广东省珠海市多校2024-2025学年高一下学期4月联考数学试卷（解析版）

这是一份广东省珠海市多校2024-2025学年高一下学期4月联考数学试卷（解析版），共15页。试卷主要包含了单选题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8题，每小题5分，共计40分．每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的）
1. 简谐运动的相位与初相是（ ）
A. ，B. ，4
C. ，－D. ，
【答案】C
【解析】相位是，当时的相位为初相即．
故选：C.
2. 若，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由，即.
故选：A.
3. 为了得到函数的图像，只需把余弦函数上所有点（ ）
A. 向左平行移动个单位长度B. 向左平行移动个单位长度
C. 向右平行移动个单位长度D. 向右平行移动个单位长度
【答案】D
【解析】因为，
所以为了得到函数的图像，只需把余弦函数上所有点向右平行移动个单位长度.
故选：D.
4. 函数在y轴两边的局部图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】，
所以为偶函数，排除A，D；
又∵，当时，.排除C选项，B选项正确.
故选：B.
5. 已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则实数的值是（ ）
A. －4和B. C. －4D. 1
【答案】B
【解析】由三角函数的定义可得，
则，整理可得，因为，解得.
故选：B.
6. 已知，且，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵，
∴，，，
若，则，，不合题意，
∴，∴，，∴．
故选：C．
7. 已知定义在上的函数，则不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】令，则函数定义域关于原点对称，
且，
所以函数是奇函数，
所以不等式
，
因函数和在上均为增函数，
所以函数为定义在上的增函数，
所以，
所以不等式的解集是.
故选：C.
8. 若函数的两个零点分别为和，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】函数，
其中，
由，得，而，
因此，即，则
即，
所以.
故选：A.
二、多项选择题（本大题共3题，每小题6分，共计18分．每小题列出的四个选项中有多项是符合题目要求的，多选或错选不得分）
9. 已知函数的部分图象如下图所示，则下列给论中正确的是（ ）
A.
B. 在区间上单调递增
C. 是函数图象的一条对称轴
D. 若，则的最小值为
【答案】ACD
【解析】由图象知：，，；
又的最小正周期，，
，，
，解得：，又，
，；
对于A，，A正确；
对于B，当时，，
当时，单调递减，B错误；
对于C，当时，，是的一条对称轴，C正确；
对于D，，，D正确.
故选：ACD.
10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 的最小正周期为
B. 的图象关于直线对称
C. 若关于的方程有解，则
D. 若为锐角一个内角，且，则
【答案】ABD
【解析】；
对A：的最小正周期为，故A正确；
对B：，又是的最大值，则的图象关于对称，故B正确；
对C：若关于的方程有解，则的取值范围为的值域，
又，故，故C错误；
对D：，故可得，
为锐角三角形的一个内角，，，
，故D正确.
故选：ABD.
11. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到应用.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.如图，将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车半径为，筒车转轮的中心到水面的距离为，筒车每分钟沿逆时针方向转动3圈.若规定：盛水筒对应的点从水中浮现（即时的位置）时开始计算时间，且以水轮的圆心为坐标原点，过点的水平直线为轴建立平面直角坐标系.设盛水筒从点运动到点时所经过的时间为（单位：），且此时点距离水面的高度为（单位：）（在水面下则为负数），则与的关系为.下列说法正确的是（ ）
A.
B. 点第一次到达最高点需要的时间为
C. 在转动的一个周期内，点在水中的时间是
D. 若在上的值域为，则的取值范围是
【答案】ABD
【解析】对于A，因为筒车半径为，筒车转轮的中心到水面的距离为，
则依题意，满足，所以，
因为筒车每分钟60s沿逆时针方向转动3圈，所以，，
则，由可得，
又因为，所以，故A正确；
对于B，由已知得，与轴正方向的夹角为，
所以点第一次到达最高点需要转动，则所需时间为，故B正确；
对于C，在转动的一个周期内，点在水中转动，
则所需要的时间是，故C错误；
对于D，若在上的值域为，
则在上的值域为，
因为，所以，
作出函数图象，依题意需使
即，解得，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题（每小题5分，共计15分）
12. 函数的单调递增区间是______．
【答案】
【解析】由，
令，，
解得，，
所以函数的单调递增区间是.
13. 计算_____________.
【答案】
【解析】由题意得
．
14. 已知函数在区间上单调递减，则___________.
【答案】2
【解析】易知，
由可得关于成中心对称，
即为的一个对称中心；
所以，即；
又在区间上单调递减，所以，解得；
当时，此时，满足题意.
四、解答题（本题共5题，共77分，解答题需写出必要的解题过程或文字说明）
15. 设是两个不共线的向量，已知．
（1）求证：三点共线；
（2）若且，求实数的值．
解：（1）由已知，得，
因为，
所以，又与有公共点，
所以三点共线．
（2）由（1），知，若，且，
可设，所以，
即．
又是两个不共线的向量，所以，
解得．
16. 已知，为锐角，，．
（1）求的值；
（2）求的值．
解：（1）因为，为锐角，则，，，
则，，
而．
（2）由，得：，，
则．
17. 已知函数在时的最大值为1.
（1）求常数的值；
（2）求函数的单调递减区间；
（3）求使成立的的取值集合.
解：（1）
；
因为，所以，
所以当时，有最大值，
所以，所以.
（2），
令，
得，
所以函数的单调递减区间是.
（3），即，
所以，所以，
解得，
所以使成立的的取值集合是.
18. 如图，正方形ABCD边长为1，P，Q分别为边AB，DA上的点.
（1）当时，求的面积最小值（的面积公式是）；
（2）求当的周长为2时，求的大小.
解：（1）当，设，，
则，，，
，
因为，所以，
则，则，
则，
所以，
所以的面积的最小值为.
（2）设线段、的长度分别为、，，
因为正方形的边长为，
则，，
因为的周长为，所以，
则由勾股定理得，即，
又因为，，
则
因为，所以，
所以.
19. 函数的一段图象如图所示
（1）求的解析式；
（2）把的图象向左至少平移多少个单位，才能使得到的图象对应的函数为偶函数？
解：（1）由最高点和最低点的纵坐标可得：，
函数的最小正周期：，则，
由过得：，
令可得：，
.
（2）由为偶函数
知即，取可得.