2025-2026学年七年级数学下册 第9章 图形的变换（单元强化卷）（含解析）-苏科版（2024）

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第9章 图形的变换（单元强化卷） （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 一、选择题（本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．（25-26七年级上·江苏·阶段练习）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）如图，楼梯的竖直高度为，水平宽度为．现要在台阶上铺设地毯，则地毯的长度至少为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·江苏常州·期末）如图，在中，，将绕点A按顺时针方向旋转到的位置，使C，A，在同一条直线上，那么旋转角等于（   ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·江苏南通·期末）如图，将长方形翻折，使点，分别与点，重合，折痕为；再沿翻折，使点，分别与点，重合．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）如图，现要将左边的阴影四边形正好通过n次旋转得到右边的阴影四边形，每次旋转都以图中的A，B，C，D，E，F中不同的点为旋转中心，旋转角度为（k为整数），则下列关于n的选项正确的是（    ） A．n可能为1，不可能为2，3 B．n可能为2，不可能为1，3 C．n可能为1，2，不可能为3 D．n可能为1，2，3 6．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）如图，在三角形纸片中，，，点是的中点，点是边上一动点，将三角形纸片沿对折，使点落在点处，当时，的度数为（   ） A． B． C． D．或 7．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）如图，中，，，，，点、、分别是、、边上的动点，则的最小值是（    ） A．9.6 B．13.5 C．19.2 D．22.5 8．（24-25七年级下·江苏连云港·期末）将一副三角板按如图放置，三角板可绕点旋转，点为与的交点，下列结论中正确的个数是（　　） （1）若平分，则 （2）若，则 （3）若，则 （4）若，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本题共8小题，每小题2分，共16分．） 9．（24-25七年级下·江苏盐城·期末）如图，已知与成中心对称，则对称中心是点________． 10．（24-25七年级下·江苏南京·期末）某公路急转弯处设立了一面圆形大镜子，车内乘客从圆形大镜子中看到汽车前车牌的部分号码如图所示，则该车牌照的部分号码为__________． 11．（24-25七年级下·江苏常州·期末）如图，的周长为，若将沿射线方向平移后得到，与相交于点G，连结，则和的周长和为_______． 12．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）如图所示的方格纸中，正方形要向右平移格，再向下平移格，得到正方形，则正方形与重叠部分面积为______．（每小方格的边长为） 13．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，将四边形沿所在直线折叠，得，点位于上；再将、分别沿、折叠，得与，点R位于上，则________． 14．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）如图，将沿所在直线向右平移，得到，点为延长线上一点，交于点，平分，，则____． 15．（24-25七年级下·江苏南京·期末）点、分别是长方形纸条边、上一点，分别沿、折叠，如图，点落在处，点落在点处，使得，若________． 16．（25-26七年级上·江苏·期末）一副三角板如图摆放，边落在直线上，点、点在直线的上方，其中、、．现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时将三角板绕点以每秒5°的速度逆时针旋转，设旋转时间为秒，则当时，的值为_______． 三、解答题（本题共10小题，共68分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（5分）（24-25七年级下·江苏盐城·期中）如图，在7×10的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，点A、B、C、O都在格点上．按下列要求画图： (1)画出将向下平移4个单位长度后得到的； (2)画出关于点O成中心对称的； (3)与关于点成中心对称，则点O如何平移得到点？ 18．