（辅导班）2027年高考数学一轮复习精讲精练 第6章 第01讲 直线的方程 讲义+随堂检测（2份，原卷版+教师版）

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知识点一：直线的倾斜角和斜率
1、直线的倾斜角
若直线与轴相交，则以轴正方向为始边，绕交点逆时针旋转直至与重合所成的角称为直线的倾斜角，通常用表示
（1）若直线与轴平行（或重合），则倾斜角为
（2）倾斜角的取值范围
2、直线的斜率
设直线的倾斜角为，则的正切值称为直线的斜率，记为
（1）当时，斜率不存在；所以竖直线是不存在斜率的
（2）所有的直线均有倾斜角，但是不是所有的直线均有斜率
（3）斜率与倾斜角都是刻画直线的倾斜程度，但就其应用范围，斜率适用的范围更广（与直线方程相联系）
（4）越大，直线越陡峭
（5）倾斜角与斜率的关系
当时，直线平行于轴或与轴重合；
当时，直线的倾斜角为锐角，倾斜角随的增大而增大；
当时，直线的倾斜角为钝角，倾斜角随的增大而减小；
3、过两点的直线斜率公式
已知直线上任意两点，，则
（1）直线的斜率是确定的，与所取的点无关．
（2）若，则直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°
4、三点共线．
两直线的斜率相等→三点共线；反过来，三点共线，则直线的斜率相等（斜率存在时）或斜率都不存在．
知识点二：直线的方程
1、直线的截距
若直线与坐标轴分别交于，则称分别为直线的横截距，纵截距
（1）截距：可视为直线与坐标轴交点的简记形式，其取值可正，可负，可为0（不要顾名思义误认为与“距离”相关）
（2）横纵截距均为0的直线为过原点的非水平非竖直直线
2、直线方程的五种形式
3、求曲线（或直线）方程的方法：
在已知曲线类型的前提下，求曲线（或直线）方程的思路通常有两种：
（1）直接法：寻找决定曲线方程的要素，然后直接写出方程，例如在直线中，若用直接法则需找到两个点，或者一点一斜率
（2）间接法：若题目条件与所求要素联系不紧密，则考虑先利用待定系数法设出曲线方程，然后再利用条件解出参数的值（通常条件的个数与所求参数的个数一致）
4、线段中点坐标公式
若点的坐标分别为且线段的中点的坐标为，则，此公式为线段的中点坐标公式．
5、两直线的夹角公式
若直线与直线的夹角为，则.
题型一：倾斜角与斜率的计算
【例1】已知是直线的倾斜角，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】法一：由题意可知，（为锐角），∴，
法二：由题意可知，（为锐角）∴，
．故选：B．
【变式1-1】已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可得：直线的斜率，即直线的倾斜角为.故选：A
【变式1-2】过两点，的直线的倾斜角是135°，则y等于（ ）
A．1 B．5 C． D．
【答案】D
【解析】由斜率公式得，且直线的倾斜角是135°，
所以，即，解得．故选：D.
【变式1-3】函数的图像上有一动点，则在此动点处切线的倾斜角的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设切线的倾斜角为，则，∵，
∴切线的斜率，则.故选：B
【解题方法总结】
正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的取值范围，熟记斜率公式，根据该公式求出经过两点的直线斜率，当时，直线的斜率不存在，倾斜角为，求斜率可用，其中为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互关联，不可分割．牢记“斜率变化分两段，是其分界，遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”．这可通过画正切函数在上的图像来认识．
题型二：三点共线问题
【例2】若三点，，共线，则实数的值是（ ）
A．6 B． C． D．2
【答案】C
【解析】因为三点，，共线，所以，可得：，
即，解得；故选：C
【变式2-1】若三点（2，2），（，0），（0，），（）共线，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【解析】因为三点（2，2），（，0），（0，），（）共线，所以，即，所以=，故选C．
【变式2-2】若平面内三点A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则a＝（ ）
A．1±或0 B．或0 C． D．或0
【答案】A
【解析】由题意知kAB＝kAC，即，即a(a2－2a－1)＝0，解得a＝0或a＝1±.故选：A．
【解题方法总结】
斜率是反映直线相对于轴正方向的倾斜程度的，直线上任意两点所确定的方向不变，即在同一直线上任意不同的两点所确定的斜率相等．这正是利用斜率可证三点共线的原因．
题型三：过定点的直线与线段相交问题
【例3】已知点.若直线与线段相交,则的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】D
【解析】由已知直线恒过定点,如图所示,若与线段相交,则,
因为,所以.故选:D.
