海南省文昌中学2025-2026学年高三下学期第一次月考数学试题

这是一份海南省文昌中学2025-2026学年高三下学期第一次月考数学试题，共11页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷（选择题，共 58 分）
一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
若复数满足，则的虚部为（）
A．B．C．1D．
已知集合，则（）
B．C．D．
已知双曲线的渐近线方程为，则 m 的值为（）
A．B．C．D．2
已知等差数列的前项和为，若，则（）
A．27B．28C．29D．30
有 2 位老师和 3 名学生排成一队照相，老师既不能分开也不排在首尾，则不同的排法有（）
A．48 种B．12 种C．36 种D．24 种
已知 A，B 是随机事件，若，，则（）
B．C．D．
已知定义在上的奇函数和偶函数，，则当 时，的最大值为（）
A．2B．C．D．1
有这样一种说法：一张纸经过一定次数对折之后的厚度能超过地月距离，但实际上，
因为纸张本身有厚度，所以我们并不能将纸张无限次对折，当厚度超过纸张的长边时，便不能继续对折了. 一张长边为，厚度为的矩形纸张沿两个方向不断对折，
则经过两次对折后，长边变为，厚度变为．在理想情况下，对折次数满足
关系：．根据以上信息，一张长为 100cm，厚度为 0.05cm 的纸经过对折后的厚度的最大值为（参考数据：）（）
A．6.4cmB．2.56cmC．12.8cmD．1.28cm
二、多项选择题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。）
某校举办“班班有歌声”爱国主义合唱比赛，7 位评委给某班的评分分别为82，90，65，
68，80，92，80，依据评分规则，需去掉一个最高分和一个最低分，剩余 5 个评分为有效数据，则（）
有效数据的极差是 10B．有效数据的平均数是 80
C．有效数据的第 80 百分位数是 86D．有效数据的方差是 50
10．已知等比数列
正确的是（
）
的公比为
，前
项和为
，则下列说法
A．
B．
C．
D．数列
是公差为 1 的等差数列
11．已知抛物线的焦点为 ，过点 的直线与抛物线
相交于
两点，
下列结论正确的是（）
A．若，则
B．若，则的最小值为 5
以线段为直径的圆与直线相切
若，则直线的斜率为
第Ⅱ卷（非选择题，共 92 分）
三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，满分 15 分。）
已知平面向量，，若方向相反，则．
已知，则．
在正三棱柱中，直线与平面所成角为，且四棱锥 的体积为，则该三棱柱的外接球的表面积为．
四、解答题（本大题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15.（本小题满分 13 分）
在△ABC 中，内角的对边分别为．若．
已知，求三角形的三边长；
若，为中点，求外接圆半径．
16.（本小题满分 15 分）
，
，
如图，四棱锥的底面为直角梯形，，
，为等边三角形，平面平面，，为
的中点．
证明：平面；
求平面与平面夹角的余弦值．
17.（本小题满分 15 分）
2026 年被业界公认为“具身智能元年”．得益于硬件成本的雪崩式下降和视觉-语言-动作大模型的成熟．人工智能已经不再是概念和愿景，而是开始真实地走进企业和家庭，重新定义人类的工作和生活．新华中学为激发学生进一步对人工智能的了解，举办知识竞赛活动．活动分两轮进行，第一轮通过后方可进入第二轮，两轮通过后即可获得代表学校参加比赛的资格．已知小明、小华，小方 3 位同学通过第一轮的
概率均为，在通过第一轮的条件下，他们通过第二轮的概率依次为,假设
他们之间通过与否相互独立．
求这 3 人中至多有 2 人通过第一轮的概率；
从 3 人中随机选出一人，求他通过第二轮的概率；
设这 3 人中通过第二轮的人数为，求的分布列及期望．
18.（本小题满分 17 分）
已知函数（其中为自然对数的底数）．
当时，求函数的极值；
若函数在有唯一零点，求实数的取值范围；
若不等式对任意的恒成立，求整数的最大值．
19.（本小题满分 17 分）
已知椭圆的离心率为是的左、右焦点，且 ，直线过点与交于两点.
