2025-2026学年七年级数学下册 第9章 图形的变换（单元提升卷）（含解析）-苏科版（2024）

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第9章 图形的变换（单元提升卷）（考试时间：90分钟 试卷满分：100分）一、选择题（本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1．（25-26九年级上·江苏徐州·期末）下列图形中，是中心对称图形的是（    ）A．B．C．D．2．（25-26八年级上·江苏扬州·月考）小华在镜中看到身后墙上的钟，你认为实际时间最接近8点的是（　　）A．B．C．D．3．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）如图，点、、、、、、都为格点（方格纸中小正方形的顶点），若，则点可能是（    ）A．点B．点C．点D．点4．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）如图，将绕点O按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是（    ）A．B．C．D．5．（24-25七年级下·江苏南京·月考）如图所示，把直角梯形沿方向平移到梯形，，则阴影部分的面积为（   ）．A．36B．42C．48D．636．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图，将长方形纸片的沿着折叠（点F在上，不与B，C重合），使点C落在长方形内部点E处，若，，则的度数是（　　）A．B．C．D．7．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，与关于直线对称，交于点．有下列结论：①；②；③；④垂直平分．其中正确的有（   ）A．3个B．2个C．1个D．4个8．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）将一副三角板如图放置，点、重合，点在上，与交于点．，，，现将图中的绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转，在旋转的过程中，恰有一边与平行的时间为（   ）A．1秒或9秒B．9秒或11秒C．1秒或3秒或9秒D．3秒或9秒或11秒二、填空题（本题共8小题，每小题2分，共16分．）9．（24-25七年级下·江苏南京·期中）在体育课上，当老师下达口令“向左转”时，你正确的动作应是以左脚跟为旋转中心，沿着_________（填“顺时针”或“逆时针”）方向旋转_________度．10．（24-25七年级下·江苏淮安·月考）如图，有5个小正方形，现从标有数字1，2，3，4的四个小正方形中拿走一个，使剩余的四个小正方形组成的图形成为一个轴对称图形，则应该拿走的小正方形的标号是__________．11．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）如图所示，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条“之”字形路，余下部分绿化，道路的宽为，则绿化的面积为___________   12．（25-26七年级上·江苏徐州·期末）如图，将长方形纸片沿折叠，使点D，C落在点，处，的延长线与交于点G，若，则______°．13．（24-25七年级下·江苏·期中）如图，在3×3的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中的为格点三角形，在图中最多能画出 ___________个格点三角形与成轴对称．14．（24-25七年级下·江苏南京·期末）如图，点P关于，的对称点分别为C、D，连接，交于M，交于N，若的周长为，则的长为________．15．（24-25七年级下·江苏淮安·月考）如图，在中，．点D为边所在直线上一动点，连接，将分别沿翻折至，连接，则面积的最小值为 _____ ．16．（24-25七年级下·江苏南通·月考）如图， 直角三角形 和直角三角形 中，，，，点 D 在边上，将图中的三角形 绕点 O 按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中， 在第______________ 秒时， 边 恰好与边 平行 ．三、解答题（本题共10小题，共68分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（5分）（24-25七年级下·江苏泰州·月考）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1（即三角形的顶点都在格点上）．