15.4.3等腰三角形的判定-2025-2026学年2024沪科版数学八年级上册教学课件

15.4.3 等腰三角形的判定幻灯片 1：封面标题：15.4.3 等腰三角形的判定副标题：从 “角等” 到 “边等” 的逆向推理 —— 等腰三角形的识别方法配图：包含判定定理示意图（∠B=∠C→AB=AC）、多场景判定实例（角平分线 + 平行线、垂直平分线 + 点）、性质与判定对比表署名：授课教师：XXX 日期：2025 年 9 月幻灯片 2：情境导入（从性质到判定的逆向思考）一、生活中的判定需求木工加工：制作等腰三角形相框时，工人只需测量两个底角是否相等，即可判断相框的两条腰是否等长（无需直接测量边长）；土地测量：测量三角形地块是否为等腰三角形时，若测得两个内角相等，可快速判定其为等腰三角形（适用于不便测量边长的场景）；建筑设计：设计等腰三角形屋顶时，通过确保屋顶的两个底角相等，可保证两侧的腰长一致，满足对称要求。二、回顾与疑问上节课学习等腰三角形的性质：“等边对等角”（边等→角等），那么反之，“角等→边等” 是否成立？除了 “角等”，还有哪些条件可判定一个三角形为等腰三角形（如线段垂直平分线、“三线合一” 逆用）？如何区分 “等腰三角形的性质” 与 “判定”？（性质：已知等腰→推边角关系；判定：未知等腰→证其为等腰）引出主题：本节课将系统探究等腰三角形的判定方法，重点推导 “等角对等边” 定理，梳理多场景判定策略，辨析判定与性质的逻辑关系，掌握等腰三角形的识别与证明技巧。幻灯片 3：教学目标与重难点一、教学目标知识与技能理解并证明等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简记为 “等角对等边”）；掌握等腰三角形的其他判定方法（如线段垂直平分线性质、“三线合一” 逆用）；能运用判定定理解决 “证线段相等”“判定三角形形状”“构造等腰三角形” 等问题；辨析等腰三角形的性质与判定，明确 “性质→已知等腰，判定→未知等腰” 的应用边界。过程与方法通过 “逆向猜想→实验验证→严谨证明→变式应用” 的过程，培养逻辑推理与逆向思维能力；经历 “多条件判定” 的探究，体会 “从不同角度识别同一图形” 的数学思想。情感态度与价值观感受数学定理的双向性（性质与判定互逆），体会逻辑推理的严谨性；在复杂问题解决中，培养 “灵活选择判定方法” 的思维习惯，提升几何解题的灵活性。二、教学重难点重点：等腰三角形的判定定理（等角对等边）及其应用；难点：判定定理的证明（添加辅助线构造全等三角形）；多条件下判定方法的选择（如 “角等”“垂直平分线”“三线合一” 逆用的优先顺序）；等腰三角形性质与判定的综合应用（如先判定为等腰，再用性质推导边角关系）。幻灯片 4：知识点 1—— 等腰三角形的判定定理（等角对等边）一、定理推导（性质定理的逆命题）1. 逆命题猜想等腰三角形性质定理（等边对等角）的逆命题：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简记为 “等角对等边”）。2. 图形与符号表示已知：在△ABC 中，∠B=∠C。求证：AB=AC。3. 证明过程（添加辅助线构造全等）方法 1：作顶角的平分线 AD证明：作∠BAC的平分线AD，交BC于D（辅助线作法）。∴ ∠BAD = ∠CAD（角平分线定义）。在△ABD和△ACD中：$\begin{cases} ∠BAD = ∠CAD（已证）， \\ ∠B = ∠C（已知）， \\ AD = AD（公共边）， \end{cases}$∴ △ABD ≌ △ACD（AAS全等判定）。∴ AB = AC（全等三角形的对应边相等）。方法 2：作底边的高 AD证明：作AD⊥BC于D（辅助线作法），∴ ∠ADB = ∠ADC = 90°（垂直定义）。在△ABD和△ACD中：$\begin{cases} ∠B = ∠C（已知）， \\ ∠ADB = ∠ADC（已证）， \\ AD = AD（公共边）， \end{cases}$∴ △ABD ≌ △ACD（AAS全等判定）。∴ AB = AC（全等三角形的对应边相等）。二、定理解读与关键注意“角等” 与 “边等” 的对应关系：定理中 “相等的边” 是 “相等的角所对的边”，而非任意边（如∠B=∠C→AB=AC，而非 AB=BC）；定理的普遍性：适用于所有三角形（锐角、直角、钝角三角形均可），只要有两个角相等，即可判定为等腰三角形；与性质定理的互逆关系：性质定理：AB=AC→∠B=∠C（边等→角等，已知等腰）；判定定理：∠B=∠C→AB=AC（角等→边等，未知等腰）。