15.4.2等腰三角形的“三线合一”-2025-2026学年2024沪科版数学八年级上册教学课件

15.4.2 等腰三角形的 “三线合一”幻灯片 1：封面标题：15.4.2 等腰三角形的 “三线合一”副标题：解构特殊线段的重合性 —— 等腰三角形的核心灵魂配图：包含 “三线合一” 动态演示图（同一线段既是中线、高，又是角平分线）、多情境应用示意图（已知中线证垂直、已知高证角平分线）署名：授课教师：XXX 日期：2025 年 9 月幻灯片 2：情境导入（从 “单一功能” 到 “多重身份”）一、生活中的 “合一” 现象建筑领域：等腰三角形屋顶的中轴线，既是屋顶的 “脊梁”（中线），也是屋顶的 “垂直支撑”（高），还平分屋顶的顶角（角平分线），实现 “一轴三用”；机械设计：等腰三角形零件的定位孔轴线，需同时满足 “平分底边”“垂直底边”“平分顶角” 三个要求，确保零件对称精度；折纸游戏：将等腰三角形纸片沿底边中线折叠，发现折痕同时垂直于底边且平分顶角，直观体现 “三线合一”。二、回顾与疑问上节课初步学习 “三线合一”：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，这一性质的本质是什么？已知等腰三角形中一条特殊线段（如中线），如何快速推导它的另外两个 “身份”（高、角平分线）？非等腰三角形中，是否存在 “三线合一” 的情况？为什么？引出主题：本节课将深入解构 “三线合一” 的内涵，通过 “定义辨析→多场景证明→综合应用→易错规避” 的逻辑，帮助你掌握 “知一推二” 的解题技巧，体会等腰三角形的对称性本质。幻灯片 3：教学目标与重难点一、教学目标知识与技能深化理解 “三线合一” 的本质：等腰三角形中，顶角平分线、底边上的中线、底边上的高是同一条线段（而非三条独立线段）；熟练掌握 “三线合一” 的多场景应用：已知 “一线”（如中线），能证明另外 “两线”（高、角平分线）；会利用 “三线合一” 添加辅助线，解决等腰三角形中的线段相等、垂直、角度计算问题；辨析 “三线合一” 的适用条件，避免在非等腰三角形中误用。过程与方法通过 “性质解构→分类证明→变式应用” 的过程，培养逻辑推理与分类讨论能力；经历 “从文字语言到符号语言” 的转化，提升几何语言的精准表达能力。情感态度与价值观感受 “三线合一” 的简洁美与对称美，体会数学性质的严谨性；在复杂问题解决中，培养 “化繁为简” 的思维习惯，提升几何解题的信心。二、教学重难点重点：“三线合一” 的多场景应用（已知一线证两线）、辅助线添加；难点：区分 “三线合一” 与 “三条独立线段”，理解其 “线段重合” 的本质；非标准图形中（如等腰三角形倒置、含辅助线）识别 “三线合一” 的适用条件；结合 “三线合一” 与全等三角形、直角三角形性质解决综合问题。幻灯片 4：知识点 1——“三线合一” 的本质内涵与符号表示一、本质解读：“一条线段，三重身份”核心认知：等腰三角形中，“三线” 并非三条不同的线段，而是同一条线段的三种不同功能描述。例如：从 “角的关系” 看，它是顶角平分线；从 “边的关系” 看，它是底边上的中线；从 “位置关系” 看，它是底边上的高。二、严格适用条件前提条件：必须是 “等腰三角形”（等边三角形作为特殊等腰三角形，同样适用）；线段位置：线段需满足 “与底边相关”（底边上的中线、高）或 “与顶角相关”（顶角平分线），腰上的中线、高或底角平分线不满足 “三线合一”。三、符号表示（精准转化）以等腰△ABC（AB=AC）为例，设线段 AD 与底边 BC 相关，三种 “知一推二” 的符号表示如下：已知 AD 是顶角平分线（∠BAD=∠CAD）：\(\Rightarrow\) AD 是 BC 边上的中线（BD=CD）且 AD 是 BC 边上的高（AD⊥BC）；已知 AD 是 BC 边上的中线（BD=CD）：\(\Rightarrow\) AD 是顶角平分线（∠BAD=∠CAD）且 AD 是 BC 边上的高（AD⊥BC）；已知 AD 是 BC 边上的高（AD⊥BC）：\(\Rightarrow\) AD 是顶角平分线（∠BAD=∠CAD）且 AD 是 BC 边上的中线（BD=CD）。