(1)在图中作出关于直线对称的；（要求：与，与，与相对应）；(2)用无刻度直尺画出线段的垂直平分线．18．（5分）（24-25七年级下·江苏常州·月考）如图，在边长为1的小正方形方格纸中，的顶点都在方格纸格点上，将向左平移1格，再向上平移4格，得到．(1)请在图中画出平移后的；(2)连接、，则它们的数量关系是 ；(3)求线段直接平移至扫过的面积．19．（5分）（24-25七年级下·江苏无锡·月考）如图，直线上有两个大小相同的直角三角形，它们中较大锐角的度数为将沿直线向左平移到的位置，使点落在上的点处，为与的交点．(1)求的度数；(2)试判断与之间的位置关系，并说明理由．20．（6分）（24-25七年级下·江苏南京·期末）已知点是正六边形的对称中心，仅用无刻度的直尺完成下列画图．(1)如图①，是正六边形边上一点，画出点关于点的对称点；(2)如图②，是正六边形内部一点，画出点关于点的对称点．21．（6分）（24-25七年级下·江苏泰州·期中）如图，在中，点B与点C关于直线对称，直线分别与边相交于点D，E，连接若的周长为18，的周长为32，求的长．22．（6分）（24-25七年级下·江苏泰州·月考）如图，中，，点F在边上．(1)画出沿射线方向平移后的，其中A，B，C对应点分别为D，E，F．(2)在（1）的条件下，与交于点M，若，四边形的面积为18，求平移的距离．23．（8分）（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）如图，长方形中，，E为边上一点，将长方形沿折叠，使点B与点F重合，平分交于点G，过点G作交于点H．(1)判断与是否平行，并说明理由．(2)若，求的度数．24．（8分）（24-25七年级上·江苏连云港·期末）如图1，点O是直线上一点，射线从开始以每秒的速度绕点O顺时针转动，射线从开始以每秒的速度绕点O逆时针转动，当、相遇时，停止运动；将、分别沿、翻折，得到、，设运动的时间为t（单位：秒）．(1)如图2，当、重合时， ；(2)当时， ，当时， ；(3)如图3，射线在直线的上方，且，在运动过程中，当射线、、其中一条射线是另外两条射线组成角的平分线时，求出t的值．25．（9分）（24-25七年级下·江苏南京·月考）利用图形的变换可以解决很多生活中问题．如图1，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向l同侧的A，B两个城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短．如图2，作出点A关于l的对称点，线段与直线l的交点P的位置即为所求，即在P处建燃气站，所得路线是最短的．(1)如果在A，B两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域，请分别给出下列两种情形的铺设管道的方案（不需说明理由，作图工具不限）．(2)如图，已知及其内部一点P，试在，上分别确定点M，N，使最小（不需说明理由，作图工具不限）．26．（10分）（24-25七年级下·江苏盐城·月考）如图1，在直线上摆放一副直角三角板，两三角板顶点重合于点，，，将三角板绕点以每秒的速度按顺时针方向转动，设转动时间为秒，当旋转至射线上时，三角板停止转动．(1)如图2，若时，___________；(2)如图2，当，位于直线的两侧时，与的数量关系是 ．(3)如图3，当，位于直线的同侧时，（2）中结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出正确的结论，并说明理由．(4)若当三角板开始转动的同时，另一个三角板也绕点以每秒的速度顺时针转动，当旋转至射线上时，两三角板同时停止运动：①求为何值时，；②在转动过程中，请求出当为何值时，是的倍．答案与解析一、选择题（本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1．（25-26九年级上·江苏徐州·期末）下列图形中，是中心对称图形的是（    ）A．B．C．D．【答案】C【分析】本题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，掌握图形形状是解决问题的关键．根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形即可判断出．【详解】解：根据旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形可得：A．不是中心对称图形，故A不符合题意；B．不是中心对称图形，故B不符合题意；C．是中心对称图形，故C符合题意；D．不是中心对称图形，故D不符合题意；故选：C．2．（25-26八年级上·江苏扬州·月考）小华在镜中看到身后墙上的钟，你认为实际时间最接近8点的是（　　）A．