三、即时小练（基础应用）在△ABC 中，∠A=50°，∠B=65°，则△ABC 是______三角形（答案：等腰，因∠C=180°-50°-65°=65°=∠B→AB=AC）；在△ABC 中，∠A=∠C=45°，则 AB=______（答案：BC，因∠A=∠C→AB=BC）。幻灯片 5：知识点 2—— 等腰三角形的其他判定方法除了 “等角对等边”，还可通过以下方法判定等腰三角形，均基于已学几何性质推导：方法 1：利用线段垂直平分线的性质判定依据：∵ DE∥BC（已知），∴ ∠EDB = ∠CBD（两直线平行，内错角相等）。∴ ∠EBD = ∠EDB（等量代换）。∴ BE = DE（等角对等边）。∴ △BDE是等腰三角形（等腰三角形定义）。规律总结：角平分线 + 平行线→等腰三角形（角平分线分得的角与平行线形成的内错角 / 同位角相等，触发 “等角对等边”）。场景 2：利用垂直平分线判定等腰三角形例题 2：如图，在平面直角坐标系中，点 A (2, 3)，B (-2, 1)，线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于 C，求证：△ABC 是等腰三角形。证明过程：证明：∵ 点C在线段AB的垂直平分线上（已知），∴ CA = CB（线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等）。∴ △ABC是等腰三角形（等腰三角形定义）。关键：无需计算坐标，直接利用垂直平分线性质得边等，快速判定等腰。场景 3：含公共边的多三角形等腰判定例题 3：如图，在△ABC 中，AB=AC，D 是 AB 上一点，DE⊥BC 于 E，ED 的延长线交 CA 的延长线于 F，求证：△ADF 是等腰三角形。证明过程：证明：∵ AB=AC（已知），∴ ∠B = ∠C（等腰三角形性质1）。∵ DE⊥BC（已知），∴ ∠DEB = ∠DEC = 90°（垂直定义）。∴ ∠BDE = 90° - ∠B，∠F = 90° - ∠C（直角三角形两锐角互余）。∵ ∠B = ∠C（已证），∴ ∠BDE = ∠F（等量代换）。又∵ ∠BDE = ∠ADF（对顶角相等），∴ ∠F = ∠ADF（等量代换）。∴ AD = AF（等角对等边）。∴ △ADF是等腰三角形（等腰三角形定义）。关键：通过角度转化（直角三角形锐角互余、对顶角相等），推导∠F=∠ADF，触发 “等角对等边”。幻灯片 7：知识点 4—— 性质与判定的综合应用（双向推理）核心逻辑：“先判定，后用性质”在复杂几何问题中，常需先通过判定定理证明三角形为等腰三角形，再利用等腰三角形的性质（如等边对等角、三线合一）推导后续结论，形成 “判定→性质” 的完整推理链。例题 4：如图，在△ABC 中，∠ABC=∠ACB，BD、CE 分别是∠ABC、∠ACB 的平分线，求证：BD=CE。推理过程：第一步：判定等腰三角形已知∠ABC=∠ACB→AB=AC（等角对等边），故△ABC 是等腰三角形；第二步：利用等腰性质推导角等由 AB=AC→∠ABC=∠ACB（等边对等角，虽已知，但可强化逻辑）；BD、CE 是角平分线→∠ABD=½∠ABC，∠ACE=½∠ACB→∠ABD=∠ACE；第三步：证明三角形全等得边等在△ABD 和△ACE 中：\(\begin{cases} AB=AC（已证）， \\ ∠A=∠A（公共角）， \\ ∠ABD=∠ACE（已证）， \end{cases}\)∴ △ABD≌△ACE（ASA）→BD=CE；总结：本题先通过 “等角对等边” 判定△ABC 为等腰，再利用等腰性质得角等，最终结合全等证 BD=CE，体现 “判定与性质” 的协同应用。幻灯片 8：课堂互动（分组探究与辨析）任务 1：判定方法的选择与优化题目：已知：在△ABC 中，AD 平分∠BAC，且 AD∥BC，求证：AB=AC。要求：4 人一组，分别用 “等角对等边” 和 “三线合一逆用” 两种方法证明；方法 1（等角对等边）：AD 平分∠BAC→∠BAD=∠CAD；AD∥BC→∠CAD=∠C，∠BAD=∠B→∠B=∠C→AB=AC；方法 2（三线合一逆用）：先证 AD 是角平分线且 AD∥BC→∠B=∠C→AB=AC（本质仍用等角对等边）；对比两种方法，总结 “等角对等边” 在角关系明确时的优先性。