四、反例辨析（非等腰三角形不适用）如图，在△ABC 中，AD 是 BC 边上的中线且 AD⊥BC，但 AB≠AC，此时 AD 是否是顶角平分线？由 AD 是中线（BD=CD）和高（AD⊥BC），可证△ABD≌△ACD（SAS），得 AB=AC，矛盾，故非等腰三角形中不存在 “三线合一”；结论：“三线合一” 是等腰三角形的专属性质，反之，若一个三角形中存在 “三线合一”，则该三角形必为等腰三角形。幻灯片 5：知识点 2——“三线合一” 的多场景证明（知一推二）场景 1：已知 “中线”，证 “高” 与 “角平分线”例题 1：已知：在△ABC 中，AB=AC，AD 是 BC 边上的中线（BD=CD），求证：AD⊥BC 且 AD 平分∠BAC。证明过程：证明：在△ABD和△ACD中，$\begin{cases} AB = AC（已知）， \\ BD = CD（AD是BC中线）， \\ AD = AD（公共边）， \end{cases}$∴ △ABD ≌ △ACD（SSS全等判定）。∴ ∠BAD = ∠CAD（全等三角形对应角相等），即AD平分∠BAC； ∠ADB = ∠ADC（全等三角形对应角相等）。又∵ ∠ADB + ∠ADC = 180°（平角定义），∴ ∠ADB = ∠ADC = 90°，即AD⊥BC。综上：AD既是BC边上的高，又是∠BAC的平分线。场景 2：已知 “高”，证 “中线” 与 “角平分线”例题 2：已知：在△ABC 中，AB=AC，AD⊥BC 于 D，求证：BD=CD 且 AD 平分∠BAC。证明过程：证明：∵ AD⊥BC（已知），∴ ∠ADB = ∠ADC = 90°（垂直定义）。在Rt△ABD和Rt△ACD中，$\begin{cases} AB = AC（已知）， \\ AD = AD（公共斜边）， \end{cases}$∴ Rt△ABD ≌ Rt△ACD（HL全等判定）。∴ BD = CD（全等三角形对应边相等），即AD是BC边上的中线； ∠BAD = ∠CAD（全等三角形对应角相等），即AD平分∠BAC。场景 3：已知 “角平分线”，证 “中线” 与 “高”例题 3：已知：在△ABC 中，AB=AC，AD 平分∠BAC，交 BC 于 D，求证：BD=CD 且 AD⊥BC。证明过程（略，参照场景 1，用 SAS 证△ABD≌△ACD，推导对应边、对应角相等）。总结：证明核心思路无论已知 “哪一线”，均通过构造全等三角形（SSS、SAS、HL），将 “三线合一” 的证明转化为全等三角形的性质应用，最终实现 “知一推二”。幻灯片 6：知识点 3——“三线合一” 的辅助线添加（构造等腰三角形）一、辅助线添加原则当题目中出现 “等腰三角形” 但未给出 “三线” 时，可通过添加 “三线” 作为辅助线，利用 “三线合一” 简化问题，常见场景如下：场景 1：已知等腰三角形，需证线段垂直辅助线：作底边上的中线（或顶角平分线）；依据：中线（或角平分线）→ 高（三线合一），直接得垂直关系。例题 4：已知：在△ABC 中，AB=AC，E 是 BC 中点，求证：AE⊥BC。解析：辅助线：连接 AE（E 是 BC 中点，故 AE 是 BC 边上的中线）；由 AB=AC，AE 是中线，根据 “三线合一” 得 AE⊥BC；无需证全等，直接应用性质，简化推理。场景 2：已知等腰三角形，需证线段相等辅助线：作底边上的高（或顶角平分线）；依据：高（或角平分线）→ 中线（三线合一），直接得线段平分关系。例题 5：已知：在△ABC 中，AB=AC，AD⊥BC 于 D，求证：BD=DC。解析：由 AB=AC，AD 是高，根据 “三线合一” 得 AD 是中线，故 BD=DC；一步推导，无需额外证明。场景 3：非等腰三角形中，需构造等腰三角形用 “三线合一”辅助线：延长某线段至某点，使两边相等，构造等腰三角形；目的：将非对称问题转化为对称问题，利用 “三线合一” 突破。例题 6：已知：在△ABC 中，AD 平分∠BAC，且 AD⊥BC，求证：AB=AC。解析：由 AD 平分∠BAC（角平分线）且 AD⊥BC（高），根据 “三线合一” 的逆用（若三角形中一条线段既是角平分线又是高，则该三角形是等腰三角形），得 AB=AC；此处虽未直接给出等腰三角形，但通过 “三线” 中的两线，反向构造等腰三角形，验证 “三线合一” 的逆命题成立。