（5分）（24-25七年级下·江苏苏州·期末）如图，这是由小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的三个顶点都是格点，格点在直线上，按要求完成以下作图． (1)若与关于直线成轴对称，作出． (2)作线段关于点对称的线段． (3)将线段绕点顺时针旋转，得到线段，并以线段为一条对角线，作正方形． 19．（5分）（24-25七年级下·江苏镇江·期中）如图，是相同的小正方形拼成的正方形网格，其中的两个小正方形已涂色，请你在图中再涂两个小正方形，并满足：①个涂色的小正方形中，每个小正方形至少与其余个小正方形中的个有公共点；②连同空白小正方形一起构成轴对称图形，即阴影部分呈轴对称，空白部分也呈轴对称，且共用一条对称轴． (1)在正方形网格中画出你的种涂法； (2)共有______种涂法．（个图不一定全用到） 20．（6分）（24-25七年级下·河北石家庄·月考）如图，将三角形沿射线方向平移得到三角形，点的对应点分别是点． (1)若，求的度数； (2)若，求平移的距离； (3)在（2）的条件下，若三角形的周长为25，求四边形的周长． 21．（6分）（24-25七年级下·江苏·期末）如图，在中，，点，在边上，将边沿翻折，使点落在上的点处，再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处， (1)求的度数； (2)若，，求的面积． 22．（6分）（24-25七年级下·江苏南京·期中）光的反射是生活中常见的现象，图①是光的反射示意图（反射角等于入射角且法线与平面镜垂直，垂足为入射点）． (1)如图②，已知：入射光线，反射光线．求作：法线． (2)如图③，已知：为入射光线上一点，为反射光线上一点．求作：入射点．要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． 23．（8分）（24-25七年级下·江苏苏州·期末）我们已经学习了平移，知道了平移的性质，请探索完成下列问题． 【知识激活】 （1）如图①，沿的方向平移，使点移动到点的位置，得到，分别连接．则与的关系为_________； 【知识应用】 （2）如图②，将沿方向向右平移得到，已知，若，，求四边形的面积； 【知识拓展】 （3）为切实保障居民用气安全，某地开展天然气设施改造工程．如图③所示，某小区（点）和天然气站（点），分别位于公路两侧，若公路的宽度是一定的（公路的两边），现要在地下通一条天然气管道接通两地，管道通过马路时，为了尽量少破坏马路，管道通过马路的部分与马路的一边互相垂直，求作管道的位置，使得从点到点的管道长度最短．（要求：用无刻度的直尺和圆规作图，保留作图痕迹，如有必要可写出文字说明，不写说明不扣分） 24．（8分）（24-25七年级下·江苏南通·期末）综合与实践：科学研究发现，射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等（如图1中，）．七年级某学习小组围绕该结论开展主题学习活动． 【生活案例】 （1）如图2是潜望镜工作原理示意图，潜望镜中的两面镜子，是平行放置的，光线经过镜子，两次反射后得到光线．则与的位置关系是______． 【变式思考】 （2）如图3，调整镜子，光线经过镜子，两次反射后得到光线．若，求两面镜子夹角的度数． 【拓展运用】 （3）调整图3中的镜子使，重合，并改变它们的角度，光线经过镜子，两次反射后得到光线．若，求两面镜子夹角的度数． 25．（9分）（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）阅读下列材料，完成探究任务： 【材料一】 光的反射是生活中常见的现象，图1是光的反射示意图（反射角等于入射角且法线与平面镜垂直，垂足为入射点）． 【材料二】汽车盲区是指司机位于正常驾驶位置时，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域．在汽车行驶时，若行人、非机动车处于汽车盲区内，极易引发交通事故．如图2，某型号小汽车的车头、车尾盲区（可以近似看作成长方形），以及两侧后视镜的可见区域．我们把图2中的右侧后视镜及汽车车身抽象成数学模型，如图3，用线段表右侧的后视镜，用长方形表示汽车的部分车身，驾驶员在车内点处，直线，点为线段上任意一点，司机观察右侧后视镜的视角的度数不大于，为入射光线，GH为反射光线，右侧后视镜与形成的夹角，我们把称为司机观察车右侧的“视野角”，当点与点重合时，“视野角”的度数最大． 【材料三】如图4，一辆小汽车在平直的公路上匀速行驶，小汽车车尾盲区为正后方长为5米的长方形区域，在小汽车的正后方跟随着一辆匀速行驶的摩托车．若此时小汽车司机紧急刹车，那么摩托车司机也随即刹车，但摩托车司机有一个1.2秒的反应时间．已知小汽车从开始刹车到完全停住的滑行距离为22米，摩托车从开始刹车到完全停住的滑行距离为32米． 【问题解决】 (1)在图3中作出法线（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)求出图3中“视野角”的最大值． (3)如图4，已知在行驶过程中的某一时刻，测得小汽车与摩托车之间相距45米，如果此时小汽车司机刚好紧急刹车，为了保证摩托车不闯入小汽车的车尾盲区，则摩托车的行驶速度每小时不得超过多少千米？ 