任务 2：易错辨析训练题目：判断下列推理是否正确，并说明理由：“在△ABC 中，∠A=50°，∠B=50°，则 BC=AC”（√，∠A=∠B→BC=AC，等角对等边，注意边与角的对应）；“若△ABC 中，AD 是 BC 边上的高，则 AB=AC”（×，仅高不能判定等腰，需结合中线或角平分线）；“在△ABC 中，AB=BC，∠A=60°，则△ABC 是等边三角形”（√，先判定等腰，再用有一个角为 60° 的等腰三角形是等边三角形）；要求：结合判定定理的条件，逐一分析错误原因，强化 “对应关系” 和 “充分条件” 意识。幻灯片 9：中考真题演练（能力提升）题目 1（2024・江苏中考）如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，AD 平分∠BAC，交 BC 于 D，求证：BD=2CD。证明过程：证明：1. ∵ ∠C=90°，∠B=30°（已知）， ∴ ∠BAC=60°（直角三角形两锐角互余）。2. ∵ AD平分∠BAC（已知）， ∴ ∠BAD=∠CAD=30°（角平分线定义）。3. ∵ ∠BAD=∠B=30°（已证）， ∴ AD=BD（等角对等边，△ABD是等腰三角形）。4. 在Rt△ACD中，∠CAD=30°（已证）， ∴ AD=2CD（直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半）。5. ∵ AD=BD（已证）， ∴ BD=2CD（等量代换）。题目 2（2024・浙江中考）如图，在△ABC 中，AB=AC，D 是 BC 延长线上一点，E 是 AC 上一点，且 CE=CD，求证：∠A=2∠CDE。证明过程：证明：1. ∵ AB=AC（已知）， ∴ ∠B=∠ACB（等腰三角形性质1）。 设∠B=∠ACB=x，则∠A=180°-2x（三角形内角和）。2. ∵ CE=CD（已知）， ∴ ∠CDE=∠CED（等角对等边，△CDE是等腰三角形）。3. ∵ ∠ACB是△CDE的外角（已知）， ∴ ∠ACB=∠CDE+∠CED=2∠CDE（三角形外角性质）。4. ∴ x=2∠CDE（等量代换）， ∴【2024新教材】沪科版数学 八年级上册 授课教师： . 班 级： . 时 间： . 1.理解等腰三角形的判定方法的证明过程; (重点）2.掌握等腰三角形的判定定理及它的两个推论，能运用定理和推论进行简单的推理和计算；（重点、难点）3.通过定理的证明和应用，初步了解转化思想，并培养学生逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力．（难点）学习目标 在△ABC 中，AB = AC，倘若不留神，它的一部分被墨水涂没了，只留下一条底边 BC 和一个底角∠C，请问，有没有办法把原来的等腰三角形画出来？ABCA新课导入 已知：如图，在△ABC 中，∠B =∠C，那么它们所对的边 AB 和 AC 有什么数量关系?建立数学模型： 做一做：画一个△ABC，其中∠B =∠C = 30°，请你量一量 AB与 AC 的长度，它们之间有什么数量关系？你能得出什么结论？AB = AC你能验证你的结论吗？等腰三角形的判定新课讲解在△ABD 与△ACD 中，∠1 =∠2，∴ △ABD≌△ACD(AAS).∠B =∠C，AD = AD，∴ AB = AC.过 A 作 AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D.证明：则∠1 =∠2.新课讲解∴ AC = AB ( )，即△ABC 为等腰三角形.∵∠B =∠C ( )，等腰三角形的判定方法有两个角相等的三角形是等腰三角形.“等角对等边”已知等角对等边在△ABC 中， 应用格式：((这又是一个判定两条线段相等的根据之一.要点归纳(等角对等边).(等角对等边).错，因为两角都不是在同一个三角形中. 辨一辨：如图，下列推理正确吗? 新课讲解例1 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形． 已知：如图，∠CAE 是△ABC 的外角，∠1 =∠2，AD∥BC． 求证：AB = AC． 证明：∵AD∥BC，∴∠1 =∠B (两直线平行，同位角相等)， ∠2 =∠C (两直线平行，内错角相等)．又∵∠1 =∠2，∴∠B =∠C.∴ AB = AC (等角对等边)． 例题讲解例2 已知：如图，AB = DC，BD = CA，BD 与 CA 相交于点 E. 