初中数学沪科版（2024）八年级下册矩形菱形正方形课前预习ppt课件

这是一份初中数学沪科版（2024）八年级下册矩形菱形正方形课前预习ppt课件，共53页。PPT课件主要包含了课本练习，分层练习，课本习题，课堂小结，学习目标，情景导入，新知探究，正方形的性质，例题讲解，知识归纳等内容，欢迎下载使用。
1. 探索并证明正方形的性质，并了解平行四边形、矩形、菱形之间的联系和 区别；(重点、难点)2．探索并证明正方形的判定，并了解平行四边形、矩形、菱形之间的联系和 区别；(重点、难点)3．会运用正方形的性质及判定条件进行有关的论证 和计算 . (难点)
观察下面图形,正方形是我们熟悉的几何图形，在生活中无处不在.
你还能举出其他的例子吗？
正方形是我们所熟悉的图形，如魔方的一个面.
用一张长方形的纸片（如图所示）折出一个正方形.
定义：有一个角是_____，且有一组邻边_____的平行四边形叫做正方形.
正方形是特殊的矩形，所以它具有矩形的性质，四个角相等，对角线相等.
正方形也是特殊的菱形，所以正方形也具有菱形的性质，即正方形的四条边相等，对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角.
正方形是轴对称图形吗？有几条对称轴？
是轴对称图形，有 4 条对称轴.
性质1：正方形的四个角都是直角，四条边都相等.
性质2：正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角.
如何判定一个四边形是正方形呢？
判定一个四边形为正方形的主要依据是定义，途径有两条：
（1）先证它是矩形，再证它有一组邻边相等；
（2）先证它是菱形，再证它有一个角为直角.
例 7 如图，点 A′，B′，C′，D′ 分别是正方形 ABCD 四条边上的点，并且 AA′ = BB′ = CC′ = DD′. 求证：四边形 A′B′C′D′ 是正方形.
证明 因为四边形ABCD是正方形，所以 AB ＝ BC ＝ CD ＝ DA.又∵ AA′ = BB′ = CC′ = DD′，∴ D′A＝A′B ＝ B′C ＝ C′D.∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝ 90°，∴△AA′D′ ≌ △BB′A′ ≌△CC′B′ ≌△DD′C′.∴A′B′ ＝ B′C′＝ C′D′＝ D′A′，即四边形 A′B′C′D′ 是菱形.
又 ∵∠1＝∠3，∠1＋∠2＝ 90°，∴∠2＋∠3＝ 90°，∴∠D′A′B′＝ 90°.所以四边形 A′B′C′D′ 是正方形.
正方形与 矩形，菱形，平行四边形的关系.
1.判断满足下列条件的四边形是不是正方形？并说明理由： （1）对角线互相垂直且相等的平行四边形.（ ） （2）对角线互相垂直的矩形.（ ） （3）对角线相等的菱形.（ ） （4）对角线互相垂直平分且相等的四边形.（ ）
2.如图是2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会会标中的图案，其中四边形ABCD和EFGH都是正方形.求证：△ABF≌△DAE.
1.有一个角是______，且有一组邻边相等的平行四边形叫做正方形.
2.正方形的四条边都______，四个角都是直角.正方形的对角线相等且互相__________.
3.有一个角是直角的______是正方形；对角线相等的______是正方形；对角线互相______的矩形是正方形.