B．C．D．【答案】D【分析】此题考查镜面对称，根据镜面对称的性质，在平面镜中的钟面上的时针、分针的位置和实物应关于过12时、6时的直线成轴对称．【详解】解：实际时间为8点的时针关于过12时、6时的直线的对称点是4点，那么8点的时钟在镜子中看来应该是4点的样子，所以应该是A或D答案之一，这两个答案中更接近八点的应该是第四个图形．故选：D．3．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）如图，点、、、、、、都为格点（方格纸中小正方形的顶点），若，则点可能是（    ）A．点B．点C．点D．点【答案】B【分析】本题考查了平移，根据平移的性质即可求解，熟练掌握平移的性质是解题的关键．【详解】解：∵，观察图形可知，点是点先向右平移个单位，再向上平移个单位得到的，点是由点先向右平移个单位，再向上平移个单位得到的，∴，∴点可能是点， 故选：．4．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）如图，将绕点O按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】本题考查旋转的性质．根据旋转的性质可知，旋转角等于，从而可以得到的度数，由可以得到的度数．【详解】解：绕点O按逆时针方向旋转后得到，，故选：B．5．（24-25七年级下·江苏南京·月考）如图所示，把直角梯形沿方向平移到梯形，，则阴影部分的面积为（   ）．A．36B．42C．48D．63【答案】B【分析】本题考查平移的性质，根据平移的性质，推出阴影部分的面积等于梯形的面积，进行求解即可．【详解】解：∵把直角梯形沿方向平移到梯形，∴，，∴，∴阴影部分的面积；故选B．6．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图，将长方形纸片的沿着折叠（点F在上，不与B，C重合），使点C落在长方形内部点E处，若，，则的度数是（　　）A．B．C．D．【答案】C【分析】本题考查了折叠的性质，角的计算，熟练掌握折叠的性质是解题关键．由题意可得，再由邻补角可得，由折叠的性质可知，，即可求出的度数．【详解】解：，，，，由折叠的性质可知，，．故选：C．7．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，与关于直线对称，交于点．有下列结论：①；②；③；④垂直平分．其中正确的有（   ）A．3个B．2个C．1个D．4个【答案】D【分析】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的性质，根据轴对称的性质对各选项分析判断后利用排除法求解，熟记轴对称的性质对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等是解题的关键．【详解】解：∵与关于直线对称，交于点，∴，，，垂直平分，综上可知：正确，共个．故选：D．8．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）将一副三角板如图放置，点、重合，点在上，与交于点．，，，现将图中的绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转，在旋转的过程中，恰有一边与平行的时间为（   ）A．1秒或9秒B．9秒或11秒C．1秒或3秒或9秒D．3秒或9秒或11秒【答案】D【分析】本题主要考查旋转的性质，平行线的性质，解题的关键是画出三种情况的图形．根据旋转的性质，平行线的性质，分三种不同的情况讨论解答即可．【详解】解：∵，∴，∴，∴，情况1，如图，当时，交于点， ∵，∴，∴，∴，∴旋转时间（秒）；情况2，如图，当时，的延长线交于点， ∵，∴，∴，∴，∴旋转时间（秒）；情况3，如图，当时， ∵，∴，∴，∴旋转时间（秒）；综上所述，恰有一边与平行的时间为3秒或9秒或11秒，故选：D．二、填空题（本题共8小题，每小题2分，共16分．）9．（24-25七年级下·江苏南京·期中）在体育课上，当老师下达口令“向左转”时，你正确的动作应是以左脚跟为旋转中心，沿着_________（填“顺时针”或“逆时针”）方向旋转_________度．【答案】 逆时针 90【分析】本题考查旋转的基本概念，解题的关键是结合生活实际理解“向左转”这一旋转动作的旋转方向和旋转角度．根据生活中“向左转”的动作实际情况，确定旋转方向和角度．【详解】解：在体育课上，“向左转”的动作是以左脚跟为旋转中心，沿着逆时针方向旋转90度．故答案为：逆时针，90．10．（24-25七年级下·江苏淮安·月考）如图，有5个小正方形，现从标有数字1，2，3，4的四个小正方形中拿走一个，使剩余的四个小正方形组成的图形成为一个轴对称图形，则应该拿走的小正方形的标号是__________．