专题8.1 直线方程（九类核心考点）讲义-2026年高考数学一轮复习【重点•难点突破】(新教材新高考)

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目录1
一、5年高考•真题感悟2
二、课程标准•考情分析10
【课程标准】10
【考情分析】10
【2026考向预测】11
三、知识点•逐点夯实11
知识点1、直线的倾斜角与斜率11
知识点2、直线方程的五种形式12
知识点3、距离公式的应用13
知识点4、对称问题13
知识点5、直线系方程14
四、重点难点•分类突破15
考点1 倾斜角与斜率15
考点2 求直线方程18
考点3 两条直线的位置关系21
考点4 直线与坐标轴围成的面积22
考点5 距离问题25
考点6 有关距离的最值问题28
考点7 对称问题32
考点8 直线系方程的应用36
考点9 综合问题38
五、必考题型•分层训练42
A、基础保分42
B、综合提升49
一、5年高考•真题感悟
1．（2025·全国一卷·高考真题）已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】求点到直线的距离、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）、坐标法的应用——直线与圆的位置关系
【分析】先求出圆心到直线的距离，然后结合图象，即可得出结论.
【详解】由题意，
在圆中，圆心，半径为，
到直线的距离为的点有且仅有 个，
∵圆心到直线的距离为：，

故由图可知，
当时，
圆上有且仅有一个点（点）到直线的距离等于；
当时，
圆上有且仅有三个点（点）到直线的距离等于；
当则的取值范围为时，
圆上有且仅有两个点到直线的距离等于.
故选：B.
2．（2024·北京·高考真题）圆的圆心到直线的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】求点到直线的距离、由圆的一般方程确定圆心和半径
【分析】求出圆心坐标，再利用点到直线距离公式即可.
【详解】由题意得，即，
则其圆心坐标为，则圆心到直线的距离为.
故选：D.
3．（2024·全国甲卷·高考真题）已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．4D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】等差中项的应用、直线过定点问题、圆的弦长与中点弦
【分析】结合等差数列性质将代换，求出直线恒过的定点，采用数形结合法即可求解.
【详解】因为成等差数列，所以，，代入直线方程得
，即，令得，
故直线恒过，设，圆化为标准方程得：，
设圆心为，画出直线与圆的图形，由图可知，当时，最小，
，此时.

故选：C
4．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ）
A．1B．C．D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】给值求值型问题、余弦定理解三角形、已知点到直线距离求参数、切线长
【分析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的性质求切线长，结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得，利用韦达定理结合夹角公式运算求解.
【详解】方法一：因为，即，可得圆心，半径，
过点作圆C的切线，切点为，
因为，则，
可得，
则，
，
即为钝角，
所以；
法二：圆的圆心，半径，
过点作圆C的切线，切点为，连接，
可得，则，
因为
且，则，
即，解得，
即为钝角，则，
且为锐角，所以；
方法三：圆的圆心，半径，
若切线斜率不存在，则切线方程为，则圆心到切点的距离，不合题意；
若切线斜率存在，设切线方程为，即，
则，整理得，且
设两切线斜率分别为，则，
可得，
所以，即，可得，
则，
且，则，解得.
故选：B.

5．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为．已知成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则（ ）
A．0.75B．0.8C．0.85D．0.9
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、已知斜率求参数
【分析】设，则可得关于的方程，求出其解后可得正确的选项.
【详解】设，则，
依题意，有，且，
所以，故，
故选：D
6．（2023·北京·高考真题）设，函数，给出下列四个结论：
①在区间上单调递减；
②当时，存在最大值；
③设，则；
④设．若存在最小值，则a的取值范围是．
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】②③
【难度】0.15
【知识点】分段函数的性质及应用、函数图象的应用、求平面两点间的距离、直线与圆的位置关系求距离的最值
【分析】先分析的图像，再逐一分析各结论；对于①，取，结合图像即可判断；对于②，分段讨论的取值范围，从而得以判断；对于③，结合图像可知的范围；对于④，取，结合图像可知此时存在最小值，从而得以判断.
【详解】依题意，，
当时，，易知其图像为一条端点取不到值的单调递增的射线；
当时，，易知其图像是，圆心为，半径为的圆在轴上方的图像（即半圆）；
当时，，易知其图像是一条端点取不到值的单调递减的曲线；
对于①，取，则的图像如下，

显然，当，即时，在上单调递增，故①错误；
对于②，当时，
当时，；
当时，显然取得最大值；
当时，，
综上：取得最大值，故②正确；
对于③，易知当时，在，且接近于处，的距离最小，

当时，，当且接近于处，，
此时，，
当时，且接近于处，的距离最小，
此时；故③正确；
对于④，取，则的图像如下，

因为，
结合图像可知，要使取得最小值，则点在上，点在，
同时的最小值为点到的距离减去半圆的半径，
此时，因为的斜率为，则，故直线的方程为，
联立，解得，则，
显然在上，满足取得最小值，
即也满足存在最小值，故的取值范围不仅仅是，故④错误.
故答案为：②③.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是分析得的图像，特别是当时，的图像为半圆，解决命题④时，可取特殊值进行排除即可.
