2021-2022学年广西南宁市八年级（上）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年广西南宁市八年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    下面的四个图形中，属于轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.    成人每天维生素的摄入量约为克．数据“”用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.    在平面直角坐标系中，点关于轴对称点的坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

4.    下列长度的线段中，能组成三角形的是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

5.    正多边形每个内角都是，则它的边数为(    )

A.  B.  C.  D.

6.    如图，在中，，是高，能直接判断≌的依据是(    )

A.
B.
C.
D.

7.    把分式中的，都扩大倍，则分式的值(    )

A. 扩大倍 B. 扩大倍 C. 缩小一半 D. 不变

8.    下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

9.    现有甲、乙、丙三种不同的长方形纸片若干张边长如图小明要用这三种纸片紧密拼接成一个没有缝隙的大正方形，他选取甲纸片张，再取乙纸片张，还需要取丙纸片的张数为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 一项工程，甲队独做要天，乙队独做要天，若甲乙两队合作，所需天数为(    )

A.  B.  C.  D.

11. 如图在长方形台球桌上打台球时，球的入射角等于反射角如果击打白球时入射角，恰好使白球在上边框的点处反弹后进入袋中，点到右边框的距离为，则白球从点到进袋所走过的路径约为(    )

A.
B.
C.
D.

12. 已知是边长为的等边三角形，为的中点，，交线段于，交的延长线于若，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13. 要使分式有意义，则的取值范围为______．
14. 如图，为了防止门板变形，小明分钉共一根加固木条，请用数学知识说明这样做的依据______．

15. 因式分解：______．
16. 若展开后等于，则的值为______．
17. “共和国勋章”获得者、“杂交水稻之父”袁隆平培育的杂交水稻解决了全球多个国家的温饱问题．某试验基地现有、两块试验田，分别种植甲、乙两种杂交水稻，今年两块实验田分别收获了吨和吨水稻．已知甲种杂交水稻的亩产量是乙种杂交水稻的亩产量的倍，块试验田比块试验田少亩，设乙种杂交水稻的亩产量是吨，则可列得的方程为______．
18. 已知一张三角形纸片如图甲，其中，将纸片沿折叠，使点与点重合如图乙时，；再将纸片沿折叠，使得点恰好与边上的点重合，折痕为如图丙，则的周长为______用含的式子表示．
     

三、解答题（本大题共8小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19. 本小题分
    化简：．
20. 本小题分
    先化简，再求值，其中．
21. 本小题分
    在中，，．
    尺规作图：求作边的垂直平分线分别交，于点和点；保留作图痕迹，不要求写出作图过程
    直接写出的形状．

22. 本小题分
    如图，点，，，在一条直线上，与相交于点，，，．
    求证：；
    若，，求的度数．

23. 本小题分
    年月，我市某区千亩“三月红”柑橘挂满枝头，采摘人员的需求也随之增多，为了尽快抢收成熟柑橘，某脱贫攻坚办公室紧急组织了一支志愿者服务队．某村种植合作社共需要采摘柑橘吨，村民采摘吨后，志愿者服务队加入一起采摘．已知志愿者服务队采摘的速度是村民采摘速度的倍，从村民开始采摘到全部采摘完毕，一共用了天．
    求村民每天采摘柑橘多少吨？
    已知合作社每天需要支出给村民劳务费元，志愿者服务队是义务劳动，不需支出劳务费，只需每天支出饮食费元，问志愿者服务队加入后可帮助合作社节省多少元？
24. 本小题分
    等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法．
    
    如图，在中，，，，，，则长为______；
    如图，在中，，，则的高与的比是______；
    如图，在中，，点，分别在边，上，且，，，垂足分别为点，若，求的值．
25. 本小题分
    【阅读理解】
    若满足，求的值．
    解：设，，则，
    ，
    ，
    我们把这种方法叫做换元法．利用换元法达到简化方程的目的，体现了转化的数学思想．
    【解决问题】
    若满足，则______；
    若满足，求的值；
    如图，在长方形中，，点，是，上的点，，且，分别以，为边在长方形外侧作正方形和，若长方形的面积为，求图中阴影部分的面积和．