【变式3-1】已知点和，直线与线段相交，则实数的取值范围是（ ）
A．或 B． C． D．
【答案】A
【解析】直线方程可整理为：，则直线恒过定点，
，，
直线与线段相交，直线的斜率或.故选：A.
【变式3-2】已知直线和以为端点的线段相交，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．或或
【答案】C
【解析】直线，即，其恒过定点，根据题意，作图如下：
数形结合可知，当直线过点时，其斜率取得最小值，当直线过点时，其斜率取得最大值，
故，解得.故选：C.
【变式3-3】在线段上运动，已知，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】表示线段上的点与连线的斜率，因为
所以由图可知的取值范围是．故答案为：
【解题方法总结】
一般地，若已知，过点作垂直于轴的直线，过点的任一直线的斜率为，则当与线段不相交时，夹在与之间；当与线段相交时，在与的两边．
题型四：直线的方程
【例4】过点且方向向量为的直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可知直线的斜率，由点斜式方程得，所求直线的方程为，即．故选：A
【变式4-1】过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【解析】解法一 当直线过原点时，满足题意，此时直线方程为，即；
当直线不过原点时，设直线方程为，因为直线过点，所以，解得，此时直线方程为.故选：
解法二 易知直线斜率不存在或直线斜率为0时不符合题意.设直线方程为，则时，，时，，由题意知，解得或，即直线方程为或.故选：
【变式4-2】已知过定点直线在两坐标轴上的截距都是正值，且截距之和最小，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】直线可变为，所以过定点，又因为直线在两坐标轴上的截距都是正值，可知，令，所以直线与轴的交点为，
令，所以直线与轴的交点为，所以，
当且仅当即时取等，所以此时直线为：.故选：C.
【变式4-3】已知直线的倾斜角为，且在轴上的截距为，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率，又直线在轴上的截距为，所以直线的方程为；故选：C
【解题方法总结】
要重点掌握直线方程的特征值（主要指斜率、截距）等问题；熟练地掌握和应用直线方程的几种形式，尤其是点斜式、斜截式和一般式．
题型五：直线与坐标轴围成的三角形问题
【例5】若一条直线经过点，并且与两坐标轴围成的三角形面积为1，则此直线的方程为 ．
【答案】或
【解析】由题意可知该直线不经过原点，且存在斜率且不为零，所以设直线方程为，因为该直线过点，所以有，因为该直线与两坐标轴围成的三角形面积为1，
所以有，或，当时，，或，
当时，，此时方程为：，
当时，，此时方程为：，
当时，，
故答案为：或
【变式5-1】已知直线l过点M(2,1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当△AOB面积最小时，直线l的方程为 .
【答案】x＋2y－4＝0
【解析】法一，利用截距式设出直线方程，再利用基本不等式求面积最小时的直线方程；法二显然存在，设(其中)求出坐标，然后求解三角形的面积，再利用基本不等式求解面积的最小值时的直线方程.法一 设直线l：，且a＞0，b＞0，因为直线l过点M(2,1)，所以，则≥，故ab≥8，故S△AOB的最小值为×ab＝×8＝4，当且仅当＝时取等号，此时a＝4，b＝2，故直线l：，即x＋2y－4＝0.
法二 设直线l的方程为y－1＝k(x－2)(k＜0)， ，B(0,1－2k)，
S△AOB＝ (1－2k) ＝≥ (4＋4)＝4，当且仅当－4k＝－ ，即k＝－时，等号成立，故直线l的方程为y－1＝－ (x－2)，即x＋2y－4＝0.
故答案为：.
【变式5-2】已知直线的方程为：．
(1)求证：不论为何值，直线必过定点；
(2)过点引直线，使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小，求的方程．
【解析】（1）证明：直线的方程为：
提参整理可得：．令，可得，
不论为何值，直线必过定点.
（2）设直线的方程为．
令 则，令．则，
直线与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积．
当且仅当，即时，三角形面积最小．
此时的方程为．
【变式5-3】在平面直角坐标系中，直线过定点，且与轴的正半轴交于点，与轴的正半轴交于点.
（1）当取得最小值时，求直线的方程；
（2）求面积的最小值.
【解析】（1）设直线的倾斜角为（为锐角），
由P点做x轴，y轴垂线，垂足分别为E，F，则PE=2，PF=3,
，则，
所以当时，取得最小值，此时直线的方程为；
（2）矩形OFPE面积为3×2=6，，，
当且仅当时取等号，所以面积的最小值为12.