二、辅助线添加口诀“等腰缺三线，辅助线来添；要证垂直作中线，要证相等作高先；非等腰想对称，构造等腰用三线。”幻灯片 7：知识点 4——“三线合一” 与其他知识的综合应用一、与全等三角形结合例题 7：已知：在△ABC 中，AB=AC，AD 是 BC 边上的高，E、F 分别在 AB、AC 上，且 DE=DF，求证：BE=CF。解析：由 AB=AC，AD 是高，根据 “三线合一” 得 AD 平分 BC（BD=CD）且 AD 平分∠BAC（∠BAD=∠CAD）；证 Rt△BDE≌Rt△CDF：∠BDE=∠CDF（AD 是高，DE=DF，可证∠EDF=180°-2∠ADE，∠BDC=180°，故∠BDE=∠CDF）；BD=CD（三线合一）；∠BED=∠CFD=90°（DE=DF，AD 是高，可证 DE⊥AB，DF⊥AC）；由全等得 BE=CF；关键：“三线合一” 提供 BD=CD 的条件，为全等证明奠定基础。二、与直角三角形性质结合例题 8：已知：在△ABC 中，AB=AC，AD 是 BC 边上的高，E 是 AC 中点，若 AD=8，BC=6，求 DE 的长。解析：由 AB=AC，AD 是高，根据 “三线合一” 得 DC=½BC=3；△ADC 是直角三角形（AD⊥BC），E 是 AC 中点，根据 “直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半” 得 DE=½AC；在 Rt△ADC 中，AC=√(AD²+DC²)=√(8²+3²)=√73，故 DE=√73/2；关键：“三线合一” 与直角三角形性质协同，分步推导未知线段长度。三、与角平分线性质结合例题 9：已知：在△ABC 中，AB=AC，AD 平分∠BAC，DE⊥AB 于 E，DF⊥AC 于 F，求证：DE=DF。解析：由 AB=AC，AD 平分∠BAC，根据 “三线合一” 得 AD 是 BC 边上的高，但此处直接用角平分线性质更简便；AD 是角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，根据 “角平分线性质定理” 得 DE=DF；也可通过 “三线合一” 证 AD 是高，再证△ADE≌△ADF（AAS）得 DE=DF，但角平分线性质更直接；关键：根据题目条件，灵活选择 “三线合一” 或其他性质，优化解题路径。幻灯片 8：课堂互动（分组探究与易错辨析）任务 1：“三线合一” 的逆用探究题目：已知：在△ABC 中，AD 是 BC 边上的中线且 AD⊥BC，求证：AB=AC（“三线合一” 的逆命题）。要求：4 人一组，用全等三角形证明（SSS 或 SAS）；总结逆命题：“若三角形中一条线段既是中线又是高，则该三角形是等腰三角形”；拓展讨论：另外两个逆命题（既是中线又是角平分线→等腰；既是角平分线又是高→等腰）是否成立？如何证明？任务 2：易错辨析训练题目：判断下列说法是否正确，并说明理由：“在△ABC 中，AD 是 BC 边上的中线且 AD 平分∠BAC，则 AB=AC”（√，中线 + 角平分线→等腰，三线合一逆用）；“等腰三角形的腰上的高等于腰上的中线”（×，腰上的高与中线不一定重合，仅底边上的三线重合）；“若△ABC 中，AB=AC，AD 是 AC 边上的中线，则 AD⊥AC”（×，AD 是腰上的中线，非底边上的中线，不满足三线合一）；要求：结合 “三线合一” 的适用条件，逐一分析错误原因，强化条件意识。幻灯片 9：中考真题演练（能力提升）题目 1（2024・江苏中考）如图，在△ABC 中，AB=AC，D 是 BC 中点，E 是 AD 上一点，求证：EB=EC。证明过程：证明：∵ AB=AC，D是BC中点（已知），∴ AD是BC边上的中线（中点定义）。根据等腰三角形“三线合一”性质： AD是BC边上的高且AD平分∠BAC， 即AD垂直平分BC。∵ E是AD上一点（已知），∴ EB=EC（线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等）。题目 2（2024・浙江中考）如图，在△ABC 中，AB=AC，∠BAC=120°，AD 是 BC 边上的高，求∠BAD 的度数及 BD 与 BC 的数量关系。