河南省信阳市罗山县2021届高三第一次调研（8月联考）数学（文）（word版含答案） 试卷

2020—2021学年度高中毕业班第一次调研考试
数 学 试 题（文）
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．估计sin2020°的大小属于区间（　　）
A． B． C． D．
2．已知，，则(CNA)∩B＝（　　）
A．{1，2} B．{0，1} C．{0，1，2} D．∅
3．设x∈Z，集合A是偶数集，集合B是奇数集．若命题p：∀x∈A，x-1∈B，则（　　）
A．￢p：∀x∈A，x-1∉B B．￢p：∀x∉A，x-1∉B
C．￢p：∃x∉A，x-1∈B D．￢p：∃x∈A，x-1∉B
4．设锐角△ABC的三个内角分别为角A，B，C，那么“A+B＞”是“sinB＞cosA”成立的（　　）
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知，则sin，cos，tan的大小关系为（　　）
A．sin＞cos＞tan B．cos＞sin＞tan
C．tan＞cos＞sin D．sin＞tan＞cos
6．设，则f（3）的值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．设a＝0.30.2，b＝0.20.3，c＝log0.30.2，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞a＞c
8．曲线在x＝1处的切线的倾斜角为α，则的值为（　　）
A． B． C． D．
9．已知奇函数f（x）与偶函数g（x）满足，且g（b）＝a，则f（2）的值为（　　）
A．a2 B．2 C． D．
10．函数的部分图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
11．f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，，且，则不等式f（x）＜0的解集为（　　）
A．（﹣3，0）∪（3，+∞） B．（﹣3，0）∪（0，3）
C．（﹣∞，3）∪（3，+∞） D．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）
12．已知f（x）是R上的偶函数，f（x+π）＝f（x），当时，f（x）＝sinx，则函数的零点个数是（　　）
A．12 B．10 C．6 D．5
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.
13．集合A＝{1，3}，B＝{1，2，a}，若A⊆B，则a＝　 　．
14．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表．其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝．弧田（如图），由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为，弦长等于9m的弧田．按照上述经验公式计算所得弧田的面积是　 　m2．
15．若关于x的不等式恒成立，则a的最大值是　 　．
16．函数(其中)在区间上递增，则实数的取值范围是　 　．
三．解答题：本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本题满分10分）
已知集合A＝{x|2a﹣1＜x＜a+1}，B＝．
（1）若a＝1，求A∪B；
（2）若A∩B＝∅，求实数a的取值范围．

18．（本题满分12分）
如图，以Ox为始边作角α与β（0＜β＜α＜π），它们
的终边分别与单位圆相交于点P、Q，已知点P的坐标
为。
（1）求的值；
（2）若OP⊥OQ，求sin2β﹣2cosβ的值。

19． （本题满分12分）
设a∈R，p：函数y＝ln（x2+4ax+1）的定义域为R，q：函数f（x）＝x2﹣4x﹣a在区间[0，3]上有零点．
（1）若q是真命题，求a的取值范围；
（2）若p∨（￢q）是真命题，求a的取值范围．
20． （本题满分12分）
已知函数f（x）＝ax3+x2+bx（a，b∈R），是奇函数．
（1）求曲线y=f（x）在点处的切线方程；
（2）求函数g（x）的极值．

21． （本题满分12分）
已知奇函数的定义域为[a﹣2，b]．
（1）求实数a，b的值；
（2）若x∈[a﹣2，b]，方程恰有两解，求m的取值范围．

22． （本题满分12分）
已知函数f（x）＝mx﹣ex（e为自然对数的底数）．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）已知函数f（x）在x＝1处取得极大值，当x∈[0，3]时恒有，求实数p的取值范围．

