初中数学沪科版（2024）八年级下册（2024）19.3 矩形、菱形、正方形集体备课ppt课件

这是一份初中数学沪科版（2024）八年级下册（2024）19.3 矩形、菱形、正方形集体备课ppt课件，共30页。PPT课件主要包含了学习目标，正方形，正方形的性质，邻边相等，一个角是直角，正方形的定义，轴对称图形，平行四边形，连接PCAC，∴PCEF等内容，欢迎下载使用。
1. 探索并证明正方形的性质，并了解平行四边形，矩形、菱形之间的联系和区别； 探索并证明正方形的判定. (重、难点)2. 矩形、菱形之间的联系和区别；会运用正方形的性质及判定条件进行有关的论证和计算. (难点)
观察下面图形，正方形是我们熟悉的几何图形，在生活中无处不在.
你还能举出其他的例子吗？
矩 形
问题1：矩形怎样变化后就成了正方形呢 ? 你有什么发现？
问题2 菱形怎样变化后就成了正方形呢？你有什么 发现？
有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形叫作正方形.
已知：如图，四边形 ABCD 是正方形.求证：正方形 ABCD 四边相等，四个角都是直角.
证明：∵ 四边形 ABCD 是正方形. ∴ ∠A = 90°，AB = AD (正方形的定义). 又 ∵ 正方形是平行四边形， ∴ 正方形既是矩形又是菱形 . ∴∠A =∠B =∠C =∠D = 90°， AB = BC = CD = AD.
已知：如图，四边形 ABCD 是正方形. 对角线 AC、BD 相交于点 O. 求证：AO = BO = CO = DO，AC⊥BD.
证明：∵ 正方形 ABCD 是矩形， ∴ AO = BO = CO = DO. ∵ 正方形 ABCD 是菱形， ∴ AC⊥BD.
思考 请同学们拿出准备好的正方形纸片，折一折，观察并思考：正方形是不是轴对称图形？如果是，那么对称轴有几条？
对称性： ；对称轴：.
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系：
性质1 正方形的四条边相等，四个角都是直角.性质2 正方形的对角线相等、互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角 .
例1 如图，四边形 ABCD 是正方形，对角线 AC、BD 相交于点 O. 求证： △ABO、△BCO、△CDO、△DAO 是全等的等腰直角三角形.
证明: ∵ 四边形ABCD是正方形，∴ AC=BD，AC⊥BD，AO=BO=CO=DO.∴△ABO、△BCO、△CDO、△DAO 都是等腰直角三角形，并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.
例2 如图，在正方形 ABCD 中，△BEC 是等边三角形， 求证： ∠EAD =∠EDA = 15°.
证明：∵△BEC 是等边三角形，∴ BE = CE = BC，∠EBC =∠ECB = 60°.∵ 四边形 ABCD 是正方形，∴ AB = BC = CD，∠ABC =∠DCB = 90°.∴ AB = BE = CE = CD， ∠ABE =∠DCE = 30°.∴△ABE，△DCE 是等腰三角形. ∴∠BAE =∠BEA =∠CDE =∠CED = 75°.∴∠EAD =∠EDA = 90° - 75° = 15°.
【变式题】四边形 ABCD 是正方形，以正方形 ABCD 的一边为边作等边△ADE，求∠BEC 的大小．
解：当点 E 在正方形 ABCD 外部时，如图①，AB＝AE，∠BAE＝90°＋60°＝150°.∴∠AEB＝15°.同理可得∠DEC＝15°.∴∠BEC＝60°－15°－15°＝30°；
当点 E 在正方形 ABCD 内部时，如图②，AB＝AE，∠BAE＝90°－60°＝30°，∴∠AEB＝75°.同理可得∠DEC＝75°.∴∠BEC＝360°－75°－75°－60°＝150°.综上所述，∠BEC 的大小为 30° 或 150°.
易错提醒：因为等边△ADE 与正方形 ABCD 有一条公共边，所以它们的边相等．在本题中，点 E 有两种情况: ① 在正方形的外部，②在正方形的内部．
例3 如图，在正方形 ABCD 中，P 为 BD上一点，PE⊥BC 于 E，PF⊥DC 于 F. 试说明：AP = EF.
又∵ PE⊥BC，PF⊥DC，
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴∠FCE = 90°，BD 垂直平分 AC.
∴ 四边形 PECF 是矩形.
在正方形的背景下证明两条线段相等：通常连接对角线构造垂直平分线模型，利用垂直平分线、角平分线、等腰三角形等图形的性质来推导.
1. 正方形具有而矩形不一定具有的性质是 ( ) A. 四个角相等 B. 对角线互相垂直平分 C. 对角互补 D. 对角线相等
2. 正方形具有而菱形不一定具有的性质（ ） A. 四条边相等 B. 对角线互相垂直平分 C. 对角线平分一组对角 D. 对角线相等
活动1 准备一张矩形的纸片，按照下图折叠，然后展开，折叠部分得到一个正方形，可量一量验证.