7．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是 ．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】求点关于直线的对称点、直线关于直线对称问题、由直线与圆的位置关系求参数
【分析】首先求出点关于对称点的坐标，即可得到直线的方程，根据圆心到直线的距离小于等于半径得到不等式，解得即可；
【详解】解：关于对称的点的坐标为，在直线上，
所以所在直线即为直线，所以直线为，即；
圆，圆心，半径，
依题意圆心到直线的距离，
即，解得，即；
故答案为：
8．（2022·全国甲卷·高考真题）设点M在直线上，点和均在上，则的方程为 ．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】求平面两点间的距离、由圆心（或半径）求圆的方程
【分析】设出点M的坐标，利用和均在上，求得圆心及半径，即可得圆的方程.
【详解】[方法一]：三点共圆
∵点M在直线上，
∴设点M为，又因为点和均在上，
∴点M到两点的距离相等且为半径R，
∴，
，解得，
∴，，
的方程为.
故答案为：
[方法二]：圆的几何性质
由题可知，M是以（3，0）和（0，1）为端点的线段垂直平分线 y=3x-4与直线的交点(1,-1)., 的方程为.
故答案为：
二、课程标准•考情分析
【课程标准】
（1）理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.
（2）根据确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)．
（3）能根据斜率判定两条直线平行或垂直．
（4）能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标．
（5）掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．
【5年考情分析】
【2026考向预测】
高考对直线方程的考查比较稳定,考查内容、频率、题型难度均变化不大,备考时应熟练掌握直线的倾斜角与斜率、直线方程的求法等,特别要重视直线方程的求法.特别是要熟练掌握两条直线的位置关系、距离公式、对称问题等，特别要重视两条直线的位置关系以及点到直线的距离公式这两个考点．
三、知识点•逐点夯实
知识点1、直线的倾斜角与斜率
1、直线的倾斜角
若直线与轴相交，则以轴正方向为始边，绕交点逆时针旋转直至与重合所成的角称为直线的倾斜角，通常用表示
（1）若直线与轴平行（或重合），则倾斜角为
（2）倾斜角的取值范围
2、直线的斜率
设直线的倾斜角为，则的正切值称为直线的斜率，记为
（1）当时，斜率不存在；所以竖直线是不存在斜率的
（2）所有的直线均有倾斜角，但是不是所有的直线均有斜率
（3）斜率与倾斜角都是刻画直线的倾斜程度，但就其应用范围，斜率适用的范围更广（与直线方程相联系）
（4）越大，直线越陡峭
（5）倾斜角与斜率的关系
当时，直线平行于轴或与轴重合；
当时，直线的倾斜角为锐角，倾斜角随的增大而增大；
当时，直线的倾斜角为钝角，倾斜角随的增大而增大；
3、过两点的直线斜率公式
已知直线上任意两点，，则
（1）直线的斜率是确定的，与所取的点无关．
（2）若，则直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°
4、三点共线．
两直线的斜率相等→三点共线；反过来，三点共线，则直线的斜率相等（斜率存在时）或斜率都不存在．
知识点2、直线方程的五种形式
1、直线的截距
若直线与坐标轴分别交于，则称分别为直线的横截距，纵截距
（1）截距：可视为直线与坐标轴交点的简记形式，其取值可正，可负，可为0（不要顾名思义误认为与“距离”相关）
（2）横纵截距均为0的直线为过原点的非水平非竖直直线
2、直线方程的五种形式
3、求曲线（或直线）方程的方法：
在已知曲线类型的前提下，求曲线（或直线）方程的思路通常有两种：
（1）直接法：寻找决定曲线方程的要素，然后直接写出方程，例如在直线中，若用直接法则需找到两个点，或者一点一斜率
（2）间接法：若题目条件与所求要素联系不紧密，则考虑先利用待定系数法设出曲线方程，然后再利用条件解出参数的值（通常条件的个数与所求参数的个数一致）
4、线段中点坐标公式
若点的坐标分别为且线段的中点的坐标为，则，此公式为线段的中点坐标公式．
5、两直线的夹角公式
若直线与直线的夹角为，则.
知识点3、距离公式的应用
1、两点间的距离
平面上两点的距离公式为．
特别地，原点O（0，0）与任一点P（x，y）的距离
2、点到直线的距离
点到直线的距离
特别地，若直线为l：x=m，则点到l的距离；若直线为l：y=n，则点到l的距离
3、两条平行线间的距离
已知是两条平行线，求间距离的方法：
（1）转化为其中一条直线上的特殊点到另一条直线的距离．
（2）设，则与之间的距离
注：两平行直线方程中，x，y前面对应系数要相等．
4、双根式
双根式型函数求解，首先想到两点间的距离，或者利用单调性求解．
知识点4、对称问题
1、点关于点对称
点关于点对称的本质是中点坐标公式：设点关于点的对称点为，则根据中点坐标公式，有
可得对称点的坐标为
2、点关于直线对称
点关于直线对称的点为，连接，交于点，则垂直平分，所以，且为中点，又因为在直线上，故可得，解出即可．
3、直线关于点对称
法一：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；
法二：求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程．
4、直线关于直线对称
求直线，关于直线（两直线不平行）的对称直线
第一步：联立算出交点
第二步：在上任找一点（非交点），利用点关于直线对称的秒杀公式算出对称点
第三步：利用两点式写出方程
5、常见的一些特殊的对称
点关于轴的对称点为，关于轴的对称点为．
点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为．
点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为．
点关于点的对称点为．
点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为．
知识点5、直线系方程
1、过定点直线系
过已知点的直线系方程（为参数）．
2、斜率为定值直线系
斜率为的直线系方程（是参数）．
3、平行直线系
与已知直线平行的直线系方程（为参数）．
4、垂直直线系
与已知直线垂直的直线系方程（为参数）．
5、过两直线交点的直线系
过直线与的交点的直线系方程：（为参数）．
四、重点难点•分类突破
考点1 倾斜角与斜率
例1、（2025·吉林·模拟预测）直线的一个方向向量为，倾斜角为，则（ ）
A．2B．C．D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】二倍角的正切公式、直线斜率的定义
【分析】先求出直线的斜率，再利用正切二倍角求出.
