专题7.5 空间向量及其运算（七类核心考点）讲义-2026年高考数学一轮复习【重点•难点突破】

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二、课程标准•考情分析6
【课程标准】6
【考情分析】6
【2026考向预测】6
三、知识点•逐点夯实6
知识点1、空间向量及加减运算6
知识点2、空间向量的数乘运算7
知识点3、空间向量的数量积运算8
知识点4、空间向量的坐标运算及应用9
知识点5、法向量的求解及简单应用9
知识点6、空间角公式10
知识点7、空间中的距离11
四、重点难点•分类突破12
考点1 空间向量的加法、减法与数乘运算12
考点2 空间向量的线性运算12
考点3 空间向量的数量积运算与投影向量13
考点4 三点共线问题14
考点5 求点面距、线面距与面面距14
考点6 证明平行与垂直16
考点7 求异面直线的夹角17
考点8 求直线与平面所成角18
考点9 求二面角20
五、必考题型•分层训练23
A、基础保分23
B、综合提升27
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一、5年高考•真题感悟
1．（2024·上海·高考真题）定义一个集合，集合中的元素是空间内的点集，任取，存在不全为0的实数，使得．已知，则的充分条件是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全国甲卷·高考真题）已知四棱锥的底面是边长为4的正方形，，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·全国一卷·高考真题）（多选题）在正三棱柱中，D为BC的中点，则（ ）
A． B．平面 C． D．平面
4．（2024·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）（多选题）在正三棱柱中，，点满足，其中，，则（ ）
A．当时，的周长为定值 B．当时，三棱锥的体积为定值
C．当时，有且仅有一个点，使得D．当时，有且仅有一个点，使得平面
5．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF翻折至，使得．
(1)证明：；
(2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值．
6．（2025·全国一卷·高考真题）如图,在四棱锥中，底面，．
(1)证明：平面平面；
(2)设，且点，，，均在球的球面上．
（i）证明：点在平面内；
（ⅱ）求直线与所成角的余弦值．
7．（2024·全国甲卷·高考真题）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，，，，为的中点．
(1)证明：平面；
(2)求二面角的正弦值．
8．（2025·全国二卷·高考真题）如图，在四边形中，，F为CD的中点，点E在AB上，，.将四边形沿翻折至四边形，使得面与面EFCB所成的二面角为．
(1)证明：平面；
(2)求面与面所成的二面角的正弦值．
9．（2025·天津·高考真题）正方体的棱长为4，分别为中点，．
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)求三棱锥的体积．
10．（2025·北京·高考真题）如图，在四棱锥中，与均为等腰直角三角形，，E为BC的中点．
(1)若分别为的中点，求证：平面PAB；
(2)若平面ABCD，，求直线AB与平面PCD所成角的正弦值．
二、课程标准•考情分析
【课程标准】
（1）了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.
（2）掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.
（3）理解直线的方向向量及平面的法向量，能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理．
（4）能用向量法解决异面直线、直线与平面、平面与平面的夹角问题，并能描述解决这一类问题的程序，体会向量法在研究空间角问题中的作用．
【5年考情分析】
【2026考向预测】
空间向量解立体几何一般以解答题形式为主,每年必考,一般15分.以解答题为主,难度中等,可灵活选择运用向量方法与综合几何方法,从不同角度解决立体几何问题,通过对比体会向量方法的优越性.选择题和填空题一般不用空间向量法.但要理解向量基本定理的本质,感悟“基底”的思想,并运用它解决立体几何中的问题.
三、知识点•逐点夯实
知识点一：空间向量及其加减运算
（1）空间向量
在空间，我们把具有 和 的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的 ．空间向量也可用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，若向量的起点是，终点是，则向量也可以记作，其模记为或．
（2）零向量与单位向量
规定 的向量叫做零向量，记作 ．当有向线段的起点与终点重合时，．
模为1的向量称为 ．
（3）相等向量与相反向量
方向 且 的向量称为相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量．空间任意两个向量都可以平移到同一个平面，成为同一平面内的两个向量．
与向量长度相等而方向相反的向量，称为的相反向量，记为．
（4）空间向量的加法和减法运算
①，．如图所示．
②空间向量的加法运算满足交换律及结合律
，
知识点二：空间向量的数乘运算
（1）数乘运算
实数与空间向量的乘积称为向量的数乘运算．当时，与向量方向 ；当时，向量与向量方向 ．的长度是的长度的 倍．
（2）空间向量的数乘运算满足分配律及结合律，．
（3）共线向量与平行向量
如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，平行于，记作．
（4）共线向量定理
对空间中任意两个向量，，的充要条件是存在实数，使 ．
（5）直线的方向向量
如图8-153所示，为经过已知点且平行于已知非零向量的直线．对空间任意一点，点在直线上的充要条件是存在实数，使①，其中向量叫做直线的方向向量，在上取，则式①可化为②
①和②都称为空间直线的向量表达式，当，即点是线段的中点时，，此式叫做线段的中点公式．
（6）共面向量
如图8-154所示，已知平面与向量，作，如果直线平行于平面或在平面内，则说明向量平行于平面．平行于同一平面的向量，叫做共面向量．