2021届高三年级第一次县联考考试
数学试题（文）参考答案与试题解析
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．【考点】运用诱导公式化简求值．
【解答】解：因为2020°＝1800°+220°，
所以sin2020°＝sin220°＝﹣sin40°，
又sin30°＜sin40°＜sin45°，所以＜﹣sin40°＜． 故选：C．
【点评】本题主要考查了诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
2．【考点】交、并、补集的混合运算．
【解答】解：A＝{x∈N|x2﹣x﹣2＞0}＝{x∈N|x＞2}，B＝{y∈N|0 ∴CNA＝{x∈N|0≤x≤2}＝{0，1，2}，
∴（CNA）∩B＝{1，2}．
故选：A．
【点评】本题考查了描述法、列举法的定义，对数函数的定义域，指数函数的单调性，交集和补集的运算，考查了计算能力，属于基础题．
3．【考点】全称量词和全称命题；命题的否定
【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，
所以设x∈Z，集合A是偶数集，集合B是奇数集．若命题p：∀x∈A，x-1∈B，则￢p：∃x∈A，x-1∉B．
故选：D．
【点评】本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，基本知识的考查．
4．【考点】充分条件、必要条件、充要条件．
【解答】解：设锐角△ABC的三个内角分别为角A，B，C，
“A+B＞”⇒“B＞﹣A”⇒“sinB＞sin（﹣A）“⇒“sinB＞cosA”，
“sinB＞cosA“⇒“sinB＞sin（﹣A）“⇒“B＞﹣A“⇒“A+B＞“，
∴“A+B＞”是“sinB＞cosA”成立的充分必要条件．
故选：A．
【点评】本题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断，考查诱导公式、三角函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题
5．【考点】三角函数线．
【解答】解：根据三角函数线：
所以根据三角函数线得到：AT＞0＞OM>MP，
即：tan＞cos＞sin．
故选：C．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数线的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
6．【考点】分段函数的解析式求法；函数的值．
【解答】解析：∵，
∴f（3）＝f[f（6）]＝f（4）＝f[f（7）]＝f（5）＝5-2=3．
故选：B．
【点评】本题主要考查了分段函数、求函数的值．属于基础题．
7．【考点】对数值大小的比较．
【解答】解：∵0＜a＝0.30.2＜0.30＝1，
0＜b＝0.20.3＜0.20＝1，
a＝0.30.2＞0.30.3＞0.20.3＝b，
c＝log0.30.2>log0.30.3＝1，
则a，b，c的大小关系为c＞a＞b．
故选：B．
【点评】本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
8．【考点】导数及其几何意义；诱导公式；弦切互化；二倍角的三角函数．
【解答】解：依题意，，所以tanα＝，
所以
故选：D．
【点评】本题考查了导数的几何意义，直线的倾斜角与斜率，三角恒等变换，属于基础题．
9．【考点】函数奇偶性的性质与判断；4E：指数函数综合题．
【解答】解：∵奇函数f（x）与偶函数g（x）满足f（x）+g（x）＝ax﹣a﹣x+2，
∴f（x）＝﹣f（x），g（x）＝g（﹣x）．
∵f（x）+g（x）＝ax﹣a﹣x+2，①
∴f（﹣x）+g（﹣x）＝a﹣x﹣ax+2，
∴g（x）﹣f（x）＝a﹣x﹣ax+2．②
①+②，得2g（x）＝4，
∴g（x）＝2．
∵g（b）＝a，∴a＝2．
∴f（x）＝2x﹣2﹣x+2﹣g（x）＝2x﹣2﹣x．
∴f（2）＝22﹣2﹣2＝4﹣＝．
故选：C．
【点评】本题考查指数函数的综合应用，是中档题．解题时要认真审题，仔细解答，注意函数的奇偶性的灵活运用．
10．【考点】函数的图象与图象的变换．
【解答】解：因为，所以函数f（x）为偶函数，排除选项B；
当0＜x＜1时，lnx＜0，所以f（x）＜0，排除选项C；
又，排除选项D．
故选：A．
【点评】本题考查函数的图象与性质，一般从函数的单调性、奇偶性或特殊点处的函数值等方面着手思考，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
11．【考点】利用导数研究函数的单调性．
【解答】解：令g（x）＝xf（x），则g'（x）＝f（x）+x•f′（x），
当x＜0时，g'（x）＜0，∴g（x）在（﹣∞，0）上单调递减，
∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴g（﹣x）＝﹣xf（﹣x）＝xf（x）＝g（x），即函数g（x）为偶函数，
∴g（x）在（0，+∞）上单调递增，
∵f（﹣3）＝0，∴g（3）＝g（﹣3）＝﹣3×f（﹣3）＝0，
当x＞0时，若f（x）＜0，则g（x）＜0，∴0＜x＜3；当x＜0时，若f（x）＜0，则g（x）＞0，∴x＜﹣3．
∴不等式f（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣3）∪（0，3）．
故选：D．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，构造新函数是解题的关键，考查学生的转化思想和逻辑推理能力，属于中档题．
12．【考点】函数的零点与方程根的关系．
【解答】解：f（x）是R上的偶函数，f（x+π）＝f（x），
所以函数的周期为π，
画出函数y＝f（x）与y＝lg|x|的图象，
由图象可知当x＞0时，两个函数的图象有5个交点，
又函数y＝f（x）与y＝lg|x|均为偶函数，
所以函数y＝f（x）﹣lg|x|的零点个数是10．
故选：B．