26．（10分）（24-25七年级下·江苏淮安·期末）综合与实践课上，同学们动手折叠一张长方形纸片，点在边上，点分别在边上，沿折叠，使顶点落在点处，其中题中所有角都是指小于的角． (1)如图，______（填“”“”或“”）； (2)如图，若沿折叠，使顶点落在点处，点，点，点恰好在一条直线上，请用无刻度直尺和圆规作图，作出折痕（在图上标注出点）； (3)如图，若，，求的度数（用含的代数式表示）； (4)连接，若，，且射线，射线，射线都与长方形的边相交，若射线是的角平分线，求出的度数．（用含的代数式表示）  答案与解析 一、选择题（本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．（25-26七年级上·江苏·阶段练习）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故该选项不符合题意； B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故该选项符合题意； C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故该选项不符合题意； D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故该选项不符合题意； 故选：B． 2．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）如图，楼梯的竖直高度为，水平宽度为．现要在台阶上铺设地毯，则地毯的长度至少为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了生活中的平移现象，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 利用平移可得地毯的水平长度等于的长，地毯的垂直长度等于的长，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由题意可得： 地毯的水平长度米，地毯的垂直长度米， ∴地毯的长度至少需要：（米）， 故选：C． 3．（24-25七年级下·江苏常州·期末）如图，在中，，将绕点A按顺时针方向旋转到的位置，使C，A，在同一条直线上，那么旋转角等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查旋转的性质，解题的关键是掌握以上知识点．首先根据点、、在同一条直线上，得到，然后利用邻补角互补求解即可． 【详解】解：点、、在同一条直线上， ， ， ． 旋转角等于， 故选：C． 4．（25-26七年级上·江苏南通·期末）如图，将长方形翻折，使点，分别与点，重合，折痕为；再沿翻折，使点，分别与点，重合．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了折叠的性质，平行线的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 设，则，由折叠得到，，根据周角列方程求出，得到，然后利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：设，则， ∴， 由折叠得，，， ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴． 故选：D． 5．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）如图，现要将左边的阴影四边形正好通过n次旋转得到右边的阴影四边形，每次旋转都以图中的A，B，C，D，E，F中不同的点为旋转中心，旋转角度为（k为整数），则下列关于n的选项正确的是（    ） A．n可能为1，不可能为2，3 B．n可能为2，不可能为1，3 C．n可能为1，2，不可能为3 D．n可能为1，2，3 【答案】D 【分析】本题主要考查旋转的性质，熟练掌握图形绕某点进行旋转的方法是解题的关键． 根据旋转的性质及题意可直接进行求解． 【详解】解：由题意得： 当左边的阴影部分绕点E顺时针旋转可得右边的阴影部分，此时； 当左边的阴影四边形绕点A逆时针旋转，再将得到的四边形绕点C顺时针旋转可得右边的阴影四边形，此时； 当把左边的阴影四边形绕点B顺时针旋转，再将得到的四边形绕点E顺时针旋转，将得到的四边形绕点C逆时针旋转可得右边的阴影四边形，此时； 故选：D． 6．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）如图，在三角形纸片中，，，点是的中点，点是边上一动点，将三角形纸片沿对折，使点落在点处，当时，的度数为（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查轴对称的性质，三角形的内角和定理，根据题意，画出示意图，再结合轴对称的性质即可解决问题． 