广东省珠海市第一中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学模拟卷03（含解析）

这是一份广东省珠海市第一中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学模拟卷03（含解析），共17页。试卷主要包含了本试卷分第Ⅰ卷两部分等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
题
1．设复数，则z在复平面内对应的点的坐标为（ ）
A．（1，1）B．（-1，1）C．（1，-1）D．（-1，-1）
2．已知，则（ ）
A．B．1C．D．
3．已知向量，且，则向量与的夹角为（ ）
A．B．
C．D．
4．已知平面直角坐标系xOy中，原点为O，点，，C(3，0)，则向量在向量方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
5．扇子最早称“翣”，其功能并不是纳凉，而是礼仪器具，后用于纳凉、娱乐、欣赏等．扇文化是中国传统文化的重要门类，扇子的美学也随之融入到建筑等艺术审美之中．图1为一古代扇形窗子，此窗子所在扇形的半径（图2），圆心角为 ，且C为的中点，则该扇形窗子的面积为（ ）
A． B． C．D．
6．如图，在平面内放置两个相同的直角三角板，其中，且B，C，D三点共线，则下列结论不成立的是（ ）
A．B．
C．与共线D．
7．已知复数是一元二次方程的一个根，则（ ）
A．0B．1C．D．2
8．赵爽是我国古代著名的数学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”(以弦为边长得到的正方形组成)，如图(1)类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图(2)所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设，则图中阴影部分与空白部分面积之比为( )
A．B．C．D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．下列各组向量中，不能作为基底的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
10．如图，A，B是在单位圆上运动的两个质点.初始时刻，质点A在（1，0）处，质点B在第一象限，且.质点A以的角速度按顺时针方向运动，质点B同时以的角速度按逆时针方向运动，则（ ）
A．经过1后，扇形AOB的面积为
B．经过2后，劣弧的长为
C．经过6后，质点B的坐标为
D．经过后，质点A，B在单位圆上第一次相遇
11．已知曲线，，为了得到曲线，可以将曲线（ ）
A．向左平移个单位，再把得到的曲线各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变
B．向左平移个单位，再把得到的曲线各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变
C．各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位
D．各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位
12．欧拉公式（本题中为自然对数的底数，i为虚数单位）是由瑞士若名数学家欧拉创立，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，依据欧拉公式，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．复数在复平面内对应的点位于第二象限
C．复数的共轭复数为
D．复数在复平面内对应的点的轨迹是圆
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知向量，，若，则 ．
14．海上有A、B、C三个小岛，其中B岛在A岛的正东方向10海里处，C岛在A岛北偏东30°方向上，且在B岛北偏西60°方向上，则B、C两岛间的距离为 海里．
15．复数与复数在复平面内对应的点分别是A，B，O为坐标原点，则 ．
16．对于角的集合和角，定义：为集合相对角的“余弦方差”，则集合相对角的“余弦方差”为 .
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．复数，为虚数单位，m为实数．，
若在复平面内对应的点位于第四象限，求m的取值范围；
若，为虚数，且，求实数m，n的值．
18．某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
（1）请将上表数据补充完整；函数的解析式为= （直接写出结果即可）；
（2）求函数的单调递增区间；
（3）求函数在区间上的最大值和最小值．
19．已知，，为的内角，且，为锐角．
（1）求角的大小；
（2）求的取值范围．
20．已知向量，，函数．
(1)求的最小正周期；
(2)求的单调增区间，对称轴；
(3)求在区间上的最大值和最小值以及对应的x的值．
21．已知，其中．求：
(1)的值；
(2)求角的值
22．如图，点分别是正方形的边、上两点，，，记点为的外心.
(1)若，，，求的值；
(2)若，求的取值范围；
(3)若，若，求的最大值.
参考答案：
1．D
【分析】根据复数的除法运算求出复数，再根据复数的几何意义可得答案.
【详解】,
则z在复平面内对应的点的坐标为.
