第九章 9.1直线的方-2021届高三数学一轮基础复习讲义（学生版+教师版）【机构专用】

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第1课时


进门测



判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．(　√　)
(2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．(　×　)
(3)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．(　×　)
(4)直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.(　×　)
(5)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．(　×　)
(6)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．(　√　)

作业检查


无
第2课时


阶段训练


题型一　直线的倾斜角与斜率
例1　(1)已知直线l的倾斜角为α，斜率为k，那么“α>”是“k>”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为 ．
答案　(1)B　(2)(－∞，－]∪[1，＋∞)
解析　(1)当<α<π时，k<0；
当k>时，<α<.
所以“α>”是“k>”的必要不充分条件，故选B.
(2)如图，

∵kAP＝＝1，
kBP＝＝－，
∴k∈(－∞，－ ]∪[1，＋∞)．
引申探究
1．若将题(2)中P(1,0)改为P(－1,0)，其他条件不变，求直线l斜率的取值范围．
解　∵P(－1,0)，A(2,1)，B(0，)，
∴kAP＝＝，
kBP＝＝.
如图可知，直线l斜率的取值范围为.

2．若将题(2)中的B点坐标改为(2，－1)，其他条件不变，求直线l倾斜角的范围．
解　如图，直线PA的倾斜角为45°，
直线PB的倾斜角为135°，
由图象知l的倾斜角的范围为[0°，45°]∪[135°，180°)．

思维升华　直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分与两种情况讨论．由正切函数图象可以看出，当α∈时，斜率k∈[0，＋∞)；当α＝时，斜率不存在；当α∈时，斜率k∈(－∞，0)．
　已知过定点P(2,0)的直线l与曲线y＝相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取到最大值时，直线l的倾斜角为(　　)
A．150° B．135° C．120° D．不存在
答案　A
解析　由y＝得x2＋y2＝2(y≥0)，它表示以原点O为圆心，以为半径的圆的一部分，其图象如图所示．

显然直线l的斜率存在，
设过点P(2,0)的直线l为y＝k(x－2)，则圆心到此直线的距离d＝，
弦长|AB|＝2 ＝2，
所以S△AOB＝××2
≤＝1，
当且仅当(2k)2＝2－2k2，即k2＝时等号成立，
由图可得k＝－(k＝舍去)，故直线l的倾斜角为150°.
题型二　求直线的方程
例2　根据所给条件求直线的方程：
(1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为；
(2)直线过点(5,10)，到原点的距离为5；
(3)过点A(－5，－4)作直线l，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为5，求直线l的方程．
解　(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式．
设倾斜角为α，则sin α＝(0<α<π)，
从而cos α＝±，则k＝tan α＝±.
故所求直线方程为y＝±(x＋4)．
即x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0.
(2)当斜率不存在时，所求直线方程为x－5＝0；
当斜率存在时，设其为k，
则所求直线方程为y－10＝k(x－5)，
即kx－y＋(10－5k)＝0.
由点到直线的距离公式，得＝5，解得k＝.
故所求直线方程为3x－4y＋25＝0.
综上知，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0.
(3)由已知，l的两截距不为0，
设l的方程为＋＝1，
则解得或
∴直线l的方程为－＝1或＋＝1，
即2x－5y－10＝0或8x－5y＋20＝0.
思维升华　在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件．用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线．故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．
　求适合下列条件的直线方程：
(1)经过点P(3,2)且在两坐标轴上的截距相等；
(2)过点A(－1，－3)，斜率是直线y＝3x的斜率的－倍；
(3)过点A(1，－1)与已知直线l1：2x＋y－6＝0相交于B点且|AB|＝5.
解　(1)设直线l在x，y轴上的截距均为a，
若a＝0，即l过点(0,0)和(3,2)，
∴l的方程为y＝x，即2x－3y＝0.
若a≠0，则设l的方程为＋＝1，
∵l过点(3,2)，∴＋＝1，
∴a＝5，∴l的方程为x＋y－5＝0，
综上可知，直线l的方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0.
(2)设所求直线的斜率为k，依题意k＝－×3＝－.
又直线经过点A(－1，－3)，
因此所求直线方程为y＋3＝－(x＋1)，
即3x＋4y＋15＝0.
(3)过点A(1，－1)与y轴平行的直线为x＝1.
解方程组
求得B点坐标为(1,4)，此时|AB|＝5，
即x＝1为所求．
设过A(1，－1)且与y轴不平行的直线为
y＋1＝k(x－1)，
解方程组
得两直线交点为(k≠－2，否则与已知直线平行)，
则B点坐标为(，)．
∴(－1)2＋(＋1)2＝52，
解得k＝－，∴y＋1＝－(x－1)，
即3x＋4y＋1＝0.
综上可知，所求直线方程为x＝1或3x＋4y＋1＝0.
题型三　直线方程的综合应用
命题点1　与基本不等式相结合求最值问题
例3　已知直线l过点P(3,2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，如图所示，求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程．