【详解】因为直线的一个方向向量为，所以，
则.
故选：D
例2、（2025·上海浦东新·模拟预测）已知直线过点，且上至少有一点到点的距离为2，则的倾斜角的最大值为 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】直线的倾斜角、求点到直线的距离、由直线与圆的位置关系求参数
【分析】依题意，直线l与以为圆心，2为半径作圆C至少有一个交点，根据直线与圆的位置关系求出直线倾斜角的范围即可.
【详解】以为圆心，2为半径作圆C，如图所示，
依题意直线l与圆C至少有一个交点，
①当直线l的科率不存在时，直线l与圆C有2个交点，此时直线l的倾斜角；
②当直线l的斜率存在时，设为，则，即
依题意，解得或，
此时直线l的倾斜角
综上所述，直线l的倾斜角，
故直线l的倾斜角的最大值为．
故答案为：
【变式训练1】、（2025·福建福州·模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线为，点为上一点，过点作的垂线，垂足为，若，且点在直线上，则直线的斜率为（ ）
A．或B．或C．1或D．或
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】斜率公式的应用、直线与抛物线交点相关问题
【分析】由题意得，准线为，设，由题意得点坐标，再根据点在直线上，由斜率公式求出，得到直线的斜率即可.
【详解】由题意，，准线为，
设，则，
由于，则为的中点，即，
又点在直线上，
则，解得，则.
故选：B.
【变式训练2】、（2025·河北石家庄·三模）过点作直线与抛物线相交于A，B两点，若点P是线段AB的中点，则直线AB的斜率是 ．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】已知两点求斜率、直线与抛物线交点相关问题
【分析】设，当若直线的斜率存在，，将点代入抛物线方程后作差，将点代入可得直线的斜率，再检验所得结果，再补充考虑斜率不存在的情况，最后可得结论.
【详解】设，
若直线的斜率存在，则，
点P是线段的中点，，
∴，
，两式作差可得，
即，又，
，
直线的方程是，即，
联立，可得，
方程的判别式，
所以方程有两个根，故方程组有两组解，满足条件，
若直线的斜率不存在，则直线方程为，此时线段AB的中点为矛盾，
故答案为：.
考点2 求直线方程
例3、（24-25高三下·上海虹口·期中）若直线与直线平行，且经过圆的圆心，则的方程为
【答案】
【难度】0.85
【知识点】直线的点斜式方程及辨析、圆的一般方程与标准方程之间的互化、由圆的一般方程确定圆心和半径
【分析】求出圆心坐标，利用点斜式可得出直线的方程.
【详解】圆的标准方程为，圆心坐标为，
因为直线与直线平行，且经过圆的圆心，
所以，直线的方程为.
故答案为：.
例4、（2025·贵州黔东南·三模）已知点P是双曲线上第一象限的点，C的左、右焦点分别为，若是面积为的等边三角形（O为坐标原点），则直线的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】直线的点斜式方程及辨析、求双曲线的焦点坐标
【分析】根据题意作图，根据等边三角形的面积，求出的长度，求出和的坐标，求出直线方程.
【详解】
设焦点，
，解得，
可知，在中，根据勾股定理，
所以，，可得直线方程为，化简得.
故选：B.
【变式训练3】、（2025·天津河西·模拟预测）已知抛物线的焦点为，圆，过点作直线，当圆心到直线的距离最大时，直线的方程为 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】直线的点斜式方程及辨析、根据抛物线方程求焦点或准线、由圆的一般方程确定圆心和半径
【分析】求出抛物线的焦点以及圆心的坐标，分析可知当时，圆心到直线的距离最大时，求出直线的斜率，结合点斜式可得出直线的方程.
【详解】对于抛物线，则，，所以，故其焦点为，
圆的标准方程为，圆心为，
当时，圆心到直线的距离最大时，
因为，此时直线的斜率为，
因此，直线的方程为，即.
故答案为：.
【变式训练4】、（2025·重庆·模拟预测）已知抛物线和圆在第一象限内的交点为P，则以P为切点的C的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、直线的点斜式方程及辨析
【分析】先根据联立得出点P，再求导函数得出切线斜率，最后点斜式写出直线方程.
【详解】联立抛物线和圆，可得，（舍），则，
在第一象限内的交点为，
由抛物线，则，所以在处切线斜率为，
所以切线方程为，即得.
故选：A.
