2026文昌中学高三下学期第一次月考数学试题含解析

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第Ⅰ卷（选择题，共58分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 若复数满足，则的虚部为（ ）
A. B. C. 1D.
2. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知双曲线的渐近线方程为，则m的值为（ ）
A. B. C. D. 2
4. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A. 27B. 28C. 29D. 30
5. 有2位老师和3名学生排成一队照相，老师既不能分开也不排在首尾，则不同的排法有（ ）
A. 48种B. 12种C. 36种D. 24种
6. 已知，是随机事件，若，，则（ ）
A B. C. D.
7. 已知定义在上的奇函数和偶函数，，则当时，的最大值为（ ）
A. 2B. 1C. D.
8. 有这样一种说法：一张纸经过一定次数对折之后的厚度能超过地月距离，但实际上，因为纸张本身有厚度，所以我们并不能将纸张无限次对折，当厚度超过纸张的长边时，便不能继续对折了.一张长边为，厚度为的矩形纸张沿两个方向不断对折，则经过两次对折后，长边变为，厚度变为．在理想情况下，对折次数满足关系：．根据以上信息，一张长为100cm，厚度为0.05cm的纸经过对折后的厚度的最大值为（参考数据：）（ ）
A. 1.28cmB. 2.56cmC. 12.8cmD. 6.4cm
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9. 某校举办“班班有歌声”爱国主义合唱比赛，7位评委给某班的评分分别为82，90，65，68，80，92，80，依据评分规则，需去掉一个最高分和一个最低分，剩余5个评分为有效数据，则（ ）
A. 有效数据的极差是10B. 有效数据的平均数是80
C. 有效数据的第80百分位数是86D. 有效数据的方差是50
10. 已知等比数列的公比为，前项和为，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D. 数列是公差为1等差数列
11. 已知抛物线焦点为，过点的直线与抛物线相交于两点，下列结论正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则的最小值为5
C. 以线段为直径的圆与直线相切
D. 若，则直线的斜率为
第Ⅱ卷（非选择题，共92分）
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，满分15分.）
12. 已知平面向量，，若方向相反，则_____.
13. 已知，则______.
14. 在正三棱柱中，直线与平面所成角为，且四棱锥的体积为，则该三棱柱的外接球的表面积为______.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 在中，内角的对边分别为．若．
（1）已知，求三角形的三边长；
（2）若，为中点，求外接圆半径．
16. 如图，四棱锥底面为直角梯形，，，，，为等边三角形，平面平面，，为的中点．
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
17. 2026年被业界公认为“具身智能元年”．得益于硬件成本的雪崩式下降和视觉-语言-动作大模型的成熟．人工智能已经不再是概念和愿景，而是开始真实地走进企业和家庭，重新定义人类的工作和生活．新华中学为激发学生进一步对人工智能的了解，举办知识竞赛活动．活动分两轮进行，第一轮通过后方可进入第二轮，两轮通过后即可获得代表学校参加比赛的资格．已知小明、小华，小方3位同学通过第一轮的概率均为，在通过第一轮的条件下，他们通过第二轮的概率依次为,假设他们之间通过与否相互独立．
（1）求这3人中至多有2人通过第一轮的概率；
（2）从3人中随机选出一人，求他通过第二轮的概率；
（3）设这3人中通过第二轮的人数为，求的分布列及期望．
18. 已知函数（其中为自然对数的底数）．
（1）当时，求函数的极值；
（2）若函数在有唯一零点，求实数取值范围；
（3）若不等式对任意的恒成立，求整数的最大值．
19. 已知椭圆的离心率为是的左、右焦点，且，直线过点与交于两点.
（1）求的方程；
（2）若，求的方程；
（3）若直线过点与交于两点，且的斜率乘积为分别是线段的中点，求面积的最大值.