求证：△AED 是等腰三角形.证明：∵AB = DC，BD = CA，AD = DA，∴△ABD≌△DCA (SSS).∴∠ADB =∠DAC (全等三角形的对应角相等).∴AE = DE (等角对等边).∴ △AED 是等腰三角形.例题讲解例3 已知：如图，AD∥BC，BD 平分∠ABC.求证：AB = AD.证明：∵ AD∥BC， ∴∠ADB =∠DBC. ∵ BD 平分∠ABC， ∴∠ABD =∠DBC. ∴∠ABD =∠ADB. ∴ AB = AD.方法总结：平分角 + 平行 = 等腰三角形.例题讲解∴∠EDB =∠EBD.∴ BE = DE，即△EBD 是等腰三角形. 如图，把一张长方形的纸沿着对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？变式训练 解：是的.由折叠可知，∠EBD =∠CBD.∵AD∥BC，∴∠EDB =∠CBD.新课讲解练一练：1. 在△ABC 中，∠A 和∠B 的度数如下，能判定 △ABC 是等腰三角形的是（ ）A. ∠A＝50°，∠B＝70° B. ∠A＝70°，∠B＝40°C. ∠A＝30°，∠B＝90° D. ∠A＝80°，∠B＝60°B2. 如图，已知 OC 平分∠AOB，CD∥OB，若 OD＝3 cm，则CD 的长为______.3 cm新课讲解例4 如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD 是 AB 边上的高，AE 是∠BAC 的平分线，AE 与 CD 交于点 F，求证：△CEF 是等腰三角形．证明：在△ABC 中，∵∠ACB＝90°，∴∠B＋∠BAC＝90°.∵ CD 是 AB 边上的高，∴∠ACD＋∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACD.∵ AE 是∠BAC 的平分线，∴∠BAE＝∠EAC.∴∠B＋∠BAE＝∠ACD＋∠EAC，即∠CEF＝∠CFE.∴ CE＝CF，即△CEF 是等腰三角形．例题讲解方法总结：“等角对等边”是判定等腰三角形的重要依据，是先有角相等再有边相等，只限于在同一个三角形中，若在两个不同的三角形中，此结论不一定成立．新课讲解推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形.推论2：有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形.由等腰三角形的判定定理可以直接得到：等边三角形的判定 为什么？↗新课讲解证明推论2：有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形.证明：如图，在等腰三角形 ABC 中，AB = AC.由三角形内角和定理得：∠A +∠B +∠C = 180°.若顶角∠A = 60°，则∠B +∠C = 180° - 60° = 120°.又 AB = AC，∴∠B =∠C.∴∠B =∠C =∠A = 60°.∴△ABC 是等边三角形.如果是底角∠B = 60°(或∠C = 60°) 呢？新课讲解辩一辩：根据条件判断下列三角形是否为等边三角形.不是是是是是不一定是新课讲解辩一辩：根据条件判断下列三角形是否为等边三角形.不是是是是是不一定是新课讲解例5 如图，在等边三角形 ABC 中，DE∥BC. 求证：△ADE 是等边三角形.证明：∵△ABC 是等边三角形，∴∠A = ∠B = ∠C.∵ DE∥BC，∴∠ADE =∠B，∠AED =∠C.∴∠A =∠ADE =∠AED .∴△ADE 是等边三角形.想一想：本题还有其他证法吗？例题讲解证明：∵△ABC 是等边三角形，∴∠A =∠ABC =∠ACB = 60°．∵ DE∥BC，∴∠ABC =∠ADE， ∠ACB =∠AED.∴∠A =∠ADE =∠AED.∴△ADE 是等边三角形.变式1　若点 D、E 分别在边 AB、AC 的延长线上，且 DE∥BC，结论还成立吗？ 新课讲解变式2 上题中，若将条件 DE∥BC 改为 BD = CE，△ADE 还是等边三角形吗? 试说明理由.证明：∵△ABC 是等边三角形，∴∠A = 60°，AB = AC.∵ BD = CE，∴ AB－BD = AC－CE，即 AD = AE.又∵∠A = 60°，∴△ADE 是等边三角形.