广东省珠海市2021届高三上学期摸底考试 数学（word版含答案）
展开珠海市2020-2021学年度第一学期高三摸底测试
数 学
2020.9
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合，，则
A． B．
C． D．
2．
A．1 B．2 C．−i D．−2i
3．8名医生去甲、乙、丙三个单位做核酸检测，甲、乙两个单位各需三名医生，丙需两名医生，其中医生a不能去甲医院，则不同的选派方式共有
A．280种 B．350种 C．70种 D．80种
4．一球内接一圆锥，圆锥的轴截面为正三角形，过作与球相切的平面，则直线与平面所成的角为
A．30° B．45° C．15° D．60°
5．现有8位同学参加音乐节演出，每位同学会拉小提琴或会吹长笛，已知5人会拉小提琴，5人会吹长笛，现从这8人中随机选一人上场演出，恰好选中两种乐器都会演奏的同学的概率是
A． B． C． D．
6．若定义在上的奇函数f(x)在单调递增，且，则满足的解集是
A． B．
C． D．
7．已知P是边长为1的正方形ABCD边上或正方形内的一点，则的最大值是
A． B．2 C． D．
8．直线是曲线和曲线的公切线，则
A．2 B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。
9．已知双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，渐近线方程为，则双曲线的离心率为
A． B． C． D．
10．如图是函数的部分图象，则
(第10题图)
A． B．
C． D．
11．已知，则
A． B． C． D．
12．已知随机变量的取值为不大于的非负整数，它的概率分布列为
… | ||||||
… |
其中满足，且．定义由生成的函数，为函数的导函数，为随机变量的期望．现有一枚质地均匀的正四面体型骰子，四个面分别标有1，2，3，4个点数，这枚骰子连续抛掷两次，向下点数之和为，此时由生成的函数为，则
A． B． C． D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．椭圆的左、右焦点分别为、，过原点的直线与交于A，B两点，、都与轴垂直，则=________．
14．将数列与的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前10项和为________（用数字作答）．
15．已知、为锐角三角形的两个内角，，，则 ．
16．一半径为的球的表面积为，球一内接长方体的过球心的对角截面为正方形，则该长方体体积的最大值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）
在①， ②， ③
这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在非直角，它的内角的对边分别为，
且，，________?
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18．（12分）
已知数列是正项等比数列，满足，．
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
19．（12分）如图，三棱锥中，，，平面PBC⊥底面ABC，，分别是，的中点．
（1）证明：PD⊥平面ABC；
（2）求二面角的正切值．
(第19题图)
20．（12分）某药企对加工设备进行升级，现从设备升级前、后生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本检测某项质量指标值: 该项质量指标值落在内的产品为优等品，每件售价240元；质量指标值落在和内的为一等品，每件售价为180元；质量指标值落在内的为二等品，每件售价为120元；其余为不合格品，全部销毁．每件产品生产销售全部成本50元．
下图是设备升级前100个样本的质量指标值的频率分布直方图
(第20题图)
下表是设备升级后100个样本的质量指标值的频数分布表
质量指标值 | ||||||
频数 |
(1) 以样本估计总体，若生产的合格品全部在当年内可以销售出去，计算设备升级前一件产品的利润(元)的期望的估计值．
(2)以样本估计总体，若某位患者从升级后生产的合格产品中随机购买两件，设其支付的费用为(单位：元)，求(元)的分布列．
21．（12分）已知函数，．
（1）讨论函数的单调性；
（2）讨论的零点的个数．
22．（12分）已知抛物线的顶点在原点，焦点到直线的距离为，为直线上的点，过作抛物线的切线、，切点为．
(1)求抛物线的方程；
(2) 若，求直线的方程;
(3)若为直线上的动点，求的最小值．
珠海市2020-2021学年度第一学期高三摸底测试
数学 2020.9解析及评分参考
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合，，则 A
A． B． C． D．
2． B
A．1 B．2 C．−i D．−2i
3．8名医生去甲、乙、丙三个单位做核酸检测，甲、乙两个单位各需三名医生，丙需两名医生，其中医生a不能去甲医院，则不同的选派方式共有 B
A．280种 B．350种 C．70种 D．80种
4．一球内接一圆锥，圆锥的轴截面为正三角形，过作与球相切的平面，则直线与所成的角为 D
A．30° B．45° C．15° D．60°
5．现有8位同学参加音乐节演出，每位同学会拉小提琴或会吹长笛，已知5人会拉小提琴，5人会吹长笛，现从这8人中随机选一人上场演出，恰好选中两种乐器都会演奏的同学的概率是 A
A． B． C． D．
6．若定义在上的奇函数f(x)在单调递增，且，则满足的解集是 D
A． B． C． D．
7．已知P是边长为1的正方形ABCD边上或正方形内的一点，则的最大值是 C
A． B．2 C． D．
8．直线是曲线和曲线的公切线，则 C
A．2 B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。
9．已知双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，渐近线方程为，则双曲线的离心率为 AB
A． B． C． D．
10．如图是函数的部分图象，则 BCD
A． B．
C． D．
11．已知，则 ACD
A． B． C． D．
12．已知随机变量的取值为不大于的非负整数，它的概率分布列为
… | ||||||
… |
其中满足，且．定义由生成的函数，为函数的导函数，为随机变量的期望．现有一枚质地均匀的正四面体型骰子，四个面分别标有1，2，3，4个点数，这枚骰子连续抛掷两次，向下点数之和为，此时由生成的函数为，则 CD
A． B． C． D．
提示：
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．椭圆的左、右焦点分别为、，过原点的直线与交于A，B两点，、都与轴垂直，则=________．
14．将数列与的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前10项和为________（用数字作答）． 2046
15．已知、为锐角三角形的两个内角，，，则 ．
16．一半径为的球的表面积为，球一内接长方体的过球心的对角截面为正方形，则该长方体体积的最大值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）
在①， ②， ③
这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在非直角，它的内角的对边分别为，
且，，________?