6.下列说法错误的是( )
A.对角线相等的菱形是正方形B.对角线互相垂直的矩形是正方形C.对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形D.对角线互相垂直且平分的四边形是正方形
A.3组B.4组C.5组D.6组
1．已知矩形的两条对角线所成的钝角是120°，求证：矩形较短边长等于对角线长的一半．
2．已知：如图，在矩形 ABCD 中，AE⊥BD 于点 E．（1）若∠DAE = 2∠BAE，求∠EAC；
解：∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴∠BAD = 90°，OA = OD． ∴∠OAD =∠ODA． ∵∠DAE = 2∠BAE，∠DAE +∠BAE = 90°， ∴∠BAE = 30°，∠DAE = 60°． ∵ AE⊥BD，∴∠OAD =∠ODA = 30°． ∴∠EAC =∠DAE –∠OAD = 30°．
（2）若 BE∶ED = 1∶3，AB = 1，求 AD．
3．(1) 求证：平行四边形四个内角的平分线围成的四边形是矩形；
已知：如图，□ABCD 中，AE、BF、CG、DH 分别为四边形内角的平分线，AE 与 BF 和 DH 分别交于点 E、H，CG 与 BF、DH 分别交于点 F、G．求证：四边形 EFGH 是矩形．证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴∠DAB +∠ADC = 180°． ∵ AH、DH 平分∠DAB、∠ADC， ∴∠HAD +∠HDA = 90°，即∠EHG = 90°． 同理可得：∠HEF =∠EFG =∠FGH = 90°． ∴四边形 EFGH 是矩形．
（2）求证：矩形四个内角的平分线围成的四边形是正方形．
已知：如图，矩形 ABCD 中，AE、BE、CF、DF 分别是四个内角的平分线，E、M、F、N 是其交点．求证：四边形 EMFN 是正方形．证明：∵ AE，BE，CF，DF 分别是矩形 ABCD 四个内角的平分线， ∴∠NBC =∠NCB = 45°． ∴∠N = 180° – 45° – 45° = 90°，NB = NC. 同理，∠M =∠NEM =∠N = 90°，AE = BE． ∴四边形 EMFN 为矩形． ∵∠M =∠N，∠DAM =∠NBC = 45°，AD = BC，
∴ △DAM≌△CBN（AAS）． ∴ AM = BN． ∴ AM – AE = BN – BE，即 EM = EN． ∴四边形 EMFN 是正方形．
4．已知：在□ABCD 中，点 E，F 分别是 AB，CD 的中点，且 AF = DE，求证：□ABCD 是矩形．
证明：连接 EF． 在□ABCD 中，AB∥CD，AB = CD． ∵点 E，F 分别是 AB，CD 的中点， ∴ AE = DF，AE∥DF． ∴四边形 AEFD 是平行四边形． 又∵ AF = DE，∴□AEFD 是矩形． ∴∠BAD = 90°． ∴□ABCD 是矩形．
5．以 3 cm 和 4 cm 为两条邻边画一个矩形，并求它的对角线长．
6．从菱形的钝角顶点向对边引垂线，如果垂线平分对边，求菱形的钝角度数．
解：如图，在菱形 ABCD 中，CD = BC，∠ABC =∠ADC，BE⊥CD，CE = DE． 连接 BD． 则 BC = BD = CD，即△BCD 是等边三角形． ∴∠C = 60°． ∴∠ABC =∠ADC = 180° – ∠C = 120°，即菱形的钝角度数为 120°．
7．在菱形 ABCD 中，AC = 6 cm，BD = 8 cm，求平行线 AB 与 CD 之间的距离．
8．求证：依次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形.
9．已知：在□ABCD 中，∠BAC =∠DAC，求证：□ABCD是菱形．
证明：在□ABCD 中，AD∥BC， ∴∠DAC =∠BCA． ∵∠BAC =∠DAC， ∴∠BAC =∠BCA． ∴ AB = CB． ∴□ABCD是菱形．
10．以 3 cm 为边画菱形，使菱形的一个内角为60°．
解：如图，菱形 ABCD 即为所求，其中∠A = 60°.
11．已知：如图，两条等宽的长纸条倾斜地重叠着，求证：重叠部分为菱形．
证明：根据题意得 AD∥BC，AB∥CD， ∴四边形 ABCD 是平行四边形． 设 BC，CD 边上的高分别为 h1，h2， ∵两纸条宽度相同，∴ h1 = h2． ∵平行四边形 ABCD 的面积为 BC·h1 = CD·h2， ∴ BC = CD． ∴平行四边形 ABCD 为菱形．
12．已知：如图，点 D 是 Rt△ABC 的斜边 BC 的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是点 E，F，且 BF = CE.求证：四边形 AEDF 为正方形.
证明：∵DE⊥AC，DF⊥AB， ∴∠AFD =∠AED =∠A = 90°． ∴四边形 AEDF 为矩形． ∵点 D 是 BC 边上的中点，∴ BD = CD． 又∵ BF = CE，∴ Rt△BDF≌Rt△CDE（HL）. ∴ DF = DE． ∴矩形 AEDF 为正方形．
3.对角线相等且互相垂直平分
有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
一个角是直角且一组邻边相等
平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结