（7）共面向量定理
如果两个向量，不共线，那么向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使．
推论：①空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使 ；或对空间任意一点，有 ，该式称为空间平面的向量表达式．
②已知空间任意一点和不共线的三点，，，满足向量关系式 （其中）的点与点，，共面；反之也成立．
知识点三：空间向量的数量积运算
（1）两向量夹角
已知两个非零向量，，在空间任取一点，作，，则叫做向量，的夹角，记作，通常规定，如果，那么向量，互相垂直，记作．
（2）数量积定义
已知两个非零向量，，则 叫做，的数量积，记作，即．零向量与任何向量的数量积为0，特别地，．
（3）空间向量的数量积满足的运算律：，；．
知识点四：空间向量的坐标运算及应用
（1）设，，则；
；；；
；．
（2）设，，则．
这就是说，一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示该向量的有向线段的终点的坐标减起点的坐标．
（3）两个向量的夹角及两点间的距离公式．
①已知，，则；；
；；
②已知，，则，
或者．其中表示与两点间的距离，这就是空间两点的距离公式．
（4）向量在向量上的投影为．
知识点五：法向量的求解与简单应用
（1）平面的法向量：
如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作，如果，那么向量叫做平面的法向量．
（2）判定直线、平面间的位置关系
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①直线与直线的位置关系：不重合的两条直线，的方向向量分别为，．
若∥，即，则；若，即，则．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②直线与平面的位置关系：直线的方向向量为，平面的法向量为，且．
若∥，即，则；若，即，则．
（3）平面与平面的位置关系
平面的法向量为，平面的法向量为．
若∥，即，则；若⊥，即，则⊥．
知识点六：空间角公式．
（1）异面直线所成角公式：设，分别为异面直线，上的方向向量，为异面直线所成角的大小，则．
（2）线面角公式：设为平面的斜线，为的方向向量，为平面的法向量，为
与所成角的大小，则．
（3）二面角公式：
设，分别为平面，的法向量，二面角的大小为，则或（需要根据具体情况判断相等或互补），其中．
知识点七：空间中的距离
求解空间中的距离
（1）异面直线间的距离：两条异面直线间的距离也不必寻找公垂线段，只需利用向量的正射影性质直接计算．
如图，设两条异面直线的公垂线的方向向量为，这时分别在上任取两点，则向量在上的正射影长就是两条异面直线的距离．则即两异面直线间的距离，等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值．
（2）点到平面的距离
为平面外一点（如图），为平面的法向量，过作平面的斜线及垂线．
四、重点难点•分类突破
考点1 空间向量的加法、减法与数乘运算
例1、（2024·江苏·模拟预测）已知空间向量，，若，则（ ）
A．4B．6C．D．
例2、（2025·上海徐汇·二模）在空间直角坐标系中，向量若，则 .
【变式训练1】、（2025·广东惠州·三模）已知空间向量满足，则（ ）
A．B．1C．0D．
【变式训练2】、（2024·上海徐汇·一模）已知向量，若，则实数的值为 .
考点2 空间向量的线性运算
例3、（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知空间中有5个点、、、、，若满足，且、、、四点共面，则的值为（ ）
A．B．C．D．
例4、（2025·全国·模拟预测）已知正方体，设向量，则（ ）
A．B．C．D．
【变式训练3】、如图，在平行六面体中，M为与的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）
A．B．
C．D．
【变式训练4】、（2025·湖北武汉·二模）在三棱柱中，设，，，，分别为，的中点，则（ ）
A．B．C．D．
考点3 空间向量的数量积运算与投影向量
例5、（2025·湖北襄阳·二模）已知空间向量，平面的一个法向量为，则向量在平面上的投影向量是（ ）
A．B．C．D．
例6、（23-24高三上·上海·期中）若向量，，则在方向上的投影向量的坐标为 ．
【变式训练5】、已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练6】、已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是 ．
考点4 三点共线问题
例7、（2023·贵州六盘水·模拟预测）已知，，不共面，若，，且三点共线，则（ ）
A．0B．1C．2D．3
例8、设是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且三点共线，则实数k的值为 ．
【变式训练7】、（2023·河北·模拟预测）在空间直角坐标系中，，若三点共线，则 .
【变式训练8】、向量,,若与共线,则 , .
考点5 求点面距、线面距与面面距
例9、（2023·广东惠州·模拟预测）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，底面ABCD，，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点．
(1)证明：平面平面PBC；
(2)若直线AF与平面PAB所成的角的余弦值为，求点P到平面AEF的距离．
例10、已知是平面的法向量，点在平面内，则点到平面的距离为 .
例11、（2024·江西新余·模拟预测）已知，直线过原点且平行于，则到的距离为（ ）.
A．B．1C．D．
【变式训练9】、在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段AB的中点，则直线FC到平面的距离为 ．
【变式训练10】、（2024·河北沧州·二模）已知四面体满足，则点到平面的距离为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练11】、（2024·江苏南通·一模）如图，在直三棱柱中，D，E，F分别为AB，BC，的中点．