26. 本小题分
    如图，分别以的两边，为边作和，使得，，．
    
    求证：；
    过点分别作于点，于点，
    如图，连接，请判断的形状，并说明理由；
    如图，若与相交于点，且，试猜想，，之间的数量关系，并证明．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：选项A、、均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项B能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：．
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了用科学记数法表示绝对值较小的数，表示形式为为正整数，关键是掌握等于原数第一个非零数字前所有零的个数，包括小数点前面的这个零．根据用科学记数法表示绝对值较小的数的方法进行解答即可．
【解答】
解：．
故选：．  

3.【答案】 

【解析】解：关于轴对称点的坐标是横坐标不变纵坐标变为原来的相反数
可知，关于轴对称点的坐标是．
故选C．
利用平面直角坐标系点对称的性质求解．
此题比较简单，考查直角坐标系点的对称性质．
 

4.【答案】 

【解析】解：根据三角形任意两边的和大于第三边，得
A.，故能组成三角形；
B.，故不能组成三角形；
C.，故不能组成三角形；
D.，故不能组成三角形．
故选：．
根据三角形的三边关系逐项进行分析判断即可得到结论．
本题考查了能够组成三角形三边的条件：用两条较短的线段相加，如果大于最长的那条线段就能够组成三角形．
 

5.【答案】 

【解析】解：设正多边形是边形，由内角和公式得
，解得，，
故选：．
根据多边形的内角和公式，可得答案．
本题考查了多边形内角与外角，由内角和得出方程是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：中，，是高

在和中，

≌
故选C。
根据题意直接根据定理可以判定两个直角三角形全等。
 

7.【答案】 

【解析】解：，
把分式中的，都扩大倍，则分式的值不变，
故选：．
先根据题意列出算式，再根据分式的基本性质进行化简即可．
本题考查了分式的基本性质，能正确根据分式的基本性质进行化简是解此题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
故A不符合题意；
，
故B不符合题意；
，
故C不符合题意；
，
故D符合题意；
故选：．
分别计算，，，，再结合选项进行判断即可．
本题考查整式的乘除法运算，熟练掌握同底数的乘法，幂的乘方，负整数指数幂的运算，整数的除法运算是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：取甲纸片张，取乙纸片张，
面积为，
小明要用这三种纸片紧密拼接成一个没有缝隙的大正方形，丙纸片的面积为，
还需张丙纸片，即，
故选：．
先分别求出甲、乙、丙纸片的面积，再根据完全平方式求出答案即可．
本题考查了完全平方式，能熟记完全平方式的特点是解此题的关键，完全平方式有和两个．
 

10.【答案】 

【解析】解：依题意得：．
故选：．
把总的工作量看作单位“”，然后根据工作时间列出代数式．
本题考查了列代数式分式，找到合适的等量关系是解决问题的关键．本题考查工作时间工作总量工作效率这个等量关系．
 

11.【答案】 

【解析】解：由题意可得：，，

，
，
，
．
故选：．
利用，进而求出的度数，从而得的度数，最后运用含角的直角三角形的性质即可得出答案．
此题主要考查了生活中的轴对称现象，得出的度数是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：作交于．

设，则，，是等边三角形，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
故选：．
作交于证明≌，由全等三角形的性质即可解决问题．
本题主要考查了等边三角形的性质及全等三角形的判定与性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
 

13.【答案】 

【解析】解：由题意得，，
解得．
故答案为：．
根据分式有意义，分母不等于列不等式求解即可．
本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：
分式无意义分母为零；
分式有意义分母不为零；
分式值为零分子为零且分母不为零．
 

14.【答案】三角形的稳定性 

【解析】解：为了防止门板变形，小明在门板上钉了一根加固木条，形成三角形的结构，这样做的理由是利用了三角形的稳定性．
故答案为：三角形的稳定性．
根据三角形的三边一旦确定，则形状大小完全确定，即三角形的稳定性．
本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查用提公因式法和公式法进行因式分解的能力，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．先提取公因式，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】
解：，
，
．
故答案为．  