求的方程；
若，求的方程；
若直线过点与交于两点，且的斜率乘积为分别是线段的中点，求△OMN 面积的最大值.
2025—2026 学年度第二学期高三第一次月考答案
数 学
第Ⅰ卷（选择题，共 58 分）
一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
二、多项选择题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分。）
第Ⅱ卷（非选择题，共 92 分）
三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，满分 15 分。）
12．13．14．
四、解答题（本大题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15．解：
（1）
…………2 分
，解得或，4 分
又由题意知：，∴，∴满足条件5 分
∴，即为三角形的三边.6 分
（2）∵，
∴，……7 分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
C
B
B
D
D
B
A
题号
9
10
11
答案
BC
ABD
AC
由正弦定理得，即，
∴的外接圆半径为．………13 分
16．解：
因为为等边三角形，为的中点，
所以．1 分
过 作，垂足为，2 分
∴
，即
，
∴
或
，
…………8 分
∵
，
∴
，
…………9 分
当
时，边最长，与条件
矛盾，故舍去；
………10 分
当
时，则，又
，
∴
，解得：
，
………11 分
∴
,∴
,
又∵
∴在
为中点，∴，中，，
………12 分
设
的外接圆半径为 ，
因为底面
为直角梯形，
，
，
，
，
所以
，则
，
由
得
，所以
…………3 分
因为平面
平面，
且平面
平面
，
平面
，
…………4 分
所以因为
平面平面
．
，所以
．
…………5 分
又
，
平面
，所以
平面
．…7 分
，
，
由（1）可知，
两两垂直，以为原点，过且平行于
直线为轴，，所在直线分别为轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，8 分
则，， ， ，
设平面
的法向量为
，
则
，令
，……10 分
，则， ……12 分
由（1）可知，轴⊥平面，
不妨取平面的法向量为，13 分
则，14 分
故平面与平面夹角的余弦值为．15 分
17．解：
记 3 人中通过第一轮的人数为，
由题意可知，1 分
记“3 人中至多有 2 人通过第一轮”为事件，
则.4 分
记随机选择小明、小华、小方的事件分别为，通过第二轮的事件记为，则由题意可知，……6 分
则
所以
.
…8 分
…9 分
………13 分
所以 的分布列是
则的数学期望是．…15 分
18．解：
（1）当时，，则，1 分
当时， ；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，3 分
的极小值为，无极大值.5 分
（2），，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增；6 分
①当时，在上单调递增，
若在上有唯一零点，则，
即，解得：（舍）；7 分
（3）记小明、小华、小方通过第二轮的事件分别为
则，
，
，
，
………10 分
由相互独立可知
，
0
1
2
3
在上有唯一零点，此时需，
即；
综上所述：当或时，在上有唯一零点，
在上单调递减，在上单调递增，
，
，，， ………16 分
②当
时，
在上单调递减，在上单调递增；……8 分
当
，即
时，
，
则
在
上无零点，不合题意；
当
，即
时，在
上有唯一零点，满足题意；
当
由
，即
时，
得：
，………10 分
即实数
的取值范围为.………11 分
（3）若
对
恒成立，即
对
恒成立，
则
，
令
，则
，
………13 分
令
，则
，
在
上单调递增，
，
，
，使得
，
即
则当
，
时，；当
时，
； ………14 分
，整数的最大值为.………17 分
19．解：
因为，所以，1 分
又因为该椭圆的离心率为，
所以，2 分
所以椭圆的方程为；4 分
当直线 的斜率为零时，此时方程为，此时，
显然此时，不符合题意，5 分
故设直线 的方程为，与椭圆方程联立，得
，
因为，
所以设，则有， ……7 分由
， ……9 分
所以直线 的方程为，或；………10 分
由（2）可知：，所以
因此的坐标为，…11 分
设故设直线 的方程为，与椭圆方程联立，得
，
因为，
所以设，则有，
所以 的坐标为
，
………12 分
因为
的斜率乘积为
，
所以
，因此的坐标为
显然边
因此
与横轴平行，
，……13 分
，
即.………15 分
即时，取等号，即当时取等号，………16 分所以△OMN 面积的最大值.………17 分