初中数学人教版（2024）八年级下册（2024）21.2 平行四边形同步达标检测题

这是一份初中数学人教版（2024）八年级下册（2024）21.2 平行四边形同步达标检测题，共10页。
遵循教学目标，不超大纲
难度递增，结合现实生活
技巧性强，富有趣味性
附:训练题答案及解析
一、 基础巩固与对称美学
关于平行四边形的对称性的描述，错误的是
二、 走进生活：木工里的数学智慧
小玲的爸爸在钉平行四边形框架时，采用了一种方法：如图所示，将两根木条AC，BD的中点重叠，并用钉子固定，则四边形ABCD就是平行四边形，这种方法的依据是（）
三、 技巧提升：尺规作图与逻辑判定
已知△ABC（如图①），按图②、图③所示的尺规作图痕迹，能推出四边形ABCD是平行四边形的依据是（不借助三角形全等）
下列关于平行四边形的命题中，错误的是
A. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
B. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
C. 一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形
D. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
四、 经典证明：性质与判定的综合应用
如图，已知E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，并且AE=CF．求证：四边形EBFD是平行四边形．
五、 巅峰挑战：新定义与压轴创新题
定义：在▱ABCD中，如果有一条对角线的长等于其中一条边的长，则称这个平行四边形为“N字平行四边形”．
下面的图形中一定是“N字平行四边形”的有：________；（填序号）
A. 正方形
B. 矩形
C. 有一个角是60°的菱形
D. 有一个角是60°的平行四边形
E. 有一个角是45°的平行四边形
在“N字平行四边形”中，∠A=45°，AB>BC，则ABBC= ；
如图①，在“N字平行四边形ABCD”中，∠B=75°，AB=AC=8，点F是AB边上一点，FG∥AC，FG与DC的延长线交于点G，若▱AFGC为“N字平行四边形”，求AF的值；
如图②，在矩形ABCD中，点E，F分别是BC边和AD边上的点，四边形BEDF为“N字平行四边形”，若AB=2AF，求ABBC的值．
定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫作原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫作“中方四边形”．
【概念理解】

下列四边形中一定是“中方四边形”的是________；
【性质探究】如图①，四边形ABCD是“中方四边形”，观察图形，直接写出四边形ABCD的对角线AC，BD的关系；
【问题解决】如图②，以锐角三角形ABC的两边AB，AC为边长，分别向外侧作正方形ABDE和正方形ACFG，连接BE，EG，GC，求证：四边形BCGE是“中方四边形”；
【拓展应用】如图③，已知四边形ABCD是“中方四边形”，M，N分别是AB，CD的中点．
试探索AC与MN的数量关系，并说明理由；
若AC=2，求AB+CD的最小值．
参考答案与解析
B
平行四边形是中心对称图形，其对称中心是两条对角线的交点，且对称中心只有一个。因此选项A、C、D的描述都是正确的。平行四边形不一定是轴对称图形，只有当它是特殊的平行四边形（如矩形、菱形、正方形）时，才是轴对称图形。因此选项B的描述是错误的。
A
题目中提到将两根木条AC，BD的中点重叠并用钉子固定，即对角线AC与BD相交于中点O，满足AO=OC，BO=OD，这表明四边形ABCD的对角线互相平分。根据初中数学八年级所学的平行四边形判定定理，对角线互相平分的四边形是平行四边形，因此这种方法的依据是选项A。其他选项中，选项B（两组对角分别相等）、选项C（两组对边分别相等）、选项D（两组对边分别平行）均未在题目条件中体现，故排除。
B
观察图②、图③的尺规作图痕迹，可知作图过程是先作出线段AC的中点（通过分别以A、C为圆心，大于12AC的长为半径画弧，两弧交点连线与AC的交点即为中点），然后连接点B与该中点并延长，使得中点也是BD的中点，即对角线AC与BD的交点为它们的中点。根据平行四边形的判定定理，对角线互相平分的四边形是平行四边形，因此能推出四边形ABCD是平行四边形的依据是选项B。
B
根据初中八年级数学关于平行四边形的判定定理：选项A正确，因为两组对角分别相等的四边形满足平行四边形的判定条件（可以通过两组对角相等推导出两组对边平行）。选项B错误，因为一组对边相等而另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，例如等腰梯形就满足这个条件但不是平行四边形。选项C正确，因为一组对边平行且一组对角相等的四边形可以通过角度关系推导出另一组对边也平行，从而满足平行四边形的定义。选项D正确，因为一组对边平行且相等是平行四边形的判定定理之一。
如图，连接BD交AC于O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，OB=OD，
∵AE=CF，
∴AO−AE=CO−CF，
即OE=OF，
∵OB=OD，
∴四边形EBFD是平行四边形．
本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．连接BD交AC于O，由平行四边形的性质得：AO=CO，OB=OD，再证明OE=OF，即可得出结论．
C
2