【解题方法总结】
（1）由于已知直线的倾斜角（与斜率有关）及直线与坐标轴围成的三角形的面积（与截距有关），因而可选择斜截式直线方程，也可选用截距式直线方程，故有“题目决定解法”之说．
（2）在求直线方程时，要恰当地选择方程的形式，每种形式都具有特定的结论，所以根据已知条件恰当地选择方程的类型往往有助于问题的解决．例如：已知一点的坐标，求过这点的直线方程，通常选用点斜式，再由其他条件确定该直线在y轴上的截距；已知截距或两点，选择截距式或两点式．在求直线方程的过程中，确定的类型后，一般采用待定系数法求解，但要注意对特殊情况的讨论，以免遗漏．
题型六：两直线的夹角问题
【例6】直线与直线所成夹角的余弦值等于
【答案】
【解析】直线，即，则其斜率为，倾斜角为；直线，即，则其斜率，设直线的倾斜角为，则，
又，所以，所以，，而，
所以两直线的夹角为，又因为，则
所以，
故所求夹角的余弦值为.故答案为：.
【变式6-1】已知直线，则与的夹角大小是 .
【答案】
【解析】设直线与的夹角为（），因为，所以两直线的斜率分别为，所以，因为，所以，故答案为：
【变式6-2】两条直线，的夹角平分线所在直线的方程是 ．
【答案】
【解析】因为直线的倾斜角为，的倾斜角为，且
由解得两直线的交点坐标为，所以可设两直线夹角平分线所在直线的方程为：．∴，解得，即两直线夹角平分线所在直线的方程为：．故答案为：．
【解题方法总结】
若直线与直线的夹角为，则.
题型七：直线过定点问题
【例7】已知直线过定点A，直线过定点，与相交于点，则 ．
【答案】13
【解析】对于直线，即，令，则，则，可得直线过定点，对于直线，即，令，则，则，可得直线过定点，因为，则，即，
所以.故答案为：13.
【变式7-1】已知实数满足，则直线过定点 .
【答案】
【解析】由实数满足，可得,代入直线方程，可得，
联立方程组，解得，所以直线过定点.故答案为：.
【变式7-2】直的方程为，则该直线过定点 ．
【答案】
【解析】即，令得，直线过定点，
故答案为：
【变式7-3】若实数、、成等差数列，则直线必经过一个定点，则该定点坐标为 .
【答案】
【解析】因为实数、、成等差数列，所以，即，所以直线必过点.
故答案为：
【解题方法总结】
合并参数
题型八：轨迹方程
【例8】如图，在平行四边形中，点是原点，点和点的坐标分别是、，点是线段上的动点.
(1)求所在直线的一般式方程；
(2)当在线段上运动时，求线段的中点的轨迹方程.
【解析】（1），所在直线的斜率为：.
所在直线方程是，即；
（2）设点的坐标是，点的坐标是，由平行四边形的性质得点的坐标是，
是线段的中点，，，于是有，，
点在线段上运动，，
，即，由得，
线段的中点的轨迹方程为.
【变式8-1】如图，已知点是直线上任意一点，点是直线上任意一点，连接，在线段上取点使得.
(1)求动点的轨迹方程；
(2)已知点，是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.
【解析】（1）设，，，由，
，又，
得：，
把①②代入上式得，即为点的轨迹方程.
（2）设，由，得，又点满足，
联立得方程组，解得或.
故存在点满足条件，点的坐标为或.
【变式8-2】已知是坐标原点，.若点满足，其中，且，求点的轨迹方程.
【解析】设，则，，
，
即，解得，即
【解题方法总结】
（1）直接法：寻找决定曲线方程的要素，然后直接写出方程，例如在直线中，若用直接法则需找到两个点，或者一点一斜率
（2）间接法：若题目条件与所求要素联系不紧密，则考虑先利用待定系数法设出曲线方程，然后再利用条件解出参数的值（通常条件的个数与所求参数的个数一致）
题型九：中点公式
【例9】已知点A，B分别是直线和直线上的点，点P为的中点，设点P的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）过点的直线与曲线C，x轴分别交于点M，N，若点D为的中点，求直线的方程.
【解析】（1）设点，，，
因为点P为的中点，可得，，
又由，，
两式相加，可得，所以，即，
所以曲线C的方程为.
（2）根据题意，设，，
因为点为的中点，所以，解得，，
即，所以直线的方程为，整理得，
即直线的方程.
【变式9-1】已知直线.
(1)求证：直线经过定点，并求出定点P；
(2)经过点P有一条直线l，它夹在两条直线与之间的线段恰被P平分，求直线l的方程.
【解析】（1）证明：将直线l的方程改写为，
令，且，两式联立，解得，，所以直线过定点.
