湖南省娄底市双峰一中2021届高三上学期第一次月考 数学（word版含答案） 试卷
展开双峰一中2021届高三上学期第一次月考
数学试题
时间:120分钟 | 满分:150分 |
一、选择题(每小题5分,共8小题40分)
1、已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
2、已知,,,则( )
A. B. C. D.
3、已知，向量，且，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
4、设为一条直线,为一个平面,则的充要条件是( )
A.内有一条直线与垂直 B.内有两条相交直线与垂直
C.内有两条平行直线与垂直 D.内有无数条直线与垂直
5、设函数则的值为（ ）
A. B. C. D.
6、已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
7、已知函数是定义在上的奇函数,当时,(为常数),则的值为( )
A. B. C. D.
8、已知偶函数满足,且当时,,关于的不等式在区间上有且只有个整数解,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题(每小题5分,共4小题20分)
9、已知,则在同一平面直角坐标系中,函数与的大致图象可能是( )
A. B.
C. D.
10、已知函数是定义在上的偶函数,且对任意的,总有,则( )
A. B. C. D.
11、设有下面四个命题中,正确命题是( )
A.“若，则与的夹角为锐角”及它的逆命题均为真命题；
B.若,则；
C.“”是“或”的充分不必要条件；
D.命题“中，若，则”的逆命题为真命题.
12、已知,,若对任意的,存在,使,则下列对实数的描述错误的是( )
A.的最小值为 B.无最大值 C.的最大值为 D.无最小值
三、填空题(每小题5分,共4小题20分)
13、已知集合，若成立的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围是__________.
14、已知定义在上的奇函数满足,且,则的值为__________.
15、若在上是的增函数，则的取值范围是__________．
16、已知函数若存在四个不同的实数,,,且(),使得,记,则的值为__________.
四、解答题(第17题10分,第18题12分,第19题12分,第20题12分,第21题12分,第22题12分,共6小题70分)
这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目。
在锐角三角形的内角的对边分别为,且满足 .
( 1)求的大小;
(2)求的取值范围.
18、已知数列的前项和为且．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，数列的前项和，求使成立的的最大值．
19、如图,在四棱锥中,底面是矩形,侧棱底面,,点是的中点.
(1)求证:平面;
(2)若直线与平面所成角为,求二面角的大小.
20、某中学高三年级共有学生人，将某次模拟考试的数学成绩（满分分，所有成绩均不低于分）按分成组，并制成如图所示的频率分布直方图.
(1) 求的值；
(2) 试估计本次模拟考试数学成绩在内的学生人数；
(3) 为了研究低分学生的失分情况，位教师分别在自己电脑上从成绩在内的试卷中随机抽取份进行分析，每人抽到的试卷是相互独立的，为抽到的成绩在内的试卷数，写出的分布列，并求数学期望.
21、已知椭圆和直线,椭圆的离心率,直线与坐标原点的距离为.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知定点,若直线与椭圆相交于两点,试判断是否存在值,使以为直径的圆过定点?若存在求出这个的值,若不存在,说明理由.
22、设函数.
(1)若函数在上单调递增,求的取值范围;
(2)若对任意均有,求的取值范围.