解析：由 AB=AC，AD 是高，根据 “三线合一” 得 AD 平分∠BAC，故∠BAD=½∠BAC=60°；同理，AD 是中线，故 BD=½BC（即 BC=2BD）；答案：∠BAD=60°，BC=2BD。题目 3（2024・广东中考）如图，在△ABC 中，AB=AC，E、F 分别在 AB、AC 上，且 BE=CF，BD=CE，求证：△DEF 是等腰三角形。证明过程：证明：∵ AB=AC（已知），∴ ∠B=∠C（等腰三角形性质1）。在△BDE和△CEF中，$\begin{cases} BE = CF（已知）， \\ ∠B = ∠C（已证）， \\ BD = CE（已知）， \end{cases}$∴ △BDE ≌ △CEF（SAS全等判定）。∴ DE = EF（全等三角形对应边相等）。∴ △DEF是等腰三角形（等腰三角形定义）。（若【2024新教材】沪科版数学 八年级上册 授课教师： . 班 级： . 时 间： . 1.理解等腰三角形中的“三线合一”的概念和验证定理的过程.2.通过验证等腰三角形中“三线合一”，培养学生独立自主分析和解决问题的能力.3.培养利用常见的利用等腰三角形的推论来解决问题的能力.学习目标 建筑工人在盖房子时，用一块等腰三角板放在梁上，从顶点系一重物，如果系重物的绳子正好经过三角板底边中点，就说房梁是水平的，你知道为什么吗?新课导入∠ADB = ∠ADC = 90°，∠BAD =∠CAD.等腰三角形的性质定理2思考：由前面定理1的证明还能得到什么结论？猜想：等腰三角形底边上的中线垂直于底边且平分顶角.新课讲解1. 如果作 BC 边上的高线 AD，那么 AD 平分 BC 吗？AD 平分 ∠BAC 吗?证明：作底边 BC 的高 AD，交 BC 于点 D.∵ AD⊥BC，∴∠ADB ＝∠ADC＝90°.在 Rt△ABD 与 Rt△ACD 中， AB＝AC（已知）， AD＝AD（公共边），∴ Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）.∴ BD＝CD，∠BAD ＝∠CAD.新课讲解2.如果作∠ABC 的顶角平分线 AD，那么 AD 垂直平分 BC 吗?证明：作顶角∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D.∵ AD 平分∠BAC ，∴ ∠BAD＝∠CAD.在△ABD 与△ACD 中， AB＝AC（已知）， ∠BAD＝∠CAD（已证）， AD＝AD（公共边），∴ △ABD≌△ACD（SAS），∴ BD＝CD，∠ADB＝∠ADC.又∵∠ADB+∠ADC＝180°，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.新课讲解证明后的结论，以后可以直接运用. 定理2等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高重合. 简称“三线合一”.知识要点填一填：根据等腰三角形的性质定理完成下列填空.在△ABC 中，AB = AC. (1) ∵ AD⊥BC， ∴∠____=∠____，_____=_____. (2) ∵ AD 是中线， ∴ ____⊥____，∠____ =∠____.(3) ∵ AD 是角平分线， ∴ ____⊥____，____ =____.122BDCDADBCBD1BCADCD新课讲解画出任意一个等腰三角形的底角平分线、这个底角所对的腰上的中线和高，看看它们是否重合？为什么不一样?新课讲解1. 等腰三角形的顶角一定是锐角.2. 等腰三角形的底角可能是锐角或者直角、钝角.3. 钝角三角形不可能是等腰三角形. 4. 等腰三角形的顶角平分线一定垂直于底边.5. 等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合.6. 等腰三角形底边上的中线一定平分顶角.（ X ）（ X ）（ X ）（ X ）（√）（√）判断下列说法正误：新课讲解例1 已知点 D、E 在△ABC 的边 BC 上，AB＝AC.(1) 如图①，若 AD＝AE，求证：BD＝CE；(2) 如图②，若 BD＝CE，F 为 DE 的中点，求证： AF⊥BC.