初中数学人教版（2024）八年级下册（2024）21.3 特殊的平行四边形课时作业

这是一份初中数学人教版（2024）八年级下册（2024）21.3 特殊的平行四边形课时作业，共7页。
扣紧教学目标，覆盖全面
难度适中，适应普遍学生作答
趣味性强，紧密联系生活
附训练题答案及解析
第一部分：基础夯实
本部分主要考查平行四边形的基本定义、对称性以及边、角、对角线的核心性质，帮助同学们稳固基础。
平行四边形性质的综合应用
平行四边形是 图形，两条对角线的交点是它的 ．
平行四边形的对边 ．
平行四边形的对角 ，邻角 ．
平行四边形的对角线 ．
活动2 平行四边形对角线互相平分的性质的应用
例1 如图，在▱ABCD中，AB=10，AD=8，AC⊥BC．求BC，CD，AC，OA的长，以及▱ABCD的面积．
活动2 理解两平行线之间的距离并进行应用
例2 如图，AB∥CD，AD∥BC，AD=5，点E在直线BC上，且BE=8．若△DCE的面积为6，则四边形ABCD的面积为 ．
第二部分：生活数学
平行四边形在生活中无处不在。本部分选取了伸缩衣架、工程测量等实例，考查同学们利用四边形不稳定性及平行四边形性质解决实际问题的能力。
如图，晾衣架由若干个菱形组成，已知其中每个菱形的边长为20cm，在墙上悬挂晾衣架的两个铁钉A、B之间的距离为203cm，则∠1= °．
图1是伸缩晒衣架，图2是伸缩晒衣架中相邻的三个全等的菱形，根据实际需要可调节A，E间的距离，已知菱形ABCD的边长为20cm，当A，E间的距离调节到60cm时，∠DAB的度数是 ．
【项目主题】测量距离．
【项目背景】如图1，A，B两点被大山阻隔（A，B两点距离不可直接测得）．为了改善山区的交通，现拟开凿一条贯穿A，B的隧道，修建一条高速公路．
【实践操作】
方案：如图2，某工程队分别以A，B两点为起点，朝同一方向行进相同距离，分别到达点A′，B′ ．测量A′，B′ 两点之间线段的长度，即为A，B两点的距离．
【问题解决】
请你说明该方案的合理性；
请你设计与该方案不同的方案，并画出几何图形，表示出A，B两点间的距离，并说明理由．
第三部分：综合提升
本部分侧重于平行四边形性质与判定的综合证明，包含尺规作图及推理论证，适合进行阶段性检测与能力拔高。
如图，在▱ABCD中，∠DAB=30°．
实践与操作：用尺规作图法过点D作AB边上的高DE；（保留作图痕迹，不要求写作法）
应用与计算：在（1）的条件下，AD=4，AB=6，求BE的长．
活动1 探究平行四边形的性质以及应用
变式2 如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E，CF平分∠BCD交AD于点F．求证：BE=DF（请用两种方法证明）．
活动2 平行四边形对角线互相平分的性质的应用
例2 如图所示，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点M，N在对角线AC上，且AM=CN，求证：BM//DN．
如图，在△ABC中，D为BC的中点，连接AD．
实践与操作：请用无刻度的直尺和圆规作∠CBE=∠C，且射线BE与AD延长线交于点F（保留作图痕迹，不写作法）；
应用与证明：在（1）的条件下，连接CF，求证：四边形ABFC为平行四边形．
参考答案与解析
中心对称，对称中心
平行且相等
相等，互补
互相平分
BC=8 CD=10 AC=6 OA=3 S▱ABCD=48
20
由题意可知，四边形 ABCD 中 AB∥CD 且 AD∥BC，因此四边形 ABCD 是平行四边形，其对边相等，故 BC=AD=5。 点 E 在直线 BC 上，BE=8，由于 BC=5，则 CE=BE−BC=8−5=3（点 E 在 BC 的延长线上）。 设平行四边形 ABCD 的高（即 D 到 BC 的距离）为 ℎ，因为 AB∥CD，两平行线间的距离处处相等，所以 △DCE 中 CE 边上的高也为 ℎ。 根据三角形面积公式，△DCE 的面积为 12×CE×ℎ=6，即： 12×3×ℎ=6 解得 ℎ=4。 平行四边形 ABCD 的面积为底 BC 乘以高 ℎ，即： BC×ℎ=5×4=20 因此，四边形 ABCD 的面积为 20。
60
观察图形可知，晾衣架由菱形组成，每个菱形边长为20cm，铁钉A、B之间的距离为203cm。 菱形的对角线互相垂直平分，设∠1为菱形的一个内角，过A、B的线段可视为菱形对角线的一部分。连接菱形的两个顶点（如A、B），该线段长度对应菱形对角线的一半或整体。 在菱形中，边长为20cm，设对角线的一半分别为a和b，根据勾股定理有a2+b2=202。 由于A、B之间的距离为203cm，若该距离为菱形一条对角线的长度，则对角线的一半为103cm，另一条对角线的一半为202−(103)2=10cm。 此时，∠1的一半所对的直角边为10cm（邻边）和103cm（对边），则tan⁡∠12=10310=3，故∠12=30∘，因此∠1=60∘。
120°
连接AE（图略），易知A，C，E三点共线，
∵AE=60cm，伸缩晒衣架是由三个全等的菱形构成的，
∴AC=20cm，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=AB=20cm，
∴AC=AB=BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，
∴∠DAB=180°−60°=120°．
由题意知AA′=B′B，AA′∥BB′，
∴四边形AA′B′B是平行四边形．
∴A′B′=AB．
（答案不唯一）如图，在大山外取一点O，连接AO，BO，延长AO到D，使OD=AO，延长BO到E，使OE=BO，测量D，E两点之间线段的长度，即为A，B两点的距离．理由如下：
在△AOB和△DOE中，
{AO=DO,∠AOB=∠DOE,BO=EO,
∴△AOB≌△DOE(SAS)．
∴AB=DE．
如解图，线段DE即为所求作；
在Rt△ADE中，AD=4，∠DAB=30°，
∴AE=AD⋅cs⁡∠DAB=4×32=23，
∴BE=AB−AE=6−23．
证明：（方法1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，∠B=∠D，∠BAD=∠BCD．
∵AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，
∵∠BAE=12∠BAD，∠DCF=12∠BCD，
∴∠BAE=∠DCF，∴△ABE≌△CDF，
∴BE=DF．
（方法2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB=CD，∴∠DAE=∠AEB．
∵AE平分∠BAD，∴∠DAE=∠BAE，
∴∠AEB=∠BAE，∴AB=BE．
同理可得DF=CD，∴BE=DF．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD．
∵AM=CN，
∴OM=ON．
在△BOM和△DON中，
{OB=OD,∠BOM=∠DON,OM=ON,
∴△BOM$$≌ \triangle DON\left(\text{SAS}\right)$$，
∴∠OBM=∠ODN，
∴BM∥DN．
∵D为BC的中点，
∴BD=CD
在△ACD和△FBD中
{∠ACD=∠FBDCD=BD∠ADC=∠FDB
∴△ACD≌△FBD(ASA)
∴AC=FB
∵∠ACB=∠CBE
∴AC∥BF
∴四边形ABFC为平行四边形．