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
解：中，由
得
………………………………………………………………………1分
∴………………………………………………………………………2分
∵不是直角三角形
∴
∴………………………………………………………………………3分
即………………………………………………………………………4分
∵
∴………………………………………………………………………6分
选①：由，及 得…………………………………………………7分
由 得……………………………………………………9分
不合理，故不存在．………………………………………………………………………10分
选②：由
得………………………………………………………………………8分
∴………………………………………………………………………9分
∴为直角，不合题设，故不存在．…………………………………………………10分
选③：由
得．………………………………………………………10分
18．（12分）
已知数列是正项等比数列，满足，．
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
解：（1）设正项等比数列的公比为
由得解得………………………………2分
所以的通项公式 ……………………………………………………………4分
（2）………………………………………………6分
故………………………………………………………………8分
所以的前项和:
．……………………………………………12分
19．（12分）如图，三棱锥中，，，平面PBC⊥底面ABC，，分别是，的中点．
（1）证明：PD⊥平面ABC；
（2）求二面角的正切值．
（1）证明：∵，是中点
∴PD⊥BC…………………………………………1分
∵平面PBC⊥底面ABC，PD平面PBC，平面PBC底面ABC
∴PD⊥平面ABC.………………………………………………4分
（2）解：如图，取中点，连接，
则………………………………………………5分
∵，是的中点，
∴，……………………………………………………6分
，
∴，…………………………………………………………7分
∵PD⊥平面ABC
∴，
∴平面………………………………………………………………………8分
∴………………………………………………………………………9分
∴为二面角的平面角.……………………………………………………10分
在中，…………………………………………11分
∴二面角的正切值为2．……………………………………………………………12分
20．（12分）某药企对加工设备进行升级，现从设备升级前、后生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本检测某项质量指标值: 该项质量指标值落在内的产品为优等品，每件售价240元；质量指标值落在和内的为一等品，每件售价为180元；质量指标值落在内的为二等品，每件售价为120元；其余为不合格品，全部销毁．每件产品生产销售全部成本50元．
下图是设备升级前100个样本的质量指标值的频率分布直方图
下表是设备升级后100个样本的质量指标值的频数分布表
质量指标值 | ||||||
频数 |
(1) 以样本估计总体，若生产的合格品全部在当年内可以销售出去，计算设备升级前一件产品的利润(元)的期望的估计值．
(2)以样本估计总体，若某位患者从升级后生产的合格产品中随机购买两件，设其支付的费用为(单位：元)，求(元)的分布列．
解：(1)由题设知，………………………………………1分
的分布列为
………………………………………………………………………3分
设备升级前利润的期望值为
……………………4分
∴升级前一件产品的利润的期望估计值为118元．………………………5分
(2) 升级后设患者购买一件合格品的费用为(元)
则………………………………………………………………………6分
患者购买一件合格品的费用的分布列为
……………………………8分
则………………………………………………10分
则升级后患者购买两件合格品的费用的分布列为
………………………………………………………………………12分
21．（12分）已知函数，．
（1）讨论函数的单调性；
（2）讨论的零点的个数．
解：（1）∵
∴…………………………………………………1分
时时，时.……………………………3分
∴时，的减区间是，增区间是．………………………4分
（2）①时，∵且的减区间是，增区间是
∴是的极小值，也是最小值…………………………………5分
，………………………………6分
取且……………………………7分
则…………………………8分
∴在和上各一个零点………………………………………9分
②时，只一个零点…………………………………10分
综上，时，有两个零点；…………………………………………11分
时，一个零点．………………………………………………………………………12分
22．（12分）已知抛物线的顶点在原点，焦点到直线的距离为，为直线上的点，过作抛物线的切线、，切点为．
(1)求抛物线的方程；
(2) 若，求直线的方程;
(3)若为直线上的动点，求的最小值．
解：(1)由到直线的距离为
得
得或………………………………………………………2分
∵
∴…………………………………………………………………3分
∴抛物线.……………………………………………………4分
(2) 由知
∴…………………………………………………………………5分
设切点，
则
即
……………………………………………………6分
∵，
∴即………………………………7分
∴．………………8分
(3)若为直线上的动点，设，则
由(2)知
∵，
∴
∴与联立消得
…………“＊” ……………………………………9分
则，是“＊”的二根
∴………………………………………………………………………10分
………………………………………………………………………11分
当时，得到最小值为．…………………………12分