(1)证明：平面；
(2)若，，，求点E到平面的距离．
考点6 证明平行与垂直
例12、（2024·黑龙江·三模）如图，在直三棱柱中，，，为的中点.
(1)证明：平面；
(2)若二面角的余弦值为，求点到平面的距离.
【变式训练11】、（2024·吉林·模拟预测）如图所示，半圆柱与四棱锥拼接而成的组合体中，是半圆弧上（不含）的动点，为圆柱的一条母线，点在半圆柱下底面所在平面内，.
(1)求证：；
(2)若平面，求平面与平面夹角的余弦值；
(3)求点到直线距离的最大值.
【变式训练12】、（2025·黑龙江哈尔滨·一模）如图，在四棱锥中，平面，是线段上的动点.
(1)当是线段中点时，求证：平面；
(2)设是的中点，当二面角的余弦值为时，求点到平面的距离.
考点7 求异面直线的夹角
例13、（2024·湖北武汉·模拟预测）已知菱形，，将沿对角线折起，使以四点为顶点的三棱锥体积最大，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
例14、（2024·辽宁沈阳·模拟预测）已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练13】、已知正四面体内接于半径为的球中，在平面内有一动点，且满足，则的最小值是 ；直线与直线所成角的取值范围为 .
【变式训练14】、（23-24高二上·江苏苏州·期末）已知圆台的高为2，上底面圆的半径为2，下底面圆的半径为4，，两点分别在圆、圆上，若向量与向量的夹角为60°，则直线与直线所成角的大小为 ．
考点8 求直线与平面所成角
例15、如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．
（1）证明：l⊥平面PDC；
（2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．
例16、如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，M，N分别为的中点，.
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【变式训练15】、如图，直三棱柱中，，是的中点，是的中点．
(1)证明：直线直线;
(2)求直线与平面所成的角的大小．
【变式训练16】、（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，，，点，分别为和的中点．
(1)证明：；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值．
考点9 求二面角
例17、（2025·云南大理·模拟预测）如图，在四棱锥中，四边形是梯形，其中，，，，平面平面.