【详解】解：当点在上方时，如图所示， ∵， ∴， 由翻折可知，， ∴， ∵， ∴； 当点在下方时，如图所示， ∵， ∴， 由翻折可知，， ∴， 又∵， ∴． 综上所述，的度数为：或． 故选：D． 7．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）如图，中，，，，，点、、分别是、、边上的动点，则的最小值是（    ） A．9.6 B．13.5 C．19.2 D．22.5 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称—路径最短问题，理解转化思想是解题的关键． 如图，作D关于直线的对称点M，作D关于直线的对称点N，连接，，，，，，，推出，可得M、C、N共线，由，，可知F、E、M、N共线时，且时，的值最小，最小值，求出的值即可解决问题． 【详解】解∶如图作D关于直线的对称点M，作D关于直线的对称点N，连接，，，，，，， ，，， ， 共线， ， ， 当共线时，且时，的值最小， 最小值， ， ， ， 的最小值为， 故选：C． 8．（24-25七年级下·江苏连云港·期末）将一副三角板按如图放置，三角板可绕点旋转，点为与的交点，下列结论中正确的个数是（　　） （1）若平分，则 （2）若，则 （3）若，则 （4）若，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质，平行线的判定和性质，三角板中的角度计算，由旋转的性质和平行线的性质与判定依次判断可求解． 【详解】解：由三角板可知，，，，， （1）当平分，则， ，故（1）错误； （2）若，且在的上方，则， ，故（2）错误； （3）若时，且在的下方时，则，故（3）错误； （4）若，且，则，故（4）正确， 故选：A． 二、填空题（本题共8小题，每小题2分，共16分．） 9．（24-25七年级下·江苏盐城·期末）如图，已知与成中心对称，则对称中心是点________． 【答案】 【分析】本题主要考查了中心对称的性质，掌握好中心对称的概念是关键． 根据中心对称的性质，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分．连接和，交点即为对称中心． 【详解】解：如图所示： 故答案为：． 10．（24-25七年级下·江苏南京·期末）某公路急转弯处设立了一面圆形大镜子，车内乘客从圆形大镜子中看到汽车前车牌的部分号码如图所示，则该车牌照的部分号码为__________． 【答案】 【分析】本题考查了镜面对称的性质，利用镜面对称的性质求解，镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称，掌握镜面对称的性质是解题的关键． 【详解】解：根据镜面对称的性质，则该车牌照的部分号码为， 故答案为：． 11．（24-25七年级下·江苏常州·期末）如图，的周长为，若将沿射线方向平移后得到，与相交于点G，连结，则和的周长和为_______． 【答案】 【分析】本题考查了平移的性质（对应线段相等、对应点连线平行且相等）以及图形周长的计算，解题的关键是利用平移的性质将三角形的周长和转化为原三角形的周长与平移距离的和． 根据平移性质，得平移距离且通过分析三角形的周长组成，发现其周长和可转化为原三角形周长；结合周长为计算得出结果． 【详解】解：∵沿射线方向平移得到 ∴根据平移的性质可知：（平移距离相等），且． ∵与相交于点 ∴和的周长和可分解为：． 又∵ ∴周长和． ∵的周长为 ∴周长和． 故答案为：． 12．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）如图所示的方格纸中，正方形要向右平移格，再向下平移格，得到正方形，则正方形与重叠部分面积为______．（每小方格的边长为） 【答案】 【分析】本题考查了图形的平移，先根据题意画出平移后的图形，然后根据图形即可得出正方形与重叠部分面积，正确理解图形经过或覆盖的区域的形状是解题的关键． 【详解】解：∵正方形要向右平移格，再向下平移格，得到正方形， ∴如图， 根据图形可得正方形与重叠部分面积为， 故答案为：． 13．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，将四边形沿所在直线折叠，得，点位于上；再将、分别沿、折叠，得与，点R位于上，则________． 【答案】60 【分析】本题考查了折叠的性质，掌握折叠的性质是解题的关键．由折叠的性质可知，，，再结合平角的概念求解即可． 【详解】解：由折叠的性质可知，，， ， ， ， ， 故答案为：60． 14．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）如图，将沿所在直线向右平移，得到，点为延长线上一点，交于点，平分，，则____． 