木棒，今天取它的一半，明天取它一半的一半，后天再取它一半的一半的一半……，这样取下去，永远也取不完．如果将这根木棒的长度看成单位“1”，用两种不同的方法表示被取走木棒长度的总和，即：被取走木棒长度的总和＝1－剩余木棒的长度，例如：取第一次得；取第二次得；取第三次得；……若，则用含m的式子表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查数字类规律探究，根据，得到，利用进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴
；
故选B．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．）
13. 如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，立柱，若，则______．
【答案】55
【解析】
【分析】本题考查三线合一，根据等腰三角形的三线合一，得到平分，即可得出结果．
【详解】解：∵为等腰三角形，，
∴平分，
∴；
故答案为：55．
14. 因式分解：x2﹣3x=_____．
【答案】x（x﹣3）
【解析】
【详解】试题分析：提取公因式x即可，即x2﹣3x=x（x﹣3）．
考点：因式分解.
15. 已知分式（a，b为常数）满足表格中的信息：
则的值是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查分式无意义的条件，分式的值为0的条件，根据分式的分母为0时，分母无意义，分式的分子为0，分母不为0，分式的值为0，分别求出的值，进而求出代数式的值即可．
【详解】解：由题意，得：，
∴，
∴；
故答案为：．
16. 如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于点E，F，若D，M分别为线段，上的动点，则的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，垂线段最短，三角形的面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键．读懂题意，过点作，交于一点，再连接，得，则的最小值为，再运用三角形的面积公式列式计算，即可作答．
【详解】解：过点作，交于点，再连接，
∵的垂直平分线分别交，于点E，F，
∴，
∵D，M分别为线段，上的动点，
则的最小值为，
∵，，
∴，
解得，
即的最小值为．
故答案为：
三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. （1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）；（2）；2
【解析】
【分析】本题主要考查了分式化简求值，整式四则混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算．
（1）根据单项式乘多项式运算法则和单项式除以单项式运算法则进行计算即可；
（2）根据分式混合运算法则进行化简，然后再代入数据求值即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
，
把代入得：原式．
18. 如图，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质：
（1）根据进行判定即可；
（2）根据全等三角形的对应角相等，得到，三角形的内角和定理求出的度数，利用角的和差关系，求出的度数即可．
【小问1详解】
证明：和中
，
∴；
【小问2详解】
由（1）知：，
∴，
∴，
∴．
19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．
（1）画出关于y轴对称的，并直接写出点的坐标；
（2）求的面积．
【答案】（1）图见解析，
（2）4
【解析】
【分析】本题考查坐标与轴对称，坐标与图形：
（1）根据轴对称的性质，画出即可；
（2）分割法求出三角形的面积即可．
【小问1详解】
解：如图，即为所求；
由图可知：；
【小问2详解】
由图可知：．
20. 两个小组从山脚同一起点同时开始攀登一座高的山，第一组的攀登速度是第二组的倍，他们比第二组早到达山顶．
（1）求第二组的攀登速度；
（2）两个小组在山顶欣赏美丽的风景后同时下山，他们下山速度都比各自上山的速度快，哪个小组先回到山脚起点？先到达多长时间？
【答案】（1）
（2）第一组先回到山脚起点，先到
【解析】
【分析】本题主要考查了分式方程的应用和分式加减的应用，解题的关键是理解题意，根据题意列出算式或方程．
（1）设第二组的攀登速度是，则第一组的攀登速度是，根据第一小组比第二组早到达山顶，列出方程，解方程即可；