猜想 满足怎样条件的矩形是正方形？
已知：如图,在矩形 ABCD 中，AC，DB 是它的两条对角线，AC⊥DB.求证：四边形 ABCD 是正方形.
对角线互相垂直的矩形是正方形.
证明：∵ 四边形 ABCD 是矩形，∴ AO = CO = BO = DO，∠ADC = 90°.∵ AC⊥DB，∴ AD = AB = BC = CD.∴ 四边形 ABCD 是正方形.
活动2 把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状，量量看是不是正方形.
猜想 满足怎样条件的菱形是正方形？
证明：∵ 四边形 ABCD 是菱形,∴ AB = BC = CD = AD，AC⊥DB.∵ AC = DB，∴ AO = BO = CO = DO.∴△AOD，△AOB，△COD，△BOC 是等腰直角三角形.∴∠DAB =∠ABC =∠BCD =∠ADC = 90°.∴ 四边形 ABCD 是正方形.
已知：如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC = DB.求证：四边形 ABCD 是正方形.
对角线相等的菱形是正方形.
正方形判定的几条途径：
3. 在四边形 ABCD 中，O 是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（ ）
A．AC = BD，AB∥CD，AB = CDB．AD∥BC，∠BAD =∠BCDC．AO = BO = CO = DO，AC⊥BDD．AO = CO，BO = DO，AB = BC
例4 已知：如图，点 A'，B'，C'，D' 分别是正方形 ABCD 四条边上的点，并且 AA' = BB' = CC' = DD'.求证：四边形 A'B'C'D' 是正方形
证明 ∵ 四边形 ABCD 是正方形，∴ AB = BC = CD = DA ，∠A = ∠B =∠C =∠D = 90°.又 ∵ AA' = BB' = CC' = DD'，∴ D'A = A'B = B'C = C'D.∴ Rt△AA'D' ≌Rt△BB'A' .
∴ D'A' = A'B'，∠1 = ∠3.同理：A'B' = B'C'，B'C' = C'D'，C'D' = D'A'.∴ A'B' = B'C' = C'D' = D'A'，∴ 四边形 A'B'C'D' 是菱形.∴ ∠1 = ∠3，∠1 +∠2 = 90°，∴ ∠2 +∠3 = 90°.∴ ∠D'A'B' = 90°.∴ 四边形 A'B'C'D' 是正方形.
证明：∵ DE⊥AC，DF⊥BC，∴∠DEC =∠DFC = 90°.又∵∠C = 90°，∴ 四边形 CEDF 是矩形.过点 D 作 DG⊥AB 于点 G.∵ AD 是∠CAB 的平分线，∴ DE = DG. 同理，DG = DF，∴ DE = DF.∴ 四边形 CEDF 为正方形.
例5 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A、∠B 的平分线交于点 D，DE⊥AC 于点 E，DF⊥BC 于点 F. 求证：四边形 CEDF 为正方形.
2. 一个正方形的对角线长为 2 cm，则它的面积是 （　） A. 2 cm2 B. 4 cm2 C. 6 cm2 D. 8 cm2
1. 平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（　） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．对角线互相垂直且相等
3. 在正方形 ABCD 中，∠ADB = °，∠DAC = °， ∠BOC = °.4. 在正方形 ABCD 中，E 是对角线 AC 上一点，且 AE = AB，则∠EBC 的度数是 .
5. 如图，四边形 ABCD 中，∠ABC = ∠BCD =∠CDA = 90°，请添加一个条件____________________，可得出该四边形是正方形．
AB = BC (答案不唯一)
6. 已知四边形 ABCD 是平行四边形，再从①AB = BC，②∠ABC = 90°，③AC = BD，④AC⊥BD 四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形 ABCD 是正方形，其中错误的是_____________（只填写序号）．
7. 如图，正方形 ABCD 的边长为 1 cm，AC 为对角线，AE 平分∠BAC，EF⊥AC，求 BE 的长．
解：∵ 四边形 ABCD 为正方形，∴∠B＝90°，∠ACB＝45°，AB＝BC＝1 cm.∵ EF⊥AC，∴∠EFA＝∠EFC＝90°.又∵∠ECF＝45°，∴△EFC 是等腰直角三角形. ∴ EF＝FC.∵∠B＝∠EFA＝90°，∠BAE＝∠FAE，AE＝AE，∴△ABE≌△AFE.∴ AB＝AF＝1 cm，BE＝EF. ∴ FC＝BE.在 Rt△ABC 中，∴ FC＝AC－AF＝( －1) cm. ∴ BE＝( －1) cm．