【点评】本题考查函数的零点个数的求法，数形结合的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.
13．【考点】集合的包含关系判断及应用．
【解答】解：∵3∈A，且A⊆B，∴3∈B，∴a＝3，
故答案为：3．
【点评】本题主要考查了集合的包含关系，是基础题．
14．【考点】扇形面积公式；数学文化素养．
【解答】解：如图，由题意：∠AOB＝，AB＝9，
在Rt△AOD中，可得：∠AOD＝，∠DAO＝，AD＝，
可得OA＝,
OD＝ADtan∠DAO＝，
可得：矢＝，
所以：弧田面积＝（弦×矢+矢2）＝
故答案为
【点评】本题考查扇形的面积公式，考查学生对题意的理解，考查学生的计算能力，属于中档题．
15．【考点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的最值．
【解答】解：法一：由于x＞0，则原不等式可化为，
设，则，
当x∈（0，e2）时，f'（x）<0，f（x）递减；x∈（e2，+∞），f'（x）>0，f（x）递增，
可得f（x）在x＝e2处取得极小值，且为最小值．
所以，则a的最大值为．
故答案为：．
【点评】本小题主要考查函数的导数等基础知识；考查抽象概括、运算求解等数学能力；考査化归与转化、数形结合等思想方法．
16．【考点】复合函数的单调性．
【解答】解：令t＝x2-2mx+3，则原函数化为，
外层函数为定义域内的减函数，
要使函数在区间上递增，
则内层函数t＝-x2+2mx+3在区间上递减，且大于0恒成立．
即，解得．∴实数m的取值范围是[1，2]．
故答案为：[1，2]．
【点评】本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法．对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，是中档题．
三．解答题：本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．【考点】并集及其运算；交集及其运算．
【解答】解：（1）当a＝1时，A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|0 ∴A∪B＝{x|0 （2） ∵A∩B＝∅
∴①当A＝∅时，2a﹣1≥a+1，解得a≥2；……………………6分
②当A≠∅时，，解得1≤a＜2或a≤﹣1，
综上所述，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）．…………10分
【点评】本题考查了描述法的定义，并集的运算，交集的定义，空集的定义，考查了计算能力，属于基础题．
18．【考点】任意角的三角函数的定义,诱导公式.
【解答】解：（1）由题得，…………3分
∴．…………………………6分
（2）由题得，∴，
∴-cosα＝sinβ，sinα＝cosβ，
∴，…………………………9分
∴．………12分
【点评】本题主要考查了任意角的三角函数的定义，诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
19．【考点】复合命题及其真假．
【解答】解：（1）当q是真命题时，f（x）＝x2﹣4x﹣a在x∈[0，3]上有解，
令f（x）＝0，即在x∈[0，3]上有解，
当x∈[0，3]时，，∴﹣4≤a≤0
所以a的取值范围为[﹣4，0]．………………6分
（2）当p是真命题时，由题意，x2+4ax+1＞0在x∈R上恒成立，
则（4a）2﹣4＜0，则＜a＜．………………8分
记当p是真命题时，a的取值集合为A，则A＝{a|＜a＜}；
记当￢q是真命题时，a的取值集合为B，则B＝{a|a＜﹣4或a＞0}，
因为p∨（￢q）是真命题，
则，………………10分
所以a的取值范围是A∪B＝{a|a＜﹣4或a＞}．………………12分
【点评】本题考查了复合命题的判断，考查二次函数的性质，属于中档题．
20．【考点】函数奇偶性的性质与判断；导数的几何意义；利用导数研究函数的极值．
【解答】解：（1）∵f（x）＝ax3+x2+bx，∴f'（x）＝3ax2+2x+b，
∴g（x）＝f（x）+f′（x）＝ax3+（3a+1）x2+（b+2）x+b，
∵g（x）为奇函数，∴，解得，………………3分
∴f（x）＝，∴，
∴切线的斜率，又，
所以切线方程为，即………………6分
（2）由（1）可知，，∴g'（x）＝﹣x2+2，
令g'（x）＝0，则x＝或．
g'（x）、g（x）随x的变化情况如下表：
 x
（﹣∞，）
 
