沪科版（2024）15.4 等腰三角形习题

这是一份沪科版（2024）15.4 等腰三角形习题，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，作图题，综合题，解答题，阅读理解等内容，欢迎下载使用。
1.已知：在△ABC中，AB≠AC，求证：∠B≠∠C．若用反证法来证明这个结论，可以假设（ ）
A . ∠A=∠B B . AB=BC C . ∠B=∠C D . ∠A=∠C
2.一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠1=50°，则∠2+∠3=（ ）
A . 190° B . 130° C . 100° D . 80°
3.图1的长方形ABCD中，E点在AD上，且BE=2AE．今分别以BE、CE为折线，将A、D向BC的方向折过去，图2为对折后A、B、C、D、E五点均在同一平面上的位置图．若图2中，∠AED=15°，则∠BCE的度数为何？（ ）
A . 30 B . 32.5 C . 35 D . 37.5
4.将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形ABCD，转动这个四边形，使它形状改变，当 ∠B=90° 时，如图1，测得AC=2，当 ∠B=60° 时，如图2，则AC的值为（ ）

A . 22 B . 6 C . 2 D .2
5.若a，b，c分别是 △ ABC的三边长，且满足a 2﹣2ab+b 2＝0，b 2﹣c 2＝0，则 △ ABC的形状是（ ）
A . 直角三角形
B . 钝角三角形
C . 等腰直角三角形
D . 等边三角形
6.已知线段a，求作等边三角形ABC，使AB=a，作法如下：①作射线AM；②连结AC、BC；③分别以点A和点B为圆心，以a的长为半径作圆弧，两弧交于点C；④在射线AM上截取AB，使AB=a．其合理顺序为（ ）
A . ①②③④ B . ①④②③ C . ①④③② D . ②①④③
7.有3cm，3cm，6cm，6cm，12cm，12cm的六条线段，任选其中的三条线段组成一个等腰三角形，则最多能组成等腰三角形的个数为（ ）
A . 1 B . 2 C . 3 D . 4
8.下列命题：①等腰三角形的角平分线、底边中线、高线三线合一；②有一个外角等于120°的等腰三角形是等边三角形；③等腰三角形的一边长为3，另一边为7，则它的周长为13或17；④轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.其中正确的有（ ）
A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个
二、填空题
1.腰长为10，高为6的等腰三角形的底边长为 ________ ．
2.定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若点D是斜边AB的中点，则CD＝ 12AB，运用：如图2，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3，点D是BC的中点，将△ABD沿AD翻折得到△AED连接BE，CE，DE，则CE的长为 ________ ．
3.某市在“文明卫生城市”创建中，计划在一块如图所示的△ABC空地上种植草皮以美化环境，已知∠B=150°，这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要 ________ 元.
4.我们把对角线互相垂直且相等的四边形称为“和谐四边形”．如图，在平面直角坐标系 xOy中，已知 A0,4 ， B4,0两点， C是线段 AB上一点，且 AC=2 ， 点 Pa,b是直线 y=−12x上的动点，若在 △OAB内部（不包含边界）始终有一点 Q ， 使得四边形 APQC为“和谐四边形”，则 a的取值范围是 ________ ．
5.有一三角形纸片ABC，∠A=80°，点D是AC边上一点，沿BD方向剪开三角形纸片后，发现所得两纸片均为等腰三角形，则∠C的度数可以是 ________
6.底角为30°，腰长为a的等腰三角形的面积是 ________
7.在螳螂的示意图中， AB∥DE ， △ABC是等腰三角形， ∠ABC=126°，∠CDE=72° ， 则 ∠ACD的度数是 ________ ．

8.如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东 45°方向，距离灯塔 502海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东 30°方向上的B处，这时B处与灯塔P的距离为 ________ 海里．
9.如图，在锐角 △ABC中， AB=6，BC=8,∠ACB=45° ， 点E为线段 AB中点，点P为线段 AC上的动点，将 △ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到 △A1BC1 ， 点P的对应点是点 P1 ， 在旋转的过程中，线段 EP1长度最小值是 ________ ．