考点3 两条直线的位置关系（平行、垂直与夹角）
例5、（2025·宁夏中卫·三模）若直线：与直线：平行，则（ ）
A．4B．1C．1或-4D．-1或4
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】已知直线平行求参数
【分析】根据直线一般方程的平行关系求的值，并代入检验即可.
【详解】依题意得，，
得，
解得或，
若时，直线与直线平行，符合题意；
若时，直线与直线平行，符合题意；
综上所述：或．
故选：D
例6、已知直线和互相垂直，且，则的最小值为 ．
【答案】/
【难度】0.85
【知识点】基本不等式求和的最小值、已知直线垂直求参数
【分析】根据两直线垂直得到，再利用基本不等式求解.
【详解】因为，所以，即，
因为，，
所以，
当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为．
故答案为：．
【变式训练5】、（24-25高二上·河南信阳·期末）“”是“直线与垂直”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．不充分也不必要条件
【答案】A
【难度】0.94
【知识点】判断命题的充分不必要条件、已知直线垂直求参数
【分析】分析可得两直线垂直恒成立，结合充分条件与必要条件的定义可确定选项.
【详解】∵对于任意，恒成立，
∴直线与垂直恒成立，
∴“”是“直线与垂直”的充分不必要条件.
故选：A.
【变式训练6】、（2024·上海奉贤·一模）若直线：与直线：互相垂直，则 ．
【答案】0
【难度】0.85
【知识点】已知直线垂直求参数
【分析】根据直线互相垂直求出的值.
【详解】由题意得，解得.
故答案为：0
考点4 直线与坐标轴围成的面积
例7、（2025·山东聊城·一模）曲线在处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数的乘除法、直线与坐标轴围成图形的面积问题
【分析】利用导数的几何意义求出切线方程，可得出切线与两坐标轴的交点坐标，再利用三角形的面积公式即可得解.
【详解】对函数求导得，故所求切线斜率为，切点坐标为，
所以，曲线在处的切线方程为，
该切线交轴于点，交轴于点，
因此，曲线在处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为.
故选：D.
例8、（2024·河北保定·三模）曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【难度】0.94
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数的运算法则、直线与坐标轴围成图形的面积问题
【分析】根据导数的几何意义求得曲线的切线方程，结合三角形面积公式计算即可.
【详解】由，得，则，，
所以曲线在点处的切线方程为.
令，得，令，得，
故该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为.
故选：C
【变式训练7】、已知直线过定点，直线过定点与的交点为，则面积的最大值为( )
A．B．C．5D．10
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】直线平行、垂直的判定在几何中的应用、直线过定点问题
【分析】先求定点，然后判断两个直线的位置关系，然后计算面积，利用基本不等式判断即可.
【详解】由题可知，,直线，
所以,，
所以，
所以的面积为，
当且仅当时等号成立.
故选：C
【变式训练8】、（2025·福建漳州·模拟预测）已知直线l过点，分别与直线：，：交于A，B两点，圆C：过A，B两点，则△ABC面积的最大值为 ；当△ABC面积取最大值时，直线l的方程为
【答案】 1 或
【难度】0.65
【知识点】三角形面积公式及其应用、求直线交点坐标、求平面两点间的距离
【分析】由题意作图，根据三角形的面积计算，结合正弦函数的性质，可得面积最值，根据等腰直角三角形的性质，可得的值，分直线的斜率存在与不存在两种情况，联立方程求交点，由两点距离公式，建立方程，可得答案.
【详解】
由，则其圆心，半径，设，
易知，则当时，取得最大值为，
在等腰中，
当直线的斜率不存在时，直线，
代入直线，解得，则；
代入直线，解得，则；
所以，显然此时取得最大值为.
当直线的斜率存在时，可设直线，
联立可得，解得，，则；
联立可得，解得，，则；
，
由，则，解得，即直线，
所以取得最大值为，则直线或.
故答案为：；或.
考点5 距离问题
例9、（2025·广西南宁·模拟预测）若直线l：被圆C：截得的弦长为，则 .
【答案】10
【难度】0.65
【知识点】已知点到直线距离求参数、已知圆的弦长求方程或参数
【分析】由圆方程得出圆心和半径，再由弦长公式以及点到直线距离公式计算可得结果.
【详解】易知圆的圆心为，半径，
设圆心到直线的距离为，由弦长公式可得，解得，
所以圆心到直线的距离，解得或.
因为，所以，
故答案为：10.
例10、（2025·江西景德镇·模拟预测）若曲线上存在两点到直线的距离为3，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【难度】0.4
【知识点】求平行线间的距离、由直线与圆的位置关系求参数
【分析】由表示圆的上半部分，数形结合确定直线到的距离大于3，到的距离小于等于3，再应用平行线的距离公式列不等式求参数范围.
【详解】由表示圆的上半部分，如下图，
当圆心到直线的距离，可得或，
若时，，若时，，
当直线过点时，有，可得，此时，
结合图知，要使曲线存在两个点与直线的距离为3，且，即直线必在的右下方，
所以直线到的距离大于3，到的距离小于等于3，
与的距离，则，
与的距离，则，
所以.
故选：B
【变式训练9】、（24-25高二下·安徽·开学考试）已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的焦距为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】已知直线垂直求参数、求双曲线的焦距、已知方程求双曲线的渐近线
【分析】根据垂直关系解得参数的值，再根据的关系得可得焦距.