如图2，连接AG，CF，
∵在N字▱ABCD中，∠B=75°，AB=AC=8，
∴∠B=∠ACB=75°，∠BAC=30°．
∵AB∥DG，
∴∠B=∠BCG=75°，
∴∠ACG=∠ACB+∠BCG=150°，
由大角对大边可得AG>AC，AG>GC，
若▱AFGC为“N字平行四边形”，只能分为以下几种情况：
①当CF=AF时，∠FCA=∠FAC=30°，
如图3，过点F作FH⊥AC于点H，可得点H为AC的中点，AF=2HF，AH=3FH，
又∵AC=8，
∴AH=12AC=4，
∴FH=433，AF=2FH=833；
②当CF=AC时，∠CAF=∠AFC=30°，
此时，∠ACF=120°>∠ACB，矛盾．
综上，若▱AFGC为“N字平行四边形”，则AF=833．
如图4，过点E作EM⊥BF于点M，过点F作FN⊥BE于点N，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD=BC，∠A=∠C=90°，AB=DC=FN，
∵四边形BEDF为平行四边形，
∴FD=BE，FB=DE，
∴AF=AD−FD，CE=BC−BE，即AF=CE．
∵四边形BEDF为“N字平行四边形”，
又∵BD>BE，BD>DE，
∴有以下两种情况：
①当FB=FE时，
∵FN⊥BE，
∴N为BE的中点，
∴BN=NE．
在矩形ABNF中，AF=BN，
又∵AF=CE，
∴BN=NE=CE=AF，
∴BC=BN+NE+CE=3AF．
∵AB=2AF，
∴ABBC=2AF3AF=23．
②当EB=EF时，
∵EM⊥BF，
∴M为BF的中点，BM=12BF，
设AF=t，则AB=2t，
BF=AF2+AB2=5t，BM=52t，
∵EM⊥BF，
∴∠EMB=90°．
∵AD∥BC，
∴∠AFB=∠MBE，
∴Rt△BAF∽Rt△EMB，
∴AF:AB:BF=MB:ME:BE=1:2:5，
由BM=52t可得BE=52t，
∴BC=72t，
∴ABBC=2t7t2=47．
综上，ABBC的值为23或47．
D
AC=BD，AC⊥BD．理由如下：
∵四边形ABCD是“中方四边形”，
∴四边形EFGH是正方形．
∴EF=FG=HG=EH，∠EFG=∠FGH=∠GHE=∠HEF=90°．
∵E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点，
∴EF=12AC，EF∥AC，FG=12BD，FG∥BD，
∴AC=BD，AC⊥BD．
如图②，设四边形BCGE的边BC，CG，GE，BE的中点分别为M，N，R，L，连接CE交AB于点P，连接BG交CE于点K．
∵四边形BCGE各边中点分别为M，N，R，L，
∴MN，NR，RL，LM分别是△BCG，△CEG，△BGE，△CEB的中位线．
∴MN∥BG，MN=12BG，RL∥BG，RL=12BG，RN∥CE，RN=12CE，ML∥CE，ML=12CE，
∴MN∥RL，MN=RL，RN∥ML，RN=ML，
∴四边形MNRL是平行四边形．
∵四边形ABDE和四边形ACFG都是正方形，
∴AE=AB，AG=AC，∠EAB=∠GAC=90°，
∴∠EAC=∠BAG，
∴△EAC≌△BAG(SAS)．
∴EC=BG，∠AEC=∠ABG．
又∵RL=12BG，RN=12CE，
∴RL=RN，
∴平行四边形MNRL是菱形．
∵∠EAB=90°，
∴∠AEP+∠APE=90°．
又∵∠AEC=∠ABG，∠APE=∠BPK，
∴∠ABG+∠BPK=90°，
∴∠BKP=90°．
又∵MN∥BG，ML∥CE，
∴∠LMN=90°．
∴菱形MNRL是正方形，
∴四边形BCGE是“中方四边形”．
如图③，记AD，BC的中点分别为E，F，连接四边形ABCD各边中点得四边形ENFM．
∵四边形ABCD是“中方四边形”，M，N分别是AB，CD的中点，
∴四边形ENFM是正方形．
∴FM=FN，∠MFN=90°，
∴MN=FM2+FN2=2FM．
∵M，F分别是AB，BC的中点，
∴FM=12AC，
∴MN=22AC．
如图③，连接BD交AC于点O，连接OM，ON．
当点O在MN上（即点M，O，N共线）时，OM+ON最小，最小值为MN的长．
由性质探究（2）知AC⊥BD．
又∵M，N分别是AB，CD的中点，
∴AB=2OM，CD=2ON，
∴2(OM+ON)=AB+CD，
∴AB+CD的最小值等于2MN．
由拓展应用（4）知MN=22AC．
又∵AC=2，
∴MN=2，
∴AB+CD的最小值为22．A. 平行四边形一定是中心对称图形
B. 平行四边形一定是轴对称图形
C. 平行四边形的对称中心是两条对角线的交点
D. 平行四边形的对称中心只有一个
A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形
B. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
C. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
D. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形
A. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B. 对角线互相平分的四边形是平行四边形
C. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
D. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
A. 平行四边形
B. 矩形
C. 菱形
D. 正方形