(1)证明：平面，
(2)若，求平面和平面夹角的正弦值.
例18、（2025·山东泰安·模拟预测）在四棱锥中，底面为矩形，平面，，是的中点.
(1)证明：平面；
(2)求二面角的余弦值.
【变式训练17】、（2025·浙江宁波·一模）如图，在四棱锥中，平面平面，底面ABCD是直角梯形，，，且，E为CD的中点，F为线段PD上的点，.
(1)证明：平面；
(2)若，点M是AB的中点，求平面与平面夹角的余弦值.
【变式训练18】、（2025·广东佛山·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面，且是矩形，是的中点，过作交于点．
(1)证明：平面；
(2)若与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值．
五、分层训练
一、单选题
1．（2025·辽宁鞍山·一模）已知向量，，则（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高二上·湖南·开学考试）已知空间向量，，若，则（ ）
A．1B．C．D．3
3．在正三棱锥中，O为外接圆圆心，则（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023·江苏淮安·模拟预测）在四面体中，，，，，则的值为（ ）
A．7B．9C．11D．13
5．（2023·山西晋中·三模）已知点P在棱长为2的正方体的表面上运动，则的最大值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
6．（2025·四川·二模）已知空间中向量=（0，1，0），向量的单位向量为（），则点B到直线AC的距离为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
7．（24-25高二上·全国·课后作业）（多选）将正方形沿折叠如图所示，其中点分别为的中点，点将线段三等分，则（ ）

A．B．
C．D．
三、填空题
8．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）直三棱柱中，为边中点，则异面直线与所成角的余弦值为 .
四、解答题
9．（2023·山东·三模）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，为底面圆的内接正三角形，且边长为，点在母线上，且，．

(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面
(3)若点为线段上的动点．当直线与平面所成角的正弦值最大时，求此时点到平面的距离．
10．如图，直四棱柱的底面为平行四边形，分别为的中点.
(1)证明：平面；
(2)若底面为矩形，，异面直线与所成角的余弦值为，求到平面的距离.
11．（23-24高三下·浙江宁波·阶段练习）已知四棱锥的底面是直角梯形，，，，，为的中点，.
(1)证明：平面平面；
(2)若与平面所成的角为，过点作平面的垂线，垂足为，求点到平面的距离.
12．如图，在三棱锥中，，，为的中点．
（1）证明：平面；
（2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值．
13．（2025·河北·一模）如图，在几何体中，底面为平行四边形， 平面⊥平面.

(1)证明:四边形为菱形;
(2)若，且，，求平面与平面的夹角的正弦值.
14．（2025·江西萍乡·一模）如图，在平行四边形ABCD中，，，E为CD的中点，沿AE将翻折至的位置得到四棱锥，且.若F为棱PB的中点，则点F到平面PCE的距离为（ ）
A．B．C．D．
15．（2024高三下·全国·专题练习）如图，正三棱锥的高为2，，E，F分别为MB，MC的中点，则异面直线AE与BF所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
16．（23-24高二下·山西长治·阶段练习）（多选题）如图，在正三棱柱中，为空间一动点，若，则（ ）

A．若，则点的轨迹为线段
B．若，则点的轨迹为线段
C．存在，使得
D．存在，使得平面
17．在三棱锥中，平面平面ACD，O是AD的中点，若棱长，且，则点D到平面ABC的距离为 ，点O到平面ABC的距离为 .
5年考情分析
考题示例
考点分析
难易程度（简单、一般、较难、很难）
2025年新I卷，15分
求异面直线形成的夹角
一般
2025年新Ⅱ卷，15分
二面角的计算
一般
2025年北京卷，12分
线面角的向量求法
简单
2025年天津卷，12分
面面角的向量求法
简单
2024年天津卷，12分
面面角、点到平面距离的向量求法
一般
2024年新Ⅱ卷，15分
二面角的向量求法
一般