【详解】双曲线的渐近线方程为，
所以，解得，
因此，双曲线的焦距为.
故选：D.
【变式训练10】、已知常数、、、满足：，，，则的最大值为
【答案】/
【难度】0.4
【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、三角恒等变换的化简问题、数量积的坐标表示、求点到直线的距离
【分析】设点，，可得，，根据向量的数量积可得三角形OAB为等边三角形，的几何意义为点A，B两点到直线的距离之和，设，则，进而根据点到直线的距离公式以及正弦函数的性质求解即可.
【详解】设点，，，，
由，，，
可得A，B两点在圆上，且，
即有，即三角形OAB为等边三角形，，
所求的的几何意义即A、B两点到直线的距离之和，
故设，则，
所以
，
其中，
所以最大值为，当且仅当时，可取最大值.
故答案为：
考点6 有关距离的最值问题
例11、（2024·河北·模拟预测）点到直线的最大距离是（ ）
A．B．2C．D．不存在
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】直线过定点问题、求点到直线的距离
【分析】求出直线l所过的定点，利用两点间距离公式并结合判断是否存在最值，即可求解答案.
【详解】直线即，
令，解得，
即直线过定点，设为B，
当直线与l垂直时，点到直线的距离最大，
即为，
此时的斜率为，则l的斜率为2，故，方程无解，
即直线l和不可能垂直，则点到直线l的距离小于，不存在最大值，
故选：D
例12、（2025·辽宁·二模）我们把平面内到定点的距离不大于定点到的距离的倍的动点的集合称为关于的阶亲密点域，记为动点符合．已知，动点符合，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】求点到直线的距离、轨迹问题——圆
【分析】根据题意，可得动点到定点的距离小于等于定点到定点的距离的倍，即，利用两点间的距离公式，可求出，即判断点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆及内部，令，即，令直线的方程为，利用点到直线距离公式可求出点到直线的距离，对直线与圆相交或相切进行分类讨论，可求出的取值范围，即可求出的最大值，即可得解.
【详解】

已知，
因为动点符合，
所以动点到定点的距离不大于定点到定点的距离的倍，
即动点到定点的距离小于等于定点到定点的距离的倍，
所以，
所以1，
即，
所以点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆及内部，
令，即，
令直线的方程为，
要求的最大值，即为求当直线与圆相交或相切时的最大值，
又点到直线的距离为，
平移直线与圆相切时，点到直线的距离等于圆的半径，
即，即，解得或，
当直线与圆相交时，点到直线的距离大于等于0小于1，
即 ，即，即，解得，
综上所述，可得，即，
所以，即，
故选：A.
【变式训练11】、（2025·江苏南京·二模）已知，则的最小值为（ ）
A．2B．1C．D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】已知切线（斜率）求参数、导数的运算法则、求平面两点间的距离、求点到直线的距离
【分析】先设点及点，应用两点间距离，再应用导函数计算得出切线斜率得出切点，最后应用点到直线距离计算求解.
【详解】设点是函数图象上的点，点是直线上的点，
则，所以，
因为，设函数在点处的切线与直线平行，
则，解得，则点，
所以的最小值为点到直线的距离，
所以的最小值为2，
故选：
【变式训练12】、（2023·北京·三模）如图，及其内部的点组成的集合记为，为中任意一点，则的最大值为（ ）
A．2B．3C．5D．6
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】数量积的坐标表示、向量与几何最值、直线的斜截式方程及辨析
【分析】设，则，令，作出直线向上平移过点时，取得最大值，将点的坐标代入可求得结果.
【详解】设，则，
令，得，
作出直线向上平移过点时，直线在轴上的截距最大，
此时取得最大值，，
即的最大值为5.
故选：C
考点7 对称问题
例13、在平面直角坐标系xOy中，将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度，沿y轴正方向平移5个单位长度，得到直线l1.再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位长度，沿y轴负方向平移2个单位长度，又与直线l重合.若直线l与直线l1关于点（2，3）对称，则直线l的方程是 .
【答案】6x－8y＋1＝0
【难度】0.65
【知识点】求直线关于点的对称直线
【解析】根据平移得到l1：y＝k（x－3）＋5＋b和直线：y＝kx＋3－4k＋b，解得k＝，再根据对称解得b＝，计算得到答案.
【详解】由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋b，
则直线l1：y＝k（x－3）＋5＋b，平移后的直线方程为y＝k（x－3－1）＋b＋5－2
即y＝kx＋3－4k＋b，∴b＝3－4k＋b，解得k＝ ，
∴直线l的方程为y＝x＋b，直线l1为y＝x＋＋b
取直线l上的一点 ，则点P关于点（2，3）的对称点为 ，
，解得b＝.
∴直线l的方程是 ，即6x－8y＋1＝0.
故答案为：6x－8y＋1＝0
【点睛】本题考查了直线的平移和对称，意在考查学生对于直线知识的综合应用.