故选：D
2．B
【分析】利用同角三角函数的基本关系式即可求得结果．
【详解】，
故选：B．
3．B
【分析】根据两向量的夹角公式，结合夹角的范围计算即得.
【详解】设向量与的夹角为θ，则，
又，故.
故选：B.
4．A
【分析】利用平面向量的几何意义即投影向量的定义求解即可
【详解】解：因为，，C(3，0)，
所以，，
所以向量在向量方向上的投影向量为
.
故选：A
5．C
【分析】将化为弧度，然后利用扇形的面积公式即可求得答案.
【详解】由题意得：化为弧度为，
又，C为的中点，
则该扇形窗子的面积为，
故选：C
6．D
【分析】根据直角三角形的性质、向量的线性运算，即可判定.
【详解】设，∠A=30°，且三点共线，
则，，，，
所以.
故A、B、C成立，D不成立.
故选：D
7．C
【分析】设出，，代入方程，化简得到，求出，并求出模长.
【详解】设，，
，即，
故，解得或，
故，所以.
故选：C．
8．B
【分析】设，根据几何关系求出AD、DF、BD、，根据余弦定理求出AB，再根据等边三角形面积即可计算.
【详解】设，则，，，，
在中，根据余弦定理得，
，
∴，
，
∴，
∴图中阴影部分与空白部分面积之比为.
故选：B.
9．ACD
【分析】
分别判断四个选项中的两个向量是否共线得到答案.
【详解】对于A，，，由零向量与任意向量共线，可知两个向量不能作为基底；
对于B，因为，，所以，所以两个向量不共线，可以作为基底；
对于C，因为，，所以，可知两个向量共线，故不可以作为基底；
对于D，由，，得：，可知两个向量共线，故不能作为基底；
故选：ACD
10．BD
【分析】根据任意角的概念和题意逐项进行分析即可求解.
【详解】对于，由题意可知：经过1后，，
所以此时扇形AOB的面积为，故选项错误；
对于，经过2后，，
所以此时劣弧的长为，故选项正确；
对于，经过6后，质点转过的角度为，结合题意，此时质点为角的终边与单位圆的交点，所以质点B的坐标为，故选项错误；
对于，经过后，质点转过的角度为，质点转过的角度为，因为，所以经过后，质点，在单位圆上第一次相遇，故选项正确，
故选：.
11．BD
【分析】根据三角函数的图象变换的规则，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，将函数的图象向左平移个单位，可得，再把得到的曲线各点的横坐标伸长为原来的2倍，可得，所以A不正确；
对于B中，将函数的图象向左平移个单位，可得，再把得到的曲线各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，所以B正确；
对于C中，将函数的图象上各点横坐标缩短为原来的倍，可得，再把得到的曲线向左平移个单位，可得，所以C不正确；
对于D中，将函数的图象上各点横坐标缩短为原来的倍，可得，再把得到的曲线向左平移个单位，可得，所以D正确；
故选：BD.
12．ABD
【分析】由欧拉公式和特殊角的三角函数值可判断A；由欧拉公式和三角函数在各个象限的符号可判断B；由欧拉公式和共轭复数的概念可判断C；由欧拉公式和复数的几何意义可判断D.
【详解】对于A，，A正确；
对于B，，，
复数在复平面内对应的点位于第二象限，B正确；
对于C，，共轭复数为，C错误；
对于D，，在复平面内对应的点为，
又，在复平面内对应的点的轨迹是圆.
故选：ABD.
13．
【分析】利用向量垂直的性质可得，由同角三角函数的基本关系，二倍角公式结合诱导公式可得解．
【详解】解：向量，，，
，
，
，
，
．
故答案为．
【点睛】本题考查正弦函数值的求法，考查向量垂直的性质、三角函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
14．
【分析】利用解直角三角形可求B、C两岛间的距离.
【详解】由题设可得如图所示的示意图：则
，，且（海里）.