（2）根据列出分式，然后求出结果即可．
【小问1详解】
解：设第二组的攀登速度是，则第一组的攀登速度是，依题意得：
．
解得：．
检验：当时，，
∴原分式方程的解为．
答：第二组攀登速度是．
【小问2详解】
解：由（1）得，第一组的攀登速度为．
第一组下山速度是，下山所用的时间为；
第二组的下山速度是，下山所用的时间是；
∴
，
答：第一组先回到山脚起点，先到．
21. 【知识回顾】我们已学习了五种用尺规完成的基本作图：①作一条线段等于已知线段；②作一个角等于已知角；③作一个角的平分线；④过一点作已知直线的垂线；⑤作一条线段的垂直平分线．
【图形呈现】
【实践操作】我们可运用尺规作图将一个大的黄金三角形分割成两个小的黄金三角形．
（1）小乐同学选择尺规基本作图①，如图1，在黄金1号的边上截取，连接后，得到和．小乐认为这两个三角形都是黄金三角形，小乐的说法对吗？请判断并证明你的结论；
（2）请你从尺规基本作图②③④⑤中选择一种，在如图2的黄金2号的边上找一点G，连接EG，将分割成两个小的黄金三角形（要求：不写作法，保留作图痕迹，标注字母）．
【答案】（1）对，证明见解析
（2）图见解析
【解析】
【分析】本题考查尺规作图，等腰三角形的判定和性质：
（1）根据作图得到，等边对等角求出的度数，进而求出的度数，进行判断即可；
（2）利用②或③的方法，进行作图即可．
【小问1详解】
解：小乐的说法正确；
证明如下：∵，
∴，
由作图可知：，
∴，
∴为黄金三角形；
∵，
∴，
∴为黄金三角形；
【小问2详解】
解：利用②作，如图：
∵，
∴，
由作图可知：，
∴，，
，
∴，
∴均为黄金三角形；
利用③作的角平分线，如图：
由作图可知：，
∴，，
∴，，
∴均为黄金三角形．
22. 【问题提出】妹妹：“哥哥，我有一种快速算出的方法，先用，再加上25，得到结果是5625．”妹妹的话引发了哥哥的兴趣．他通过查阅资料，围绕速算“两个两位数相乘的积”的规律开展了一系列探究活动．
【活动1】
阅读材料：用表示一个两位数，a代表十位上的数，b代表个位上的数，即．
观察思考：请观察下列运算规律
，
，
，
……
（1）根据阅读材料，可知：______；
（2）观察运算规律，猜想：；
【推理证明】
（3）结合以上内容，请你证明（2）中的猜想．
活动2】
（4）如果，类比上述探究过程，请你用一个式子表示速算的方法，并证明你的结论．
【答案】（1）（2）（3）证明见解析（4），证明见解析
【解析】
【分析】本题考查数字类规律探究，完全平方公式：
（1）根据两位数的表示方法进行求解即可；
（2）利用规律作答即可；
（3）利用完全平方公式进行证明即可；
（4）类比题干，写出方法，利用多项式乘以多项式的法则，进行证明即可．
【详解】解：（1）；
故答案：；
（2）；
故答案为：；
（3），
，
∴；
（4）；
证明：∵，
∴；
∵，
∴．
23. 问题背景：折纸和数学联系紧密，一张纸片通过折叠等操作，就能得到许多图形．
在综合与实践课上，同学们以“等边三角形纸片的折叠”为主题开展探究．
实验操作：已知等边纸片中，点D，E分别是边上的点，连接，将沿折叠得到，连接与．
【初步探究】当折痕平行时，完成下面探索任务：
（1）如图1，当点恰好落在边上时，求证：是等边三角形；
（2）如图2，当点落在内部时，求证：；
（3）当是直角三角形时，若，求的长；
【深入探究】当折痕与不平行时，完成下面探索任务：
（4）当是等腰直角三角形时，请直接写出的度数．
【答案】（1）见详解（2）见详解（3）或2（4）或
【解析】
【分析】（1）由得出，从而得出，进而得出，从而得出，从而是等边三角形；
（2）可证得，，从而得出；
（3）分两种情形：当时，可得出，从而得出结果；当时，可得出，从而得出结果；
（4）分三种情形：当时，；当时，；当时，．
【详解】（1）证明：∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵将沿折叠得到，
∴，
∴，
∴是等边三角形；
（2）证明：由（1）知：，
同理可得，，
∴是等边三角形，，
∴，
∵将沿折叠得到，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：如图1，
当时，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
如图2，
当时，
∵，
∴，
∴
综上所述：或2；
（4）解：如图，
当时，，
如图，
当时，，
∴
如图，
当时，，
∴，
综上所述：或．
x的取值
1
2
分式无意义
分式的值为0
有一个内角为的等腰三角形叫黄金三角形．我们将底角为的等腰三角形称为“黄金1号”；顶角为的等腰三角形称为“黄金2号”．这两种黄金三角形，你中有我，我中有你．