例14、直线关于点对称的直线方程（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】求直线关于点的对称直线
【分析】设所求直线上任一点为，则求出其关于点对称的点，代入直线中化简可得答案
【详解】设所求直线上任一点为，则其关于点对称的点为，
因为点在直线上，
所以，化简得，
所以所求直线方程为，
故选：B
【变式训练13】、唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短?在如图所示的直角坐标系中，设军营所在平面区域为，河岸线所在直线方程为.假定将军从点处出发，只要到达军营所在区域即回到军营，则将军可以选择最短路程为 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】求点关于直线的对称点、将军饮马问题求最值、定点到圆上点的最值（范围）
【分析】求出点P关于直线的对称点，根据对称性，原问题转化成求到营区的最短距离，利用圆的几何性质即可得解.
【详解】设点关于直线的对称点，
解得，所以，
将军从P出发到达直线上点A再到营区，，
所以本题问题转化为求点到营区的最短距离，
根据圆的几何性质可得最短距离为.
故答案为：
【点睛】此题以中国传统文化为背景考查求点关于直线的对称点，解决圆上的点到圆外一点的最短距离，考查对圆的几何性质的应用.
【变式训练14】、（2024·陕西西安·一模）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A．B．3C．D．5
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】将军饮马问题求最值
【分析】根据两点间线段最短，结合中点坐标公式、互相垂直直线斜率的性质进行求解即可.
【详解】设点关于直线对称的点为，
则有，
所以“将军饮马”的最短总路程为，
故选：C
考点8 直线系方程方程的应用
例15、（2025·吉林·二模）定义：到定点的距离为定值的直线系方程为，此方程也是以为圆心，为半径的圆的切线方程. 则当变动时，动直线围成的封闭图形的面积为（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】二倍角的余弦公式
【分析】弄清楚懂直线围成的封闭图形的形状，就可以求它的面积.
【详解】由.
根据条件中的定义，可得：动直线是以为圆心，以1为半径的圆的切线.
所以动直线围成的封闭图形为：以为圆心，以1为半径的圆.
其面积为：.
故选：C
例16、（25-26高二上·湖南·阶段练习）“直线系”是具有某一共同性质的直线的集合，通常用含参数的直线方程来表示，当参数取不同值时，方程表示该直线系中的某一条直线.已知，是直线系中的两条直线，若，则，之间的距离为 .
【答案】4
【难度】0.4
【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、已知直线平行求参数、求平行线间的距离
【分析】设，，根据直线平行列方程，然后利用两角差的正弦公式和正弦函数性质得或，从而，最后代入平行直线距离公式求解即可.
【详解】不妨设，，
因为，所以，所以，由题意，所以或，
不妨设，此时，即，由于的常数项为，而，故两直线不重合，
所以，之间的距离为.
故答案为：4
【变式训练15】、从空中某个角度俯视北京冬奥会主体育场“鸟巢”顶棚所得的局部示意图如图，在平面直角坐标系中，下列直线系方程（其中为参数，）能形成这种效果的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】求点到直线的距离、由直线与圆的位置关系求参数
【分析】根据图象可由原点到直线的距离为定值判断即可.
【详解】原点到直线的距离为不是定值，故A错误；
原点到直线的距离为不是定值，故B 错误；
原点到直线的距离为定值，故C正确；
原点到直线的距离为不是定值，故D错误；
故选：C.
【变式训练16】、（25-26高二上·安徽·阶段练习）“直线系”是具有某一共同性质的直线的集合，通常用含参数的直线方程来表示，当参数取不同值时，方程表示该直线系中的某一条直线.已知是直线系中的两条直线，若，则之间的距离为 .
【答案】4
【难度】0.65
【知识点】已知直线平行求参数、求平行线间的距离
【分析】由平行求得两直线方程，再根据直线间距离公式求解．
【详解】设直线方程分别为，，
不妨设，
因为，，，所以（舍去）或，
时，，
若，则，直线方程分别为和，两直线间距离为4，
若，则，，满足两直线平行，
所以，
因此直线的方程为，
所以之间的距离为，
综上，的距离为4，
故答案为：4.
考点9 综合问题
例17、（2025·甘肃白银·二模）已知圆，直线，若直线与轴交于点，过直线上一点作圆的切线，切点为，且，则的取值范围是 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】求平面两点间的距离、求点到直线的距离、由直线与圆的位置关系求参数
【分析】设，得再由，得到点在圆上，又点在直线上，求解的范围.
【详解】设，则
，整理得，，
即点在圆上，
又点在直线上，
故直线与圆有交点，
即，则，解得.
故答案为：.
例18、（2025·河北沧州·模拟预测）已知倾斜角为的直线经过抛物线的焦点，且与交于不同的两点，过分别作直线的垂线，垂足分别为，若梯形的面积为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】直线的斜截式方程及辨析、抛物线中的三角形或四边形面积问题、直线与抛物线交点相关问题、根据韦达定理求参数
【分析】根据题意得到直线的方程，与抛物线联立方程，设，结合韦达定理表示出和，进而表示出梯形面积，即可求出结果.
【详解】依题意，抛物线焦点为，
则直线的方程为，
设，
联立，整理得，
则恒成立，
所以，
则，
所以梯形的面积
，
解得.

故选：C
【变式训练17】、（2025·江苏盐城·模拟预测）设函数.若函数在和的切线互相平行，则两平行线之间距离的最大值为 .
【答案】/
【难度】0.65
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数的运算法则、求平行线间的距离
【分析】求出函数的导数，利用导数的几何意义及平行关系求出切线方程，进而求出最大距离.