图①图②ABDECABDECF例题讲解证明：(1) 如图①，过 A 作 AG⊥BC 于 G.∵ AB＝AC，AD＝AE，∴ BG＝CG，DG＝EG.∴ BG－DG＝CG－EG.∴ BD＝CE.(2) ∵ BD＝CE，F 为 DE 的中点，∴ BD＋DF＝CE＋EF.∴ BF＝CF. ∵ AB＝AC，∴ AF⊥BC.图①ABDGEC图②ABDECF例题讲解方法总结：在等腰三角形的有关计算或说明理由的问题中，有时需要添加辅助线，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线．新课讲解例2 如图，在△ABC中，AB =AC，AD 是 BC 边上的中线，点 E 是 AD 上一点，求证：BE = CE.证明 ∵ AB = AC，AD 是边 BC 上的中线，(已知)∴ AD 是 BC 边上的高.(三线合一)∴ AD 垂直平分线段 BC .（垂直平分线的定义）∵ 点 E 是 AD 上一点（已知）∴ BE = CE.（垂直平分线的性质）例题讲解例3 求证：斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等．已知，如图，在 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C' 中，∠C =∠C' = 90°，AB = A'B'，AC = A'C'求证：Rt△ABC≌Rt△A'B'C'.本例是14.2中以学过的判定两个直角三角形全等的定理“HL”的证明例题讲解证明：在平面内移动 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C'，使点 A 和 A'，点 C 和 C' 重合，点 B 和点 B' 在 AC 两侧，如图.∵∠BCB' = 90° + 90°= 180°，∴B，C，B' 三点在一条直线上.在△ABB' 中，∵AB = AB'，∴∠B = ∠B'.在 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C' 中， ∠ACB =∠A'C'B' (已知)， ∠B =∠B' (已证)， AB = A'B' (已知)，∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C' (AAS).(A')B'例题讲解结论：等边三角形每条边上的中线，高和所对角的平分线都“三线合一”.三条对称轴问题：等边三角形有“三线合一”的性质吗？等边三角形有几条对称轴？ 等边三角形是特殊的等腰三角形，三线合一对于等边三角形也成立.新课讲解1.如图，在 △ABC 中，AB ＝ AC，AD ⊥ BC，垂足为D，BD = 4，则 BC =（ ）A．2 B．4 C．6 D．8D2. 如图，在等边△ABC 中，BD 平分∠ABC，BD = BF，则∠CDF 的度数是（　　）A．10° B．15° C．20° D．25° B课堂练习3. 如图，在△ABC 中，AB = AC，D 是 BC 边上的中点， ∠B = 30°，求∠BAD 和 ∠ADC 的度数.解：∵ AB = AC，D 是 BC 边上的中点， ∴∠C =∠B = 30°， ∠ADC = 90°.∴∠BAD =∠ADC -∠B = 90° - 30° = 60°.课堂练习 A、B 是 4×4 网格中的格点，网格中的每个小正方形的边长为 1，请在图中标出使以 A、B、C 为顶点的三角形是等腰三角形的所有格点 C 的位置．拓展提升：课堂练习分别以 A、B、C 为顶角顶点来分类讨论！8 个这样分类就不会漏啦！C1C2C3C4C5C6C7C8课堂练习知识点 等腰三角形的“三线合一”的性质（第1题）  等腰三角形的三线合一  返回（第2题） D 返回（第3题） DA. B. C. D. 返回（第4题） C    返回 CA. 10 B. 11 C. 12 D. 13等腰三角形的性质三线合一注意是指顶角的平分线,底边上的高和中线才有这一性质.而腰上高和中线与底角的平分线不具有这一性质课堂小结必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！