【答案】/80度 【分析】本题考查了平移的性质、角平分线的定义、平行线的性质，由平移的性质可得，，由角平分线的定义可得，再由平行线的性质即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由平移的性质可得：，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 15．（24-25七年级下·江苏南京·期末）点、分别是长方形纸条边、上一点，分别沿、折叠，如图，点落在处，点落在点处，使得，若________． 【答案】 【分析】此题主要考查了长方形的性质，翻折变换的性质，平行线的性质，准确识图，理解长方形的性质，熟练掌握图形的折叠变换及性质，平行线的性质是解决问题的关键．根据长方形的性质及，则，由得，由折叠的性质得，，可得，即可求解． 【详解】解：四边形是长方形， ， ， ， ， 由折叠的性质得，，， ， ， ． 故答案为：． 16．（25-26七年级上·江苏·期末）一副三角板如图摆放，边落在直线上，点、点在直线的上方，其中、、．现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时将三角板绕点以每秒5°的速度逆时针旋转，设旋转时间为秒，则当时，的值为_______． 【答案】2或 【分析】当时，，，由，得，解得；当时，，，得，解得． 【详解】解：当与相遇前时，， ∵，， 且， ∴， 解得； 当与相遇时，，此时，，不符合题意，舍去， 当与相遇后时，当时， ，， ∴， 解得． 故答案为：2或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，角的和差倍分的计算，一元一次方程的应用等知识，分类讨论，画出旋转后的图形，是解题的关键． 三、解答题（本题共10小题，共68分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（5分）（24-25七年级下·江苏盐城·期中）如图，在7×10的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，点A、B、C、O都在格点上．按下列要求画图： (1)画出将向下平移4个单位长度后得到的； (2)画出关于点O成中心对称的； (3)与关于点成中心对称，则点O如何平移得到点？ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)点O向下平移2个单位长度得到点． 【分析】本题考查了平移作图，旋转作图，两图形成中心对称的定义； （1）根据平移的性质作图，即可求解； （2）根据中心对称的性质作图，即可求解； （3）找到与的对称中心，根据平衡的性质，即可求解； 【详解】（1）解：如图，为所求画的三角形； （2）解：如图，为所求画的三角形； （3）解：与的对称中心，如图， ∴点O向下平移2个单位长度得到点． 18．（5分）（24-25七年级下·江苏苏州·期末）如图，这是由小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的三个顶点都是格点，格点在直线上，按要求完成以下作图． (1)若与关于直线成轴对称，作出． (2)作线段关于点对称的线段． (3)将线段绕点顺时针旋转，得到线段，并以线段为一条对角线，作正方形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查的知识点是画轴对称图形、画已知图形关于某点对称的图形、画旋转图形，解题关键是熟练掌握相关图形的画法． （1）根据轴对称的性质确定、、的对应点，顺次连线即可； （2）先找到、关于点对称的对应点，连线即可； （3）找到、绕点顺时针旋转后的对应点，连线后即可作正方形． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：如图，线段即为所求． （3）解：如图，线段及正方形即为所求． 19．（5分）（24-25七年级下·江苏镇江·期中）如图，是相同的小正方形拼成的正方形网格，其中的两个小正方形已涂色，请你在图中再涂两个小正方形，并满足：①个涂色的小正方形中，每个小正方形至少与其余个小正方形中的个有公共点；②连同空白小正方形一起构成轴对称图形，即阴影部分呈轴对称，空白部分也呈轴对称，且共用一条对称轴． (1)在正方形网格中画出你的种涂法； (2)共有______种涂法．（个图不一定全用到） 【答案】(1)画图见解析 (2) 【分析】本题考查了轴对称图形，掌握轴对称图形的特点是解题的关键． （）根据轴对称图形的特点画图即可； （）根据（）即可求解； 【详解】（1）解：画图如下：（任选种） （2）解：由上图可知，共有种不同的涂法， 故答案为：． 20．（6分）（24-25七年级下·河北石家庄·月考）如图，将三角形沿射线方向平移得到三角形，点的对应点分别是点． (1)若，求的度数； (2)若，求平移的距离； (3)在（2）的条件下，若三角形的周长为25，求四边形的周长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了平移的性质，平行线的性质，熟练掌握平移的不变性是解题的关键． （1）根据平移的性质结合平行线的性质即可求解； （2）由平移的性质结合得到； （3）由平移的性质可得，四边形的周长，即可化为，即可求解． 