16.【答案】 

【解析】解：根据题意，可得：
，
，
，
．
故答案为：．
首先根据完全平方公式，可得：，然后根据已知即可求出的值．
此题主要考查了完全平方差公式的应用，解答此题的关键是要熟记完全平方差公式：．
 

17.【答案】 

【解析】解：甲种杂交水稻的亩产量是乙种杂交水稻的亩产量的倍，乙种杂交水稻的亩产量是吨，
甲种杂交水稻的亩产量是吨．
依题意得：．
故答案为：．
根据两种杂交水稻亩产量间的关系，可得出甲种杂交水稻的亩产量是吨，利用种植亩数总产量亩产量，结合块试验田比块试验田少亩，即可得出关于的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：，，
，
由折叠得：，，，
可得，
的周长为．
故答案为：．
根据折叠的性质得，，，可得，即可得的周长．
本题考查了列代数式，翻折变换，等腰三角形的性质，灵活掌握折叠的性质是本题的关键．
 

19.【答案】解：


． 

【解析】先算积的乘方，单项式乘单项式，再合并同类项即可．
本题主要考查单项式乘单项式，积的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

20.【答案】解：

，
当时，
原式
． 

【解析】先利用分式的相应的法则对式子进行化简，再代入相应的值运算即可．
本题主要考查分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

21.【答案】解：如图，直线即为所求．

为线段的垂直平分线，
，
，
，
，
，
，
为等腰三角形． 

【解析】按照线段垂直平分线的作图步骤作图即可．
根据线段垂直平分线的性质可得，则，进而可得的度数，结合等腰三角形的性质可得的度数，即可得出答案．
本题考查尺规作图、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质和作图步骤，以及等腰三角形的判定与性质是解答本题的关键．
 

22.【答案】证明：，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
；
解：由得，，
，，
在中，，
． 

【解析】由得，根据得，可证明≌，根据全等三角形的的性质和平行线的性质即可证得结论；
由全等三角形的性质得到，，根据三角形内角和定理即可求出．
本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，根据判定三角形全等的方法证得≌是解决问题的关键．
 

23.【答案】解：设村民每天采摘柑橘吨，则志愿服务队每天采摘柑橘吨，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
则，
答：村民每天采摘柑橘吨．
原计划村民需天才能完成，则需花费元．
志愿队工作了天，村民工作了天，
实际花费为：元，
共节省了：元，
答：志愿者服务队加入后可帮助合作社节省元． 

【解析】设村民每天采摘柑橘吨，则志愿服务队每天采摘柑橘吨，由题意：从村民开始采摘到全部采摘完毕，一共用了天．列出分式方程，解方程即可；
求出原计划村民需要的天数和志愿队工作的天数，再求出实际花费的费用，即可解决问题．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

24.【答案】  ： 

【解析】解：如图中，
，
，
；
故答案为：；
如图中，

，
，
：：；
故答案为：：；
，，，
，
，
又，
，
即．
利用面积法求出即可．
如图中，利用面积法求出高与的比即可．
如图，利用面积法求出，可得结论．
本题属于几何变换综合题，考查了三角形的面积，解题的关键是学会利用面积法解决问题，属于中考常考题型．
 

25.【答案】 

【解析】解：根据阅读材料的方法，设，，
则，
而，
；
故答案为：；
设，，则，
而，
，
，
，
即；
由题意得：，，
设，，
，
长方形的面积为，
，
图中阴影部分的面积和
根据阅读材料的方法，设，，则，而，根据，即可求解；
设，，则，而，最后根据完全平方公式，即可求解；
设，，根据长方形的面积为，列方程同理可得结论．
本题考查了完全平方公式，换元等知识，解题关键是灵活利用换元思想，熟练掌握完全平方公式．
 

26.【答案】证明：，
，
，
在和中，
，
≌，
；
解：是等腰三角形，理由如下：
≌，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
是等腰三角形；
解：，理由如下：
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，，，
，
，
，，，
，
，
，
，
． 

【解析】由“”可证≌，可得；
由“”可证≌，可得，可得结论；
由“”可证≌，可得，，由“”可证≌，可得，，，由直角三角形的性质可得，由线段的和差关系可求解．
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．