故（海里），
故答案为：.
15．1
【分析】由复数的运算化简复数后得两点坐标，求得和的正切值，然后由两角差的正切公式计算．
【详解】，所以，
，所以，如图，
则，，
所以．
故答案为：1．

16．/
【分析】利用两角和差余弦公式化简已知等式，结合诱导公式和同角三角函数平方关系即可求得结果.
【详解】.
故答案为：.
17．（1）的取值范围是；（2），.
【分析】（1）由在复平面内对应的点位于第四象限的性质可得，复数实大于零且虚部小于零，列不等式组能求出的取值范围；（2）化简，由虚数定义和复数相等的性质列方程组，能求出的值.
【详解】，在复平面内对应的点位于第四象限，
，解得．
的取值范围是．
复数，，
，为虚数，且，，，，为虚数，，即，
解得，．
【点睛】本题主要考查复数的基本概念与运算，属于中档题. 复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数相等的性质，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.
18．（1）；（2），；（3）见解析
【详解】试题分析：（1）由函数的最值求出，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得函数的解析式．
（2）利用正弦函数的单调性，求得函数）的单调递增区间．
（3）利用正弦函数的定义域、值域，求得函数）在区间上的最大值和最小值
试题解析：
（1）
根据表格可得
再根据五点法作图可得 ，
故解析式为：
（2）令 函数的单调递增区间为，.
（3）因为，所以.
得：.
所以,当即时，在区间上的最小值为.
当即时，在区间上的最大值为.
【点睛】本题主要考查由函数的部分图象求解析式，由函数的最值求出，由周期求出，由五点法作图求出的值，正弦函数的单调性以及定义域、值域，属于基础题．
19．（1）；（2）.
【分析】（1）由条件三角恒等式，应用两角和差公式可得，结合诱导公式和三角形内角和定理求，进而求.
（2）应用三角恒等变换、三角形内角和性质可得，令则
，，应用二次函数的性质求范围.
【详解】（1）∵，
∴，即，而，
∴，又为锐角，即．
（2），
令，则，，
∴，即的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：
（1）由三角恒等变换、三角形内角关系，将条件等式转化求角.
（2）将目标式作恒等变换，应用换元法，结合二次函数的性质求范围.
20．(1)
(2)单调增区间为，对称轴为
(3)当时，有最大值为；时，有最小值为
【分析】（1）根据向量的运算法则结合三角恒等变换化简得到，再计算周期即可.
（2）取，和，解得答案.
（3）确定，再计算最值即可.
【详解】（1）
，
故.
（2）取，解得，
故单调增区间为，
取，解得，故对称轴为.
（3）当时，，
当，即时，有最大值为；
当，即时，有最小值为；
21．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，利用三角函数的基本关系式，求得，结合两角差的正弦公式，即可求解；
（2）根据题意，求得，得到，进而求得的值.
【详解】（1）解：因为且，可得，
所以
则.
（2）解：由（1）知，
因为，可得，
又因为，
所以，可得，所以，
所以.
22．(1)1
(2)
(3)
【分析】
（1）建立平面直角坐标系，根据向量数量积的坐标运算求得的值.
（2）设，求得关于的表达式，进而求得的取值范围.
（3）设，，将表示为关于的表达式，求得的取值范围，进而求得的最大值.
【详解】（1）
以点为坐标原点，为轴，建立直角坐标系.，，
所以.
（2）
设，，
则，.
，
由于，根据对勾函数的性质可知.
（3）
；
.
设，，则这两个式子为，
化简得
解得
所以，
设，，
令，
所以由对勾函数的性质得，
所以当时，即点与点重合时，取到最大值.
【点睛】求解平面向量数量积有关问题，有两个求解思路，一个是利用平面向量的基本定理，通过转化的方法来求得数量积；另一个思路是根据图形的特征，通过建立平面直角坐标系，利用坐标法来进行求解.
0
0
2
0
0
0
0
2
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