【详解】（1）解：由平移的性质可得， ∴， ∴； （2）解：由平移的性质可得， 又∵， ∴， ∴平移的距离为5； （3）解：由平移的性质可得， ∴四边形的周长． 21．（6分）（24-25七年级下·江苏·期末）如图，在中，，点，在边上，将边沿翻折，使点落在上的点处，再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处， (1)求的度数； (2)若，，求的面积． 【答案】(1) (2)10 【分析】本题主要考查了折叠变换的性质、三角形面积等知识： （1）由折叠可得，，，再根据，即可得出； （2）在中，得出，再计算出，由三角形面积公式可得结论． 【详解】（1）解：由折叠可得，，， 又， ， 即； （2）解：由折叠，得， ． 22．（6分）（24-25七年级下·江苏南京·期中）光的反射是生活中常见的现象，图①是光的反射示意图（反射角等于入射角且法线与平面镜垂直，垂足为入射点）． (1)如图②，已知：入射光线，反射光线．求作：法线． (2)如图③，已知：为入射光线上一点，为反射光线上一点．求作：入射点．要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了角平分线和垂线的尺规作图，线段的尺规作图，正确理解题意是解题的关键． （1）根据入射角等于反射角可知，发现法线即为入射光线与反射光线组成的角的角平分线，据此作的角平分线即可； （2）过点A作平面镜所在直线的垂线，垂足为D，以D为圆心，的长为半径画弧交直线于C，连接交平面镜所在直线于点O，则点O即为所求． 【详解】（1）解；如图所示，射线即为所求； 作的角平分线，则射线即为所求； （2）解：如图所示，过点A作平面镜所在直线的垂线，垂足为D，以D为圆心，的长为半径画弧交直线于C，连接交平面镜所在直线于点O，则点O即为所求； 由对称性可得，而， ∴， 再根据等角的余角相等可得点O即为所求． 23．（8分）（24-25七年级下·江苏苏州·期末）我们已经学习了平移，知道了平移的性质，请探索完成下列问题． 【知识激活】 （1）如图①，沿的方向平移，使点移动到点的位置，得到，分别连接．则与的关系为_________； 【知识应用】 （2）如图②，将沿方向向右平移得到，已知，若，，求四边形的面积； 【知识拓展】 （3）为切实保障居民用气安全，某地开展天然气设施改造工程．如图③所示，某小区（点）和天然气站（点），分别位于公路两侧，若公路的宽度是一定的（公路的两边），现要在地下通一条天然气管道接通两地，管道通过马路时，为了尽量少破坏马路，管道通过马路的部分与马路的一边互相垂直，求作管道的位置，使得从点到点的管道长度最短．（要求：用无刻度的直尺和圆规作图，保留作图痕迹，如有必要可写出文字说明，不写说明不扣分） 【答案】（1）且；（2）；（3）见解析 【分析】本题考查了平移的性质、尺规作图，熟练掌握平移的性质和尺规作垂线的方法是解题的关键． （1）利用平移的性质即可得出答案； （2）利用平移的性质得到，，，，计算出梯形的面积，再根据面积的等量代换得到，即可求解； （3）过点作直线，交直线于点，交直线于点，在线段上截取，连接交直线于点，过点作交直线于点，利用平移的性质可得，再根据线段的性质，则管道的位置即为所求． 【详解】解：（1）由平移的性质得：，， ∴与的关系为且； 故答案为：且； （2）由平移的性质得：，，，， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴四边形的面积为； （3）解：过点作直线，交直线于点，交直线于点，在线段上截取，连接交直线于点，过点作交直线于点， 由作图可得，，， ∴线段可以通过平移线段得到， ∴， ∵公路的宽度是一定的， ∴的长度是一定的， ∴， ∴当三点共线时，有最小值， ∴如图所示，管道的位置即为所求． 24．（8分）（24-25七年级下·江苏南通·期末）综合与实践：科学研究发现，射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等（如图1中，）．七年级某学习小组围绕该结论开展主题学习活动． 【生活案例】 （1）如图2是潜望镜工作原理示意图，潜望镜中的两面镜子，是平行放置的，光线经过镜子，两次反射后得到光线．则与的位置关系是______． 【变式思考】 （2）如图3，调整镜子，光线经过镜子，两次反射后得到光线．若，求两面镜子夹角的度数． 【拓展运用】 （3）调整图3中的镜子使，重合，并改变它们的角度，光线经过镜子，两次反射后得到光线．若，求两面镜子夹角的度数． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了平行线的判定和性质的综合应用，平角的意义，三角形内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先根据两直线平行，内错角相等得出，再根据已知条件得出，根据内错角相等，两直线平行即可判断； （2）先根据两直线平行，同旁内角互补得出，再根据平角的意义及角的和差得出，最后根据三角形内角和定理求解即可； （3）先求出，再根据平角的意义及三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：（1）理由：如图 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴； 故答案为：． （2）如图 ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴，即． （3）如图， ∵，， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴． 当时， ∴ 解得： 25．（9分）（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）阅读下列材料，完成探究任务： 【材料一】 光的反射是生活中常见的现象，图1是光的反射示意图（反射角等于入射角且法线与平面镜垂直，垂足为入射点）． 【材料二】汽车盲区是指司机位于正常驾驶位置时，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域．在汽车行驶时，若行人、非机动车处于汽车盲区内，极易引发交通事故．如图2，某型号小汽车的车头、车尾盲区（可以近似看作成长方形），以及两侧后视镜的可见区域．我们把图2中的右侧后视镜及汽车车身抽象成数学模型，如图3，用线段表右侧的后视镜，用长方形表示汽车的部分车身，驾驶员在车内点处，直线，点为线段上任意一点，司机观察右侧后视镜的视角的度数不大于，为入射光线，GH为反射光线，右侧后视镜与形成的夹角，我们把称为司机观察车右侧的“视野角”，当点与点重合时，“视野角”的度数最大． 【材料三】如图4，一辆小汽车在平直的公路上匀速行驶，小汽车车尾盲区为正后方长为5米的长方形区域，在小汽车的正后方跟随着一辆匀速行驶的摩托车．若此时小汽车司机紧急刹车，那么摩托车司机也随即刹车，但摩托车司机有一个1.2秒的反应时间．已知小汽车从开始刹车到完全停住的滑行距离为22米，摩托车从开始刹车到完全停住的滑行距离为32米． 【问题解决】 (1)在图3中作出法线（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)求出图3中“视野角”的最大值． (3)如图4，已知在行驶过程中的某一时刻，测得小汽车与摩托车之间相距45米，如果此时小汽车司机刚好紧急刹车，为了保证摩托车不闯入小汽车的车尾盲区，则摩托车的行驶速度每小时不得超过多少千米？ 【答案】(1)见解析 (2)“视野角”的度数最大为 (3)摩托车的行驶速度每小时不得超过90千米 【分析】本题考查的是尺规作图—作角平分线，平行线的判定与性质及一元一次方程的应用， （1）作平分线即为所求作； （2）作，证明，求出及，进而求出结论； （3）设摩托车的行驶速度为，根据保证摩托车不闯入小汽车的车尾盲区列不等式并解不等式即可解决． 【详解】（1）解：如下图，法线即为所求作； （2）解：作， ，长方形中，， ， ， ， ， ， 点为线段上任意一点，当点与点F重合时，， ， ， 为法线， ， ， 当点与点重合时，“视野角”的度数最大为； （3）解：设摩托车的行驶速度为，由题意得： ， 解得：， ， 答：摩托车的行驶速度每小时不得超过90千米． 26．（10分）（24-25七年级下·江苏淮安·期末）综合与实践课上，同学们动手折叠一张长方形纸片，点在边上，点分别在边上，沿折叠，使顶点落在点处，其中题中所有角都是指小于的角． (1)如图，______（填“”“”或“”）； (2)如图，若沿折叠，使顶点落在点处，点，点，点恰好在一条直线上，请用无刻度直尺和圆规作图，作出折痕（在图上标注出点）； (3)如图，若，，求的度数（用含的代数式表示）； (4)连接，若，，且射线，射线，射线都与长方形的边相交，若射线是的角平分线，求出的度数．（用含的代数式表示） 【答案】(1) (2)作图见解析 (3)或 (4) 【分析】（）根据折叠的性质即可求解； （）作的角平分线交于，线段即为所求； （）分点在的右边和左边两种情况，分别画出图形，根据折叠的性质和平角的定义解答即可求解； （）当分点在的右边和点在的右侧，在的左侧两种情况，分别画出图形，根据折叠的性质和角平分线的定义解答即可求解； 本题考查了作角平分线，折叠的性质，角平分线的定义，掌握折叠的性质并利用分类讨论的思想解答是解题关键 【详解】（1）解：∵沿折叠，使顶点落在点处， ∴， 故答案为：； （2）解：如图所示，折痕即为所求； （3）解：如图，当点在的右边时， ∵沿折叠，使顶点落在点处， ∴， ∵， ∴， ∵沿折叠，使顶点落在点处， ∴， ∴； 当点在的左边时，如图， ∵沿折叠，使顶点落在点处， ∴， ∵， ∴， ∵沿折叠，使顶点落在点处， ∴， ∴； 综上，的度数为或； （4）解：如图，当点在的右边时， 由折叠可得， ∵， ∴， ∵射线是的角平分线， ∴， ∴， ∴由折叠得， ∴； 当点在的右侧，在的左侧时，如图， 由折叠可得，， ∴， ∵， ∴， ∵射线是的角平分线， ∴， ∴， ∴由折叠得，， ∴； 综上，的度数为．