2024-2025学年广东省珠海某校高二下学期开学测试数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年广东省珠海某校高二下学期开学测试数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.根据随机数估计甲获胜的概率为( )
A. 0.9B. 0.95C. 0.8D. 0.85
2.抛物线y=2x2的准线方程是( )
A. y=18B. y=−18C. x=14D. x=−14
3.已知数列{an}是首项为a1,公差为d的等差数列，前n项和为Sn,且2a4=a3+5，则S9=( )
A. 35B. 40C. 45D. 50
4.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为 72，则双曲线C的渐近线方程为( )
A. y=± 32xB. y=± 33xC. y=±12xD. y=±x
5.已知圆C1:x2+y2+2x+8y+13=0与圆C2:x2+y2−4x−5=0，则圆C1与圆C2的公切线的条数有( )
A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条
6.已知空间向量OA,OB,OC两两相互垂直，且|OA=|OB=|OC|=|OP|，若OP=xOA+yOB+zOC则x+y+z的取值范围是( )
A. − 33, 33B. −1,1C. [− 3, 3]D. −2,2
7.设m、n为不相等的正实数，椭圆x2m+y2n=1的焦点分别为F10,2与F20,−2.若此椭圆上存在点P使得▵PF1F2为正三角形，则m+n=( )
A. 4+2 3B. 2 7C. 28D. 36
8.在空间直角坐标系O−xyz中，正四面体P−ABC的顶点A、B分别在x轴，y轴上移动．若该正四面体的棱长是4，则OP的取值范围是( )
A. 2,6B. 2 3−2,2 3+2
C. 2 3−2,4D. 2,2 3+2
二、多选题：本题共4小题，共24分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的有( )
A. 直线x+ 3y+3=0的倾斜角为150 ∘
B. 直线y−3=kx−2必过定点2,3
C. 方程y=kx−2与方程k=yx−2表示同一条直线
D. 经过点P2,1，且在x,y轴上截距相等的直线方程为x+y−3=0
10.柜子里有2双不同的鞋，从中随机地一次性取出2只，记事件A=“取出的鞋恰好成一双鞋”，事件B=“取出的鞋都是一只脚的”，事件C=“取出的鞋子是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋”，则下列说法正确的是( )
A. 该试验的样本空间共有6个样本点B. 事件A与事件C互为对立事件
C. P(B∪C)=P(A)D. 事件B与事件C相互独立
11.已知F1,F2分别为双曲线C:x24−y25=1的左、右焦点，点A为双曲线右支上任意一点，点M2,3，下列结论中正确的是( )
A. AF1−AF2=4
B. AM+AF1的最小值为4+ 10
C. 过M与双曲线有一个公共点直线有3条
D. 若∠F1AF2=90 ∘，则▵F1AF2的面积为5
12.若等差数列{an}的前n项和为Sn，首项为a1，公差为d，设ak>0，ak+ak+1b>0)的左、右焦点，点P，Q为椭圆C上的两点，且满足∠PF2Q=60∘，PF1=2QF2，则椭圆C的离心率为 ．
四、解答题：本题共4小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题12分)
已知数列an的前n项和公式为Sn=2n−1(n∈N∗).
(1)求数列an的通项公式an；
(2)设bn=lg2a2n，求数列bn的前n项和Tn．
20.(本小题12分)
甲、乙两名同学组成“梦队”与AI人工智能进行比赛．每轮比赛均由甲、乙分别与AI挑战一次，已知甲每次挑战成功的概率为34，乙每次挑战成功的概率为p(p>0).在每轮比赛中，甲和乙成功与否互不影响，各轮结果也互不影响．“梦队”在两轮比赛中挑战成功4次的概率为14．
(1)求p的值；
(2)求“梦队”在两轮比赛中，挑战成功至少2次的概率．
21.(本小题12分)
如图，等腰梯形ABCD中，AD//BC，AB=BC=CD=12AD=2，现以AC为折痕把▵ABC折起，使点B到达点P的位置，且PA⊥CD．