答案解析
第1题答案 A 第1题解析 ，， ∴，. | ||||||||||
第2题答案 B 第2题解析 由对数函数的图像可知:;再有指数函数的图像可知:,,于是可得到:. | ||||||||||
第3题答案 C 第3题解析 因为，所以.所以.因为，所以（当且仅当，即时取等号）. | ||||||||||
第4题答案 B 第4题解析 根据线面垂直的判定定理易得答案. | ||||||||||
第5题答案 C 第5题解析 . | ||||||||||
第6题答案 B 第6题解析 由已知得，解得，所以函数的定义域为. | ||||||||||
第7题答案 D 第7题解析 ∵是定义在上的奇函数,∴,,即当时,,∴.故选:D. | ||||||||||
第8题答案 D 第8题解析 ∵偶函数满足,∴, ∴的周期为且的图象关于直线对称, ∵上含有个周期,且在每个周期内都是轴对称图形, ∴当关于的不等式在上有个整数解, 当时,, 由,得,由,得, ∴当函数在上单调递增,在上单调递减, ∵,, ∴当时,, ∴当时,在上有个整数解,不符合题意, ∴,由可得或, 显然在上无整数解, 故而在上有个整数解,分别为,,, 所以,,, 所以.故选:D. | ||||||||||
第9题答案 B,D 第9题解析 ∵,∴,∴. ∴. 当时,函数与都是增函数,观察图象可知,B正确; 当时,函数与都是减函数,观察图象可知,D正确. | ||||||||||
第10题答案 C,D 第10题解析 因为任意的,总有,所以在上是增函数,所以在上是增函数,因为是偶函数,所以的图象关于轴对称,故的图象关于直线对称,所以,,. | ||||||||||
第11题答案 C,D 第11题解析 “若，则与的夹角为锐角”，向量同向时不是锐角，故原命题为假，逆命题均为真，故A错误； 若,则，故B错误； 原命题等价于“且”是“”的充分不必要条件，故C正确； 命题“中，若”，故D正确，故选CD. | ||||||||||
第12题答案 C,D 第12题解析 若对任意,存在,使得成立,只需, ∵,∴,即.∵, ∴,∴,∴,∴. | ||||||||||
第13题答案 第13题解析 因为成立的一个充分不必要条件是，所以，即，所以实数的取值范围是. | ||||||||||
第14题答案 第14题解析 由题得,所以,所以函数的周期为,所以,因为定义在上的奇函数满足,所以,∴,所以. | ||||||||||
第15题答案 第15题解析 由于函数在上是增函数，则，且，所以，故的取值范围是. | ||||||||||
第16题答案 第16题解析 若存在四个不同的实数,,,且(), 使得,所以,即, 又,即,. | ||||||||||
第17题答案 (1); (2). 第17题解析 (1) 由①②③任意一个得到. (2)由及, 得. 又为锐角三角形,∴∴. . 又,∴.∴. | ||||||||||
第18题答案 （Ⅰ）； （Ⅱ） 第18题解析 （Ⅰ）依题意知， 当时，，两式相减可得： ， 又满足上式 ∴数列的通项公式. （Ⅱ）∵， ∴ ∴．由，即． | ||||||||||
第19题答案 见解析 第19题解析 (1)连结交于,连接,由题意可知,,, 又平面,平面,所以平面. (2)以为坐标原点,所在直线分别为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系,设,,则,,,,,, 设平面的法向量, 由,得,取, 又由直线与平面所成的角为, 得,解得, 同理可得平面的法向量, 由向量的夹角公式,可得, 又因为二面角为钝二面角,所以二面角的大小为. | ||||||||||
第20题答案 （1）. （2） （3）见解答. 第20题解析 （1）由，得. （2）由（1）得成绩在内的频率为，估计本次模拟考试数学成绩在内的学生人数为. （3）由图得成绩在内的试卷数为，其中成绩在内的试卷数为，成绩在内的试卷数为，从中任取份试卷，则成绩在内的概率为，成绩在内的概率为. 由题意知的所有可能取值为， 故
所以的分布列为
由，所以 | ||||||||||
第21题答案 (1); (2) 第21题解析 (1)由直线,与原点的距离为,∴,即① 又由,得,即,又∵,∴② 将②代入①得,即,∴,，， ∴所求椭圆方程是; (2)设,, 由,得, 由,得或, ∴,, ∴ ∵以为直径的圆过点,∴,即, 由,, 得,∴, ∴,解得, ∴当时,以为直径的圆过定点，. | ||||||||||
第22题答案 见解答 第22题解析 (1), 则在上单调递增等价于在上恒成立, 令,则, 当时,,即在上单调递减, 当时,,即在上单调递增, 所以, 解得. (2)令,, 则,令, ∵当时,,即在上单调递增, ∴. ①当,即时, 恒成立,即函数在上单调递增, 从而必须满足,解得, 又,∴. ②当,即时, 则存在,使,即, 且时,,即,即单调递减, 时,,即,即单调递增, ∴, 解得, 由, 令, 则,即在上单调递减, 所以,即. 综上,. |