三、作图题
1.在如图所示的4×4方格图中，点A，B，C，D，E，F，G，H均在小方格的顶点上。以其中三个点为顶点，能构成多少个等腰三角形?
2.某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造，测得两直角边长分别为 6 m 、 8 m ．现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以 8 m 为一个直角边长的直角三角形，请在下面三张图上分别画出三种不同的扩建后的图形，并求出扩建后的等腰三角形花圃的面积．
3.如图，正方形网格中每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，现以点A、B、C、D、E这5个格点中的3点为顶点画三角形．
（1） 在图①中画一个等腰三角形，要求顶角不是直角；
（2） 在图②中画一个直角三角形，要求两直角边不相等；
（3） 在图③中画一个等腰直角三角形．
4.定义：如果1条线段将一个三角形分割成2个等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“双等腰线”．如果2条线段将一个三角形分割成3个等腰三角形，我们把这2条线段叫做这个三角形的“三等腰线”．如图1，线段 BD将顶角为 36∘的等腰三角形 ABC分成了两个等腰三角形，则线段 BD是 △ABC的“双等腰线”；线段 BD ， CE将顶角为 36∘的等腰三角形 ABC分成了三个等腰三角形，则线段 BD,CE是 △ABC的“三等腰线”．
（1） 请在图2中，作出 △ABC的“双等腰线”，并标出分成的等腰三角形的底角的度数：
① ∠A=20∘ ， ∠B=40∘；
② ∠A=67.5∘,∠C=90∘ ．
（2） 请在图3中，画出顶角为 45∘的等腰三角形 ABC的“三等腰线”，并标出每个等腰三角形顶角的度数（画出一种即可）；
（3） 画图和计算：在 △ABC中， ∠C=25.5∘ ， 点 D在 BC边上，点 E在 AB边上， AD和 DE是 △ABC的“三等腰线”，且 AD=CD,BE=DE ， 请试画出示意图，并求 ∠B的度数．
四、综合题
1.在等边 ΔABC 中，线段 AM 为 BC 边上的中线.动点 D 在直线 AM 上时，以 CD 为一边在 CD 的下方作等边 ΔCDE ，连结BE.
（1） 若点 D 在线段 AM 上时（如图），则 AD ________ BE （填“＞”、“＜”或“=”）， ∠CAM＝ ________ 度；
（2） 设直线BE与直线 AM 的交点为O.
①当动点 D 在线段 AM 的延长线上时（如图），试判断 AD 与 BE 的数量关系，并说明理由；