(1)证明：平面PAC⊥平面ACD；
(2)若M为PD上的一点，点P到平面ACM的距离为2 55，求二面角M−AC−D的余弦值．
22.(本小题12分)
已知抛物线C的标准方程为y2=2px(p>0)，M为抛物线C上一动点，A(a,0)(a≠0)为其对称轴上一点，直线MA与抛物线C的另一个交点为N.当A为抛物线C的焦点且直线MA与其对称轴垂直时，▵MON的面积为92．
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)记t=1|AM|+1|AN|，若t值与点M的位置无关，则称此时的点A为“稳定点”，试求出所有“稳定点”，若没有，请说明理由．
参考答案
1.B
2.C
3.C
4.A
5.C
6.C
7.C
8.B
9.AB
10.AC
11.ABD
12.ABD
13.−5
14.1,43

16.2n+1(n∈N∗)
17.547
18. 219
19.解：(1)当n=1时，a1=S1=2−1=1，
当n≥2时，an=Sn−Sn−1=2n−1−2n−1−1=2n−1，
显然n=1时，21−1=1满足要求，
综上，an=2n−1(n∈N∗)；
(2)由(1)得bn=lg2a2n=lg222n−1=2n−1，则bn+1−bn=2n+1−1−2n+1=2，
故bn为首项b1=1, d=2的等差数列，所以Tn=n1+2n−12=n2．

20.解：(1)设A0，A1，A2分别表示甲两轮挑战成功的次数分别为0，1，2的事件，
B0，B1，B2分别表示乙两轮挑战成功的次数分别为0，1，2的事件，
则P(A0)=(1−34)2=116，
P(A1)=34×14+14×34=38，
P(A2)=(34)2=916，
P(B0)=(1−p)2，
P(B1)=2p(1−p)，
P(B2)=p2，
设“梦队”在两轮比赛中挑战成功4次为事件C，
则P(C)=P(A2B2)=916p2=14，解得：p=23(负舍)．
(2)由(1)知P(B0)=19，P(B1)=49，P(B2)=49，
设“梦队”在两轮比赛中挑战成功至少2次为事件D，
则P(D)=1−(P(A0B0)+P(A0B1)+P(A1B0))
=1−(116×19+116×49+38×19)
=133144．
21.【详解】(1)在梯形ABCD中，取AD中点N，连接CN，
∵BC//AD，BC=AN=12AD，∴四边形ABCN为平行四边形，∴AB=CN，
∴CN=12AD，∴CD⊥AC，
∵PA⊥CD，PA∩AC=A，PA,AC⊂平面PAC，∴CD⊥平面PAC，
∵CD⊂平面ACD，∴平面PAC⊥平面ACD．
(2)分别取AC,AD中点O,G，连接PO,OG，
∵PA=PC，O为AC中点，∴PO⊥AC，
又平面PAC⊥平面ACD，平面PAC∩平面ACD=AC，PO⊂平面PAC，
∴PO⊥平面ACD，
∵O,G分别为AC,AD中点，∴OG//CD，∴OG⊥平面PAC，
则以O为坐标原点，OA,OG,OP正方向为x,y,z轴，可建立如图所示空间直角坐标系，

则P0,0,1，A 3,0,0，C− 3,0,0，D− 3,2,0，
∴DP= 3,−2,1，AC=−2 3,0,0，CD=0,2,0，AD=−2 3,2,0，PA= 3,0,−1，
设DM=λDP= 3λ,−2λ,λ00.
(ⅰ)当a0，∴y1，y2同号，
又t=1|AM|+1|AN|=1 1+m2y1+1 1+m2+y2，
∴t2=11+m2⋅y1+y22y1y2=11+m2⋅36m236a2=1a21−11+m2．
不论a取何值，t均与m有关，即a0时，∵y1y2=−6a