初中数学沪科版（2024）八年级上册（2024）15.4 等腰三角形第3课时教学设计

这是一份初中数学沪科版（2024）八年级上册（2024）15.4 等腰三角形第3课时教学设计，共5页。教案主要包含了情境导入，合作探究，板书设计等内容，欢迎下载使用。
素养目标
1.领会等腰三角形，等边三角形的判定方法，培养合情推理的能力.
2.能够运用等腰三角形与等边三角形判定方法解答相关问题.
重点：掌握等腰三角形，等边三角形的判定定理.
难点：判定定理的应用，几何思维的形成.
教学过程
一、情境导入
某地质专家为估测一条东西流向河流的宽度，选择河流北岸上一棵树（A点）为目标，然后在这棵树的正南方南岸B点插一小旗作标志，沿南偏东60度方向走一段距离到C处时，测得∠ACB为30度，这时，地质专家测得BC的长度是50米，就可知河流宽度是50米.
同学们，你们想知道这样估测河流宽度的根据是什么吗？他是怎么知道BC的长度是等于河流宽度的呢？今天我们就要学习等腰三角形的判定.
二、合作探究
探究点一：等腰三角形的判定
【类型一】 判定一个三角形是等腰三角形
如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AE是∠BAC的平分线，AE与CD交于点F，求证：△CEF是等腰三角形.
解析：根据直角三角形两锐角互余求得∠ABE＝∠ACD，然后根据三角形外角的性质求得∠CEF＝∠CFE，根据等角对等边可得CE＝CF，从而可得△CEF是等腰三角形.
证明：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，
∴∠B＋∠BAC＝90°.
∵CD是AB边上的高，
∴∠ACD＋∠BAC＝90°.
∴∠B＝∠ACD.
∵AE是∠BAC的平分线，∴∠BAE＝∠EAC.
∴∠B＋∠BAE＝∠ACD＋∠EAC，即∠CEF＝∠CFE.
∴CE＝CF.
∴△CEF是等腰三角形.
方法总结：“等角对等边”是判定等腰三角形的重要依据，是先有角相等再有边相等，只限于在同一个三角形中，若在两个不同的三角形中，此结论不一定成立.
【类型二】 等腰三角形性质和判定的综合运用
如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE.
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A＝50°时，求∠DEF的度数.
解析：（1）根据等边对等角可得∠B＝∠C，利用“SAS”证明△BDE和△CEF全等，根据全等三角形对应边相等可得DE＝EF，再根据等腰三角形的定义证明即可；（2）根据全等三角形对应角相等可得∠BDE＝∠CEF，然后求出∠BED＋∠CEF＝∠BED＋∠BDE，再利用三角形的内角和定理和平角的定义求出∠B＝∠DEF.
（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
在△BDE和△CEF中，∵BD＝CE，∠B＝∠C，BE＝CF，
∴△BDE≌△CEF（SAS）.∴DE＝EF.∴△DEF是等腰三角形.
（2）解：∵△BDE≌△CEF，∴∠BDE＝∠CEF.
∴∠BED＋∠CEF＝∠BED＋∠BDE.
∵∠B＋∠BDE＝∠DEF＋∠CEF，∴∠B＝∠DEF.
∵∠A＝50°，AB＝AC，∴∠B＝12×（180°－50°）＝65°.
∴∠DEF＝65°.
方法总结：等腰三角形提供了很多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段.
探究点二：等边三角形的判定
如图，在等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论.
解析：先证△ABP≌△ACQ得AP＝AQ，再证∠PAQ＝60°，从而得出△APQ是等边三角形.
解：△APQ为等边三角形.证明如下：
∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC.
在△ABP与△ACQ中，∵AB＝AC，∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，
∴△ABP≌△ACQ（SAS）.∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ.
∵∠BAC＝∠BAP＋∠PAC＝60°，∴∠PAQ＝∠CAQ＋∠PAC＝60°.∴△APQ是等边三角形.
方法总结：判定一个三角形是等边三角形有两种方法：一是证明三角形三个内角相等；二是先证明三角形是等腰三角形，再证明有一个内角等于60°.
三、板书设计
等腰三角形的判定定理及推论
等腰三角形的判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形.简称“等角对等边”
等边三角形的判定：三个角都相等的三角形是等边三角形；
有一个角是60° 的等腰三角形是等边三角形.
这一课的教学重点是等腰三角形的判定定理及应用，教学难点是等腰三角形的性质定理与判定定理的区别.学生刚刚学过等腰三角形的性质，对等腰三角形已经有了一定的了解和认识.因此在课堂教学中先引出等腰三角形的判定定理及推论，并能够灵活应用它进行有关论证和计算，提高学生的动手、归纳、猜想能力，发展学生证明用文字表述的几何命题的能力，使他们进一步掌握归纳思维方法，领会数学中分类讨论思想、转化思想.本节课的不足之处有：等边对等角与等角对等边一定要在同一个三角形中来研究，这点强调得不够.