②当动点 D 在直线 AM 上时，试判断 ∠AOB 是否为定值？若是，请直接写出 ∠AOB 的度数；若不是，请说明理由.
2.“新冠肺炎”疫情牵动着14亿中华儿女的心，渠县人民政府积极响应国家号召，及时对广大人民群众进行疫情防控宣传.如图，一笔直公路MN，村庄A到公路MN的距离为600 m，若在宣传车P方圆1000 m以内能听到广播宣传，那么宣传车P在公路MN上沿MN方向行驶时：
（1） 村庄能否听到宣传？请说明理由.
（2） 如果能听到，已知宣传车的速度是200 m/min，那么村庄总共能听到多长时间的宣传？
3.已知：平面直角坐标系中，点A（a，b）的坐标满足|a－b|＋b 2－8b＋16＝0.
（1） 如图1，求证：OA平分∠xOy；
（2） 如图2，过A作OA的垂线，交x轴正半轴于点B，点M、N分别从O、A两点同时出发，在线段OA上以相同的速度相向运动（不包括点O和点A），过A作AE⊥BM交x轴于点E，连BM、NE，猜想∠ONE与∠NEA之间有何确定的数量关系，并证明你的猜想.
4.问题背景：我们学习等边三角形时得到直角三角形的一个性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．即：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，则：AC= 12 AB．
探究结论：小明同学对以上结论作了进一步研究．
（1） 如图1，连接AB边上中线CE，由于CE= 12 AB，易得结论：
①△ACE为等边三角形；
②BE与CE之间的数量关系为 ________ ．
（2） 如图2，点D是边CB上任意一点，连接AD，作等边△ADE，且点E在∠ACB的内部，连接BE．试探究线段BE与DE之间的数量关系，写出你的猜想并加以证明．
（3） 当点D为边CB延长线上任意一点时，在（2）条件的基础上，线段BE与DE之间存在怎样的数量关系？请直接写出你的结论 ________ ．
（4） 拓展应用：如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（﹣ 3 ，1），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等边△ABC，当C点在第一象限内，且B（2，0）时，求C点的坐标．
五、解答题
1.已知点A在x轴正半轴上，以OA为边作等边 △OAB，A(x，0)，其中x是方程 32−13x−1=226x−2的解．
（1）求点A的坐标；
（2）如图1，点C在y轴正半轴上，以AC为边在第一象限内作等边 △ACD，连DB并延长交y轴于点E，求 ∠BEO的度数；
（3）如图2，点F为x轴正半轴上一动点，点F在点A的右边，连接FB，以FB为边在第一象限内作等边 △FBG，连GA并延长交y轴于点H，当点F运动时， GH−AF的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求出其变化的范围．
2.如图，在平面直角坐标系 xOy中，直线l： y=kx+3分别交x轴和y轴于A，B两点，点C的坐标为 2,−1 ， 连接 BC ．
（1） 直接写出点B的坐标及直线 BC的函数表达式；
（2） 连接 AC ， 若 △ABC的面积为6，求k的值；
（3） 在第一象限内的直线 AB上取一点D，连接 CD ， 当 △BCD是等腰直角三角形时，求点D的坐标．
3.如图，李明同学想测量泸州白塔 CD的高度，他在A处测得 ∠CAD=15° ， 再往前行进 60m到达B处，此时测得 ∠CBD=30° ， 点A，B，D在同一条直线上，请根据测得的数据，求泸州白塔 CD的高度．
六、阅读理解
1.阅读下列题目的解题过程：
已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4 ， 试判断△ABC的形状．
解：∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4 （A）
∴c2（a2﹣b2）=（a2+b2）（a2﹣b2） （B）
∴c2=a2+b2 （C）
∴△ABC是直角三角形
问：
（1） 上述解题过程，从哪一步开始出现不符合题意？请写出该步的代号： ________ ；
（2） 错误的原因为： ________ ；
（3） 本题正确的结论为： ________ ．
2.先阅读理解，
（1） 再解答：如图（1），对于矩形（即：有一个角是直角的平行四边形） ABCD ， 对角线相交于点 E ， 因其有“对角线相等”，“对角线互相平分”，“四个角都是直角”的性质，所以我们可以得出一个结论：“直角三角形斜边上的中线等于 ________ 的一半”．用数学符号表示为：如图（2），在 RtΔABD中， ∠BAD=90° ， 点 E是斜边 BD上的中点，则 AE= ________ = ________ = ________ ．
（2） 如下图，在 ΔABC中， ∠A=60° ， BE⊥AC ， 垂足为 E ， CF⊥AB ， 垂足为 F ， 点 D是 BC的中点，BE， CF交于点 G ．
①如图1， ΔABC是直角三角形，即若 ∠ACB=90° ， 求证： ΔDEF是等边三角形；
②如图2，3， ΔABC分别是锐角三角形和钝角三角形，试猜想 ΔDEF是不是等边三角形？如果 ΔDEF是等边三角形，请加以证明：如果 ΔDEF不是等边三角形，请说明理由（请选择其中一种情形进行解答）；
（3） 在图2，3中，如果 CG=4 ， FG=6 ， 分别求 BE的长度．
3.在学习乘法公式 (a±b)2=a2±2ab+b2的运用时，我们常用配方法求最值．
例如：求代数式 x2+4x+5的最小值．总结出如下解答方法：
解：x2+4x+5=x2+4x+4+1=(x+2)2+1
∵ (x+2)2≥0，∴当 x=−2时， (x+2)2的值最小，最小值是0，
∴ (x+2)2+1≥1，∴当 x=−2时， (x+2)2+1的值最小，最小值是1，
∴ x2+4x+5的最小值是1．
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
（1） 填空： m2+8m+_=(m+4)2；
（2） 若 y=x2+2x−3 ， 当 x= 时，y有最 值（填“大”或“小”），这个值是 ；
（3） 已知a、b、c是 △ABC的三边长，满足 a2+b2=12a+8b−52 ， 且c的值为代数式 −x2+6x−5的最大值，判断 △ABC的形状，并说明理由．