（，）
 
（，+∞）
 g'（x）
﹣
0
+
0
﹣
 g（x）
↘
极小值
↗
极大值
↘
∴函数g（x）的极小值为，
极大值为.……………………12分
【点评】本题考查导数的运算、利用导数研究函数的极值，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中等题．
21．【考点】函数的零点与方程根的关系．
【解答】解：（1）由函数为奇函数可得：，即定义域关于原点对称，即a﹣2+b＝0，可得：a＝﹣b+2，①，
由x＝0在定义域内，又是奇函数，所以f（0）＝0，
所以可得：a•30﹣1＝0，解得a＝1，
将a＝1代入①可得：b＝1，
所以a＝1，b＝1；…………………………5分
（2）由（1）得：，若x∈[a﹣2，b]，即x∈[﹣1，1]，
在[﹣1，1]单调递增，…………6分
所以f（x）∈[]，
设t＝f（x）∈[]；
所以方程：2[f（x）]2+f（x）﹣m＝0有两解，
可得m＝2t2+t＝2（t+）2﹣，t∈[]有两解，………………8分
令g（t）＝2（t+）2﹣，t∈[]，开口向上的抛物线，
对称轴t＝﹣∈[]．
函数g（t）先减后增，且 离对称轴较远，
所以t＝﹣，g（t）最小且为：﹣，
t＝时，g（t）最大，且为2×（）2+＝1，
且g（﹣）＝2×（﹣）2﹣＝0，
综上所述：方程恰有两解，m的取值范围为：．………………12分
【点评】本题主要考查奇函数的性质及方程的解与函数的交点之间的关系，属于中档题．
22．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．
【解答】解：（1）∵f（x）＝mx﹣ex，∴f'（x）＝m﹣ex，
若m≤0，则f'（x）＜0，f（x）在R上单调递减；………………2分
若m＞0，令f'（x）＝0，则x＝lnm，
当x＜lnm时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当x＞lnm时，f'（x）＜0，f（x）单调递减．…………………………4分
综上所述，当m≤0时，函数f（x）在R上单调递减；
当m＞0时，函数f（x）的单调增区间为（﹣∞，lnm），单调减区间为（lnm，+∞）．………………………………5分
（2）∵f（x）在x＝1处取得极大值，由（1）知，m≤0不符合题意，
故m＞0，此时f（x）在x＝lnm处取得极大值，
∴lnm＝1，解得m＝e，∴f（x）＝ex﹣ex．
∵在x∈[0，3]恒成立，
∴﹣ex+<0在x∈[0，3]上恒成立，显然p≠0，
当p＜0时，﹣ex+＜0恒成立，符合题意；……………………8分
当p＞0时，问题可转化为p>在x∈[0，3]上恒成立，
设g（x）＝（x∈[0，3]），则，
当x∈[0，2）时，g'（x）≥0，g（x）单调递增；
当x∈（2，3]时，g'（x）＜0，g（x）单调递减．
∴g（x）max＝g（2）＝，∴p>，…………………………11分
综上，实数p的取值范围为．……………………12分
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值和存在性问题，运用了分类讨论、构造函数和参变分离等方法，考查学生的转化思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．