【答案】2【分析】本题考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的性质是解题的关键．根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可．【详解】解：从四个小正方形中拿走一个，成为一个轴对称图形，则应该拿走的小正方形的标号是．故答案为： ．11．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）如图所示，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条“之”字形路，余下部分绿化，道路的宽为，则绿化的面积为___________   【答案】540【分析】此题主要考查了生活中平移现象，将长方形地块内部修筑的两条”之”字路平移到长方形的最上边和最左边，使余下部分是一个长方形，是解决本题的关键．把两条”之”字路平移到长方形地块的最上边和最左边，则余下部分是长方形，根据矩形的面积公式即可求出结果．【详解】解：如图，    把两条”之”字路平移到长方形地块的最上边和最左边，则余下部分是长方形．（米），（米），矩形的面积（平方米）．答：绿化的面积为．故答案为：54012．（25-26七年级上·江苏徐州·期末）如图，将长方形纸片沿折叠，使点D，C落在点，处，的延长线与交于点G，若，则______°．【答案】【分析】本题主要考查两直线平行的性质、折叠的性质以及矩形的性质，重点在于利用已知条件找到角度之间的关系．由，，根据两直线平行，内错角相等，可求得的度数，然后由折叠的性质，可得的度数，进而再利用两直线平行内错角相等得到的度数．【详解】解：∵，，∴，，由折叠的性质可得，∴．故答案为：．13．（24-25七年级下·江苏·期中）如图，在3×3的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中的为格点三角形，在图中最多能画出 ___________个格点三角形与成轴对称．【答案】6【分析】本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构并准确找出对应点的位置是解题的关键，本题难点在于确定出不同的对称轴．根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出轴对称三角形即可得解．【详解】解：如图，最多能画出6个格点三角形与成轴对称．故答案为：6．14．（24-25七年级下·江苏南京·期末）如图，点P关于，的对称点分别为C、D，连接，交于M，交于N，若的周长为，则的长为________．【答案】【分析】本题考查了轴对称的性质，由轴对称的性质可得，，结合的周长为，得出，即可得解，熟练掌握轴对称的性质是解此题的关键．【详解】解：∵点P关于，的对称点分别为C、D，连接，交于M，交于N，∴，，∵的周长为，∴，∴，即，故答案为：．15．（24-25七年级下·江苏淮安·月考）如图，在中，．点D为边所在直线上一动点，连接，将分别沿翻折至，连接，则面积的最小值为 _____ ．【答案】【分析】本题主要考查三角形面积，折叠变换；过点B作于点H，证明是等腰直角三角形，的面积，再根据垂线段最短求解即可．【详解】解：如图，过点B作于点H．∵的面积，∴，由翻折变换的性质可知，∵，∴，∴是等腰直角三角形，的面积，当与重合时，的面积最小，最小值．故答案为：．16．（24-25七年级下·江苏南通·月考）如图， 直角三角形 和直角三角形 中，，，，点 D 在边上，将图中的三角形 绕点 O 按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中， 在第______________ 秒时， 边 恰好与边 平行 ．【答案】5.5 或 【分析】本题考查了旋转的性质、平行线的角度关系及直角三角形的角度计算，解题的关键是确定和的初始倾斜角，分析旋转过程中倾斜角的变化规律，再根据平行线倾斜角相等或相差的条件列方程求解旋转时间．以为x轴建立坐标系，确定与x轴的夹角（倾斜角）为；根据初始位置得出的初始倾斜角为；分析顺时针旋转度后倾斜角为；分别按同向平行（倾斜角相等）和反向平行（倾斜角相差列方程求，结合旋转速度计算时间，筛选旋转一周内的有效解．【详解】解：设为x轴（点O为原点），∵，点D在上，∴为x轴，即与垂直．在中，，故与轴）的夹角为，即的倾斜角（从x轴正方向逆时针测量）为．在中，，，点D在上，初始时的倾斜角（从x轴正方向逆时针测量）为（由题意可知）．设旋转时间为t秒，三角形顺时针旋转的角度为度，旋转后的倾斜角为．当与平行时，分两种情况：同向平行（倾斜角相等）：，解得，则秒；反向平行（倾斜角相差：，解得（等效于顺时针旋转，因旋转一周为，则秒．两种情况均在旋转一周秒）内，均为有效解．故答案为：或．