（2）如图，
设直线l夹在直线，之间的部分是AB，且AB被平分，
设点A，B的坐标分别是，，则有，，
又A，B两点分别在直线，上，所以，，
由以上四个式子解得，，即，所以直线AB的方程为.
【变式9-2】已知直线l：（2+m）x+（1+2m）y+4–3m=0．
（1）求证：不论m为何实数，直线l恒过一定点M；
（2）过定点M作一条直线l1，使夹在两坐标轴之间的线段被M点平分，求直线l1的方程．
【解析】（1）将直线l：（2+m）x+（1+2m）y+4–3m=0化为m（x+2y–3）+2x+y+4=0，
∴由题意，令，解得，∴直线l恒过定点M（）．
（2）设所求直线l1的方程为y–=k（x+），直线l1与x轴、y轴交于A、B两点，
则A（–，0）B（0，）．∵AB的中点为M，∴，解得k=．
∴所求直线l1的方程为y–（x+），即30x–33y+220=0．
所求直线l1的方程为30x–33y+220=0．
第01讲 直线的方程 随堂检测
1．直线的倾斜角是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意得，故倾斜角为.故选B.
2．直线绕原点顺时针旋转45°得到直线，若直线的倾斜角为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可得，求得 的值，再根据二倍角公式、同角三角函数的基本关系求得的值．由题意可知，，
，故选：．
3．若直线恒过点A，点A也在直线上，其中均为正数，则的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【解析】因为，则，令，解得，即直线恒过点.又因为点A也在直线上，则，可得，且，
则，即，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为.故选：B.
4．已知点在圆上，过作圆的切线，则的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意得，当的斜率不存在时，此时直线方程为，与圆相交，不合题意，当的斜率存在时，设切线的方程为，则，解得，设的倾斜角为，故的倾斜角为.故选：D
5．已知点在直线上的射影为点B，则点B到点距离的最大值为（ ）．
A． B．5 C． D．
【答案】C
【解析】将直线l整理得到，于是，解得，所以直线l恒过点，因为点在直线上的射影为点B，所以，则点B在以线段为直径的圆上，该圆的圆心坐标为，半径大小为，
又，所以点B到点距离的最大值为，故选：C．
6．已知点，与直线，若在直线上存在点，使得，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】对于直线，即，所以在直线上，
设，其中，由两边平方得，
即，整理得，
由于，所以，其中，
根据二次函数的性质可知，当时，取得最大值，
且最大值为，则，解得.故选：A
7．已知直线在x轴上的截距的取值范围是，则其斜率的取值范围是 ．
【答案】或.
【解析】由直线得：，令，解得，所以直线l过点，由题知，在x轴上的截距取值范围是，如图：所以端点处直线的斜率分别为，
所以或；故答案为：或.
8．经过点，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，则这条直线的方程为 .
【答案】或．
【解析】由题意，可知所求直线的斜率为．又过点，由点斜式得或．故答案为：或
9．已知一条直线经过点A（2,－），且它的倾斜角等于直线x－y＝0倾斜角的2倍，则这条直线的方程为 ；
【答案】x－y－3＝0
【解析】由已知得直线x－y＝0的斜率为，则其倾斜角为30°，故所求直线倾斜角为60°，斜率为，
故所求直线的方程为y-(－)＝，即x－y－3＝0．故答案为：x－y－3＝0
10．过点且在轴、轴上截距相等的直线方程为 .
【答案】或
【解析】由题知，若在轴、轴上截距均为，即直线过原点，又过，则直线方程为；
若截距不为，设在轴、轴上的截距为，则直线方程为，又直线过点，则，解得，所以此时直线方程为.故答案为：或
11．过点作直线分别交，的正半轴于，两点．

(1)求面积的最小值及相应的直线的方程；
(2)当取最小值时，求直线的方程；
(3)当取最小值时，求直线的方程．
【解析】（1）依题意设，，，
设直线的方程为，代入得，
所以，则，当且仅当，即、时取等号，
从而，当且仅当，即、时取等号，
此时直线的方程为，即，所以，此时直线的方程为．
（2）由（1）可得，所以，
当且仅当，即，时取等号，此时直线的方程为，
即．
（3）依题意直线的斜率存在且，设直线，
令，解得，令，解得，所以，，
则，当且仅当，即，即时，取最小值，此时直线的方程为．
名称
方程
适用范围
点斜式
不含垂直于轴的直线
斜截式
不含垂直于轴的直线
两点式
不含直线和直线
截距式
不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式
平面直角坐标系内的直线都适用