【详解】函数，求导得，
依题意，，即，解得，
则两条切线的斜率为，对应的两个切点为，
切线方程为和，即和，
切线过定点，切线过定点，
所以两平行线之间距离的最大值为.
故答案为：.
【变式训练18】、（2025·内蒙古赤峰·三模）出租车几何，又称曼哈顿距离（ManhattanDistance），最早由十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基在研究度量几何时提出，用以标明两点在各坐标轴上的绝对差之和.设点，，则，两点之间的曼哈顿距离为.已知点，，动点满足，是直线上的动点，则的最小值为（）
A．B．C．D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】距离新定义
【分析】由题意可知的轨迹关于轴对称，也关于轴对称，进而先研究其在时的函数解析式，并画出其图象，结合对称性可将图象补充完整，数形结合求解即可.
【详解】由题意可知，的轨迹关于轴对称，也关于轴对称．
当时，，
即
画出此函数的图象，并结合对称性可得点的轨迹是如图所示的六边形．
由图可知，的最小值为图中点到直线的距离．
故选：A
五、分层训练
1．（25-26高三上·江苏镇江·阶段练习）在平面直角坐标系中，若角的终边位于直线，则（ ）
A．-1B．C．D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】直线的倾斜角、直线斜率的定义
【分析】由斜率和倾斜角的关系即可求解.
【详解】设直线倾斜角为，
由直线方程可得：，
又角的终边位于直线，
由两角的终边相同可知：.
故选：C
2．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）射影几何认为：所有无穷远点都位于唯一的一条无穷远直线上；任何两条平行直线都在无穷远处相交.莱莫恩（Lemine）定理指出：过的三个顶点作它的外接圆的切线分别和边相交于点，则三点在同一直线上.这条直线称为该三角形的莱莫恩（Lemine）线.在平面直角坐标系中若三角形三个顶点的坐标为，，则该三角形的莱莫恩（Lemine）线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】直线两点式方程及辨析、直线一般式方程与其他形式之间的互化、求过已知三点的圆的标准方程、过圆上一点的圆的切线方程
【分析】求出的外接圆方程，求出在处的切线方程，即可求出的坐标，由题意即可求得答案.
【详解】设的外接圆方程为，
则，解得，
即外接圆方程为，即，
故该外接圆在处的切线方程为；
直线的方程为，令，则，即得，
外接圆在处的切线方程为；
直线的方程为，令，则，即得，
则直线的方程为，即，
即该三角形的莱莫恩（Lemine）线方程为.
故选：A.
3．（2025·上海·模拟预测）“”是“直线与直线相互平行”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分又非必要条件
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】充要条件的证明、已知直线平行求参数
【分析】根据直线平行的条件建立方程求出，再检验即可得解.
【详解】若直线与直线相互平行，
则，即，解得或，
当时，直线与直线相互平行，符合题意；
当时，直线即，
直线，两直线重合，不符合题意；
所以“”是“直线与直线相互平行”的充要条件.
故选：C
4．（2025·山东·一模）实数满足，则的最小值为（ ）
A．2B．1C．0D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】求点到直线的距离
【分析】由点到线的距离公式求解最小值，即可求解.
【详解】，
其中为两点与距离的平方，
所以其最小值即为到直线距离的平方，即，
所以的最小值为1，
故选：B
5．（24-25高三上·浙江·期中）已知函数（a，且）在区间上有零点，则的最小值为（ ）
A．B．C．2D．1
【答案】D
【难度】0.15
【知识点】求点到直线的距离
【分析】转换主参变量，利用点到直线的距离公式来求得的最小值.
【详解】依题意在区间上有零点，
整理得在上有解，
表示坐标系中，直线（看成参数）上的点，
所以表示原点到直线上的点的距离的平方，
设，
由于，所以当时，取得最小值为，
所以的最小值为.
故选：D
【点睛】关键点点睛：
主参变量的转换：将原始代数问题转化为几何问题，利用几何性质进行求解，是解题的关键步骤，确保每一个几何量的合理转换，能够有效简化求解过程.
距离公式的合理运用：通过距离公式来计算直线与原点的最小距离，确保了推导过程的逻辑严密性和计算的准确性.
6．（2025·湖南·一模）已知点为直线上的一个动点，为圆上任意两个不重合的点，记的最小值为的最大值为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】二倍角的余弦公式、求点到直线的距离、判断直线与圆的位置关系
【分析】根据题意分析得当，分别为圆的切线，且最小时，最大，此时最小，再利用二倍角公式即可得，再根据最大时为钝角，所以的最大值为1，即.即可得.
【详解】由题意得的标准方程为，所以圆心，半径为2，
如图：

所以圆心到直线的距离为，所以直线与相离，
所以当分别为圆的切线，且最小时，
最大，又，则最大，
所以最大，此时最小，
此时．
显然的最大值为1，故．
故选：A
7．（2025·河南洛阳·模拟预测）已知过原点的直线与圆相交于两点，若，则直线的方程为 ．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】直线的点斜式方程及辨析、求点到直线的距离、已知圆的弦长求方程或参数
【分析】先由弦长、半径求出弦心距，再分斜率存在和不存在两种情况设出直线方程，结合点到直线的距离公式列式求解即可.