三、解答题（本题共10小题，共68分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（5分）（24-25七年级下·江苏泰州·月考）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1（即三角形的顶点都在格点上）．(1)在图中作出关于直线对称的；（要求：与，与，与相对应）；(2)用无刻度直尺画出线段的垂直平分线．【答案】(1)作图见解析(2)作图见解析【分析】此题考查了轴对称的性质，垂直平分线的性质以及勾股定理，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，属于中考常考题型．（1）根据轴对称的性质，找出点、、关于直线l的对称点、、，顺次连接即可；（2）寻找线段的垂直平分线上相应的格点、，连接即可．【详解】（1）解：如图，即为所求；（2）解：如图，直线即为所求作的垂直平分线．18．（5分）（24-25七年级下·江苏常州·月考）如图，在边长为1的小正方形方格纸中，的顶点都在方格纸格点上，将向左平移1格，再向上平移4格，得到．(1)请在图中画出平移后的；(2)连接、，则它们的数量关系是 ；(3)求线段直接平移至扫过的面积．【答案】(1)见解析；(2)相等(3)【分析】本题考查平移作图和平移的性质，根据相关知识点解题是关键．（1）将点、点、点，分别向左平移1格，再向上平移4格，得到、、，连接即可，（2）根据平移的性质，即可得到答案，（3）根据线段直接平移至扫过的图形是平行四边形即可求解．【详解】（1）见下图；（2）如下图：根据平移的性质知：、的数量关系是相等．（3）线段直接平移至扫过的面积19．（5分）（24-25七年级下·江苏无锡·月考）如图，直线上有两个大小相同的直角三角形，它们中较大锐角的度数为将沿直线向左平移到的位置，使点落在上的点处，为与的交点．(1)求的度数；(2)试判断与之间的位置关系，并说明理由．【答案】(1)(2)，理由见解析【分析】本题主要考查了平移的性质和平行线的性质．需要注意的是：平移前后图形的大小、形状都不改变．（1）由平移的性质知，，利用两直线平行，同位角相等得，故可求出，（2）由平移的性质知，，，利用两直线平行，同位角相等得，故可求出，故．【详解】（1）解：由平移的性质知，，∴；（2），理由如下：由平移的性质知，，，∴，∴，∴．20．（6分）（24-25七年级下·江苏南京·期末）已知点是正六边形的对称中心，仅用无刻度的直尺完成下列画图．(1)如图①，是正六边形边上一点，画出点关于点的对称点；(2)如图②，是正六边形内部一点，画出点关于点的对称点．【答案】(1)画图见解析(2)画图见解析【分析】本题考查中心对称的性质，准确识别出正六边形的对称性是解题的关键，在作图过程做要善于利用正六边形对称中心点．（1）连接并延长，交正六边形的边于点，点即为所求；（2）取正六边形顶点，找到点关于点对称的顶点，连接并延长交正六边形的边于点，连接并延长交正六边形的边于点，连接，连接并延长交于点，点即为所求．【详解】（1）解：如图，点即为所求．（2）如图，点即为所求．21．（6分）（24-25七年级下·江苏泰州·期中）如图，在中，点B与点C关于直线对称，直线分别与边相交于点D，E，连接若的周长为18，的周长为32，求的长．【答案】7【分析】先根据轴对称的性质可得，据此可得，再利用两个三角形的周长的差可得BC的长，进而得出CE的长．本题考查了轴对称的性质，掌握其性质是解题的关键．【详解】解：点B与点C关于直线对称，直线分别与边相交于点D，E，，，∵的周长为18，的周长为32，∴，，22．（6分）（24-25七年级下·江苏泰州·月考）如图，中，，点F在边上．(1)画出沿射线方向平移后的，其中A，B，C对应点分别为D，E，F．(2)在（1）的条件下，与交于点M，若，四边形的面积为18，求平移的距离．【答案】(1)见解析(2)4【分析】本题主要考查了平移作图，平移的性质，熟知平移的相关知识是解题的关键．（1）根据平移图形的作图方法作图即可；（2）根据平移的性质可得，，且平移距离为的长，根据图形面积之间的关系可证明，据此根据梯形面积计算公式建立方程求出的长即可得到答案．【详解】（1）解：如图所示，即为所求；（2）解：由平移的性质可得，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴平移的距离为4．23．（8分）（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）如图，长方形中，，E为边上一点，将长方形沿折叠，使点B与点F重合，平分交于点G，过点G作交于点H．(1)判断与是否平行，并说明理由．(2)若，求的度数．【答案】(1)；见解析(2)【分析】此题考查了折叠问题及平行线的判定与性质，三角形内角和定理，掌握平行线的判定和性质是解题的关键．