新课讲解变式3　已知：如图，△ABC 是等边三角形，点 D，E 分别在边 BA，CA 的延长线上，且 AD = AE．求证：△ADE 是等边三角形．证明：∵△ABC 是等边三角形，∴∠BAC =∠B =∠C = 60°．∴∠EAD =∠BAC = 60°.又 AD = AE，∴△ADE 是等边三角形．新课讲解例6 等边△ABC 中，点 P 在△ABC 内，点 Q 在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ 是什么形状的三角形？试证明你的结论．解：△APQ 为等边三角形．证明如下：∵△ABC 为等边三角形，∴ AB＝AC，∠BAC＝60°.∵ BP＝CQ，∠ABP＝∠ACQ， ∴△ABP≌△ACQ (SAS).∴ AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ.∵∠BAC＝∠BAP＋∠PAC＝60°，∴∠PAQ＝∠CAQ＋∠PAC＝60°.∴△APQ 是等边三角形.例题讲解方法总结：判定一个三角形是等边三角形有以下方法：一是证明三角形三条边相等；二是证明三角形三个内角相等 (或两个内角等于 60°)；三是先证明三角形是等腰三角形，再证明有一个内角 等于 60°.新课讲解证明：∵ △ABC 为等边三角形，且 AD = BE = CF，∴ AF = BD = CE，∠A =∠B =∠C = 60°.∴△ADF≌△BED≌△CFE（SAS）.∴ DF = ED = FE.∴△DEF 是等边三角形.针对训练：如图，等边△ABC 中，D、E、F 分别是各边上的点，且 AD = BE = CF．求证：△DEF 是等边三角形．新课讲解1.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE 分别是∠ABC、∠BCD 的角平分线，则图中的等腰三角形有(　　)A．5 个 B．4 个 C．3 个 D．2 个A2.一个三角形的一个外角为 130°，且它恰好等于一个不相邻的内角的 2 倍.这个三角形是（ ）A．钝角三角形 　 B．直角三角形 　C．等腰三角形 　 D．等边三角形C课堂练习3.如图，已知∠A = 36°，∠DBC = 36°，∠C = 72°，则∠DBC = _____，∠BDC = _____，图中的等腰三角形有_______________________.36°72°△ABC、△DBA、△BCD课堂练习4. 如图，△ABC 和△ADE 都是等边三角形，已知△ABC 的周长为 18 cm，EC = 2 cm，则△ADE 的周长是 .12 cm5. 如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点 E，过点 E 作 MN∥BC 交 AB 于 M，交 AC 于 N，若 BM＋CN＝9，则线段 MN 的长为_____.9第 6 题图第 7 题图课堂练习6. 已知：如图，四边形 ABCD 中，AB＝AD，∠B＝∠D. 求证：BC＝CD.证明：连接 BD.∵ AB = AD，∴∠ABD =∠ADB.∵∠ABC =∠ADC，∴∠ABC - ∠ABD =∠ADC -∠ADB，即∠CBD = ∠CDB.∴ BC = CD.课堂练习 在△ABC 中，AB = AC，倘若不留神，它的一部分被墨水涂没了，只留下一条底边 BC 和一个底角∠C，请问：有没有办法把原来的等腰三角形画出来？ABC解：3 种“补画”方法： 方法1：量出∠C 度数，画出∠B＝∠C， ∠B 与∠C 的边相交得到顶点 A． 方法2：作 BC 边上的垂直平分线，与 ∠C 的一边相交得到顶点 A． 方法3：对折．拓展提升 课堂练习知识点1 等腰三角形的判定（第1题） DA. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 返回（第2题） 80 返回        返回知识点2 等边三角形的判定 D  返回 2  返回      返回知识点3 含30°角的直角三角形的性质（第7题） AA. 8 B. 7 C. 6 D. 5 返回等腰三角形的判定等角对等边注意是指同一个三角形中推论1.三个角都相等的三角形是等边三角形.2.有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形.课堂小结必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！