【详解】圆的圆心，半径
直线截圆所得弦长，则弦心距
当过原点的直线斜率不存在时，的方程为，圆心到直线的距离为1，不符合题意要求；
当过原点的直线斜率存在时，的方程可设为，
由，可得，此时的方程为
综上，直线的方程为.
故答案为：.
8．（2025·广东广州·模拟预测）已知是同一平面内的三条平行直线，位于两侧，与的距离为1，与的距离为2，点分别在上运动，若，则面积的最小值为 .
【答案】
【难度】0.4
【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、求平面两点间的距离
【分析】根据题意如图建立平面直角坐标系，设，利用条件推得，结合直线的对称性，可得，求出直线的方程，进而得到点，由三角形面积公式求得，设，再利用求导判断函数的单调性和极值，即可求得面积的最小值.
【详解】

如图，设直线与轴重合，依题意，可取直线，
因直线的无限延伸性，故可设，
则，
因，两边取平方，整理可得，结合直线的对称性，不妨设，则可得，
由，可得直线的方程为，令，可得点D的坐标为，故，
从而的面积为
，
设，函数的定义域为，则，
由可得，则有，解得；由，可得，
即函数在上单调递减，在上单调递增，
故函数在时取得最小值为.
此时，，则，
，满足.
故的面积的最小值为.
故答案为：.
9．（2025·上海奉贤·二模）直线上的动点和直线上的动点，则点与点之间距离的最小值是 ．
【答案】
【难度】0.94
【知识点】求平行线间的距离
【分析】利用平行线之间的距离公式求解即可.
【详解】直线和直线互相平行，
故点与点之间距离的最小值即两条直线间的距离，
且两条直线间的距离：.
故答案为：
10．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为
A．B．C．D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】将军饮马问题求最值
【解析】先求出点A关于直线的对称点，点到圆心的距离减去半径即为最短.
【详解】解：设点A关于直线的对称点，
的中点为，
故解得，
要使从点A到军营总路程最短，
即为点到军营最短的距离，
“将军饮马”的最短总路程为，
故选A.
【点睛】本题考查了数学文化问题、点关于直线的对称问题、点与圆的位置关系等等，解决问题的关键是将实际问题转化为数学问题，建立出数学模型，从而解决问题.
11．（2025·河南许昌·模拟预测）已知点，，点P是圆上的动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】求平面两点间的距离、判断直线与圆的位置关系
【分析】作出相应图形，可知当运动到与圆E相切时，取得最小值，分别求出，即可求解．
【详解】
如图，当与圆相切于点时，取得最小值，连接.
由题意得，，圆半径为，则，
所以，故.
过点E作x轴的垂线，垂足为N，则，所以，
所以，即的最小值为．
故选：B．
12．（2025·湖南长沙·三模）已知点，定义A，B两点间的曼哈顿距离，欧氏距离．在平面直角坐标系xOy中，已知点，点满足，点满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】求平面两点间的距离、轨迹问题——圆、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）、距离新定义
【分析】利用给定的定义求出点的轨迹并画出图形，结合圆的性质求出最大值.
【详解】设，由，得，因此点在以原点为圆心，1为半径的圆及内部，
设，由，得，点在以
为顶点的正方形及内部，当且仅当点与之一重合时，，
所以.
故选：D
13．（2024·四川遂宁·模拟预测）已知，为圆上的两个动点，，若点为直线上一动点，则的最小值为 .
【答案】6
【难度】0.65
【知识点】数量积的运算律、求点到直线的距离
【分析】取中点，则，问题转化为求的最小值，再利用点到直线的距离公式求的最小值即可.
【详解】如图：取中点，因为，圆的半径为2，所以，点的轨迹是以原点为圆心，以1为半径的圆，.
，
由点到直线距离公式，得：，所以，
所以.
故答案为：6
14．（2023·江西景德镇·模拟预测）在直角坐标系xOy中，点A、B分别在射线和上运动，且的面积为1，则周长的最小值为 ．
【答案】/
【难度】0.65
【知识点】基本不等式求和的最小值、求平面两点间的距离
【分析】设，，根据面积为1可得，根据基本不等式可求周长的最小值.
【详解】因为，故直线与直线垂直.
设，，
故，故.
设的周长为，
当且仅当时等号成立.
故答案为：.
15．（2025·河南信阳·模拟预测）已知矩形ABCD四个顶点分别为，一质点从线段AB上某一点M处（不包含端点），沿与AB夹角为60°的方向射到边BC上，再依次反射到边CD，DA和AB上（入射角等于反射角），则的取值范围为 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】已知两点求斜率
【详解】如图所示，质点由出发依次经BC，CD，DA反射后到达线段AB，相当于直线与线段MN相交，则
又因为，且，
即，所以，
故答案为：.
5年考情分析
考题示例
考点分析
难易程度（简单、一般、较难、很难）
2025年新I卷，5分
点到直线的距离、直线与圆
一般
2025年上海卷，5分
点到直线的距离
较难
2024年全国甲卷，5分
直线过定点问题
一般
2024年北京卷，5分
点到直线的距离、圆的方程
简单
名称
方程
适用范围
点斜式
不含垂直于轴的直线
斜截式
不含垂直于轴的直线
两点式
不含直线和直线
截距式
不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式
平面直角坐标系内的直线都适用