（1）根据折叠的性质得，根据角平分线定义及垂直的定义得，最后由平行的判定可得结论；（2）先由三角形内角和定理得到，再根据平行线的性质可得答案．【详解】（1）解：，理由如下：∵长方形沿折叠，∴，∵平分交于点G，∴，∵，∴，∴，∵，∴；（2）解：∵，，∴，∵长方形中，，∴，∵，∴．24．（8分）（24-25七年级上·江苏连云港·期末）如图1，点O是直线上一点，射线从开始以每秒的速度绕点O顺时针转动，射线从开始以每秒的速度绕点O逆时针转动，当、相遇时，停止运动；将、分别沿、翻折，得到、，设运动的时间为t（单位：秒）．(1)如图2，当、重合时， ；(2)当时， ，当时， ；(3)如图3，射线在直线的上方，且，在运动过程中，当射线、、其中一条射线是另外两条射线组成角的平分线时，求出t的值．【答案】(1)90(2)20，12(3)t的值为10或或．【分析】（1）利用折叠性质得，，再利用邻补角即可求解；（2）利用折叠性质得求出、、、的度数，即可得解；（3）根据角平分线的不同，分是的角平分线、是的角平分线、是的角平分线三种情况讨论求解即可．【详解】（1）解：∵将、分别沿、翻折，得到、，∴，，∵，∴，故答案为：90；（2）解：当时， ，，∴，当时，如下图，，，∴，故答案为：20，12；（3）解：当是的角平分线时，则，如图，由折叠可知，，∵，，∴，∴，，∴，解得；当是的角平分线时，则，如下图，由折叠可知，，∵，，∴，∴，，∴，解得；当是的角平分线时，则，如下图，由折叠可知，，∵，，∴，∴，，∴，解得；综上，的值为或或．【点睛】本题主要考查了几何图形中角度的计算，邻补角的性质，折叠的性质，一元一次方程的应用，根据题意正确分类讨论是解题的关键．25．（9分）（24-25七年级下·江苏南京·月考）利用图形的变换可以解决很多生活中问题．如图1，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向l同侧的A，B两个城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短．如图2，作出点A关于l的对称点，线段与直线l的交点P的位置即为所求，即在P处建燃气站，所得路线是最短的．(1)如果在A，B两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域，请分别给出下列两种情形的铺设管道的方案（不需说明理由，作图工具不限）．(2)如图，已知及其内部一点P，试在，上分别确定点M，N，使最小（不需说明理由，作图工具不限）．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查了最短路径问题，轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键；（1）第一个图：连接，作C关于l的对称点，连接交l于P，即在P处建燃气站，所得路线是最短的；第二个图：连接，作C关于l的对称点，连接交l于P，即在P处建燃气站，所得路线是最短的；（2）分别作P关于的对称点，连接分别交于，连接，由对称性可得：，则，根据两点之间线段最短可知，最小．【详解】（1）解：如图，（2）解：如图，26．（10分）（24-25七年级下·江苏盐城·月考）如图1，在直线上摆放一副直角三角板，两三角板顶点重合于点，，，将三角板绕点以每秒的速度按顺时针方向转动，设转动时间为秒，当旋转至射线上时，三角板停止转动．(1)如图2，若时，___________；(2)如图2，当，位于直线的两侧时，与的数量关系是 ．(3)如图3，当，位于直线的同侧时，（2）中结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出正确的结论，并说明理由．(4)若当三角板开始转动的同时，另一个三角板也绕点以每秒的速度顺时针转动，当旋转至射线上时，两三角板同时停止运动：①求为何值时，；②在转动过程中，请求出当为何值时，是的倍．【答案】(1)(2)(3)成立，证明见解析(4)① 或；②    或【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用以及角的计算，正确的用表示出目标角是本题解题的关键．（1）先求出的度数，然后除以转动速度；（2）根据、、之间的数量关系求解即可；（3）同（2）的方法，即可求解；（4）先求出的取值范围；①用表示出和，的位置分类讨论；②用表示出，根据位置分类讨论，列出一元一次方程求解即可．【详解】（1）解：，，；故答案为：；（2），，，，；故答案为：；（3）仍然成立，理由如下：，，；（4）旋转至射线上时，停止转动，；当重合时，解得：①，当＜时，，解得：；当＞时，，解得：；或；②依题意得：，绕点以每秒的速度按顺时针方向转动，也绕点以每秒的速度顺时针转动，每秒增加，，当时，解得：当＜时，，，解得：；或．