解　方法一　设直线方程为＋＝1(a>0，b>0)，
把点P(3,2)代入得＋＝1≥2，得ab≥24，
从而S△AOB＝ab≥12，当且仅当＝时等号成立，这时k＝－＝－，从而所求直线方程为2x＋3y－12＝0.
方法二　依题意知，直线l的斜率k存在且k<0.
则直线l的方程为y－2＝k(x－3)(k<0)，
且有A，B(0,2－3k)，
∴S△ABO＝(2－3k)＝
≥
＝×(12＋12)＝12.
当且仅当－9k＝，即k＝－时，等号成立．
即△ABO的面积的最小值为12.
故所求直线的方程为2x＋3y－12＝0.
命题点2　由直线方程解决参数问题
例4　已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0＜a＜2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数a的值．
解　由题意知直线l1，l2恒过定点P(2,2)，直线l1在y轴上的截距为2－a，直线l2在x轴上的截距为a2＋2，所以四边形的面积S＝×2×(2－a)＋×2×(a2＋2)＝a2－a＋4＝2＋，当a＝时，面积最小．
思维升华　与直线方程有关问题的常见类型及解题策略
(1)求解与直线方程有关的最值问题．先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．
(2)求直线方程．弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程．
(3)求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解．
　直线l过点P(1,4)，分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于A，B两点，O为坐标原点，当|OA|＋|OB|最小时，求直线l的方程．
解　依题意，直线l的斜率存在且斜率为负，
设直线l的斜率为k，
则直线l的方程为y－4＝k(x－1)(k<0)．
令y＝0，可得A(1－，0)；
令x＝0，可得B(0,4－k)．
|OA|＋|OB|＝(1－)＋(4－k)
＝5－(k＋)
＝5＋(－k＋)≥5＋4＝9.
∴当且仅当－k＝且k<0，
即k＝－2时，|OA|＋|OB|取最小值．
这时直线l的方程为2x＋y－6＝0.


第3课时


阶段重难点梳理



1．直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.
(2)范围：直线l倾斜角的范围是[0°，180°)．
2．斜率公式
(1)若直线l的倾斜角α≠90°，则斜率k＝tan α.
(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上且x1≠x2，则l的斜率k＝.
3．直线方程的五种形式
名称
方程
适用范围
点斜式
y－y0＝k(x－x0)
不含直线x＝x0
斜截式
y＝kx＋b
不含垂直于x轴的直线
两点式
＝
不含直线x＝x1 (x1≠x2)和
直线y＝y1 (y1≠y2)
截距式
＋＝1
不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式
Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)
平面直角坐标系内的直线都适用

【知识拓展】
1．直线系方程
(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．
(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋m＝0(m∈R)．
2．两直线平行或重合的充要条件
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行或重合的充要条件是A1B2－A2B1＝0.
3．两直线垂直的充要条件
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件是A1A2＋B1B2＝0.

重点题型训练




典例　设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．
(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；
(2)若l在两坐标轴上的截距互为相反数，求a.
错解展示

现场纠错
解　(1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，∴a＝2，方程即为3x＋y＝0.
当直线不经过原点时，截距存在且均不为0.
∴＝a－2，即a＋1＝1.
∴a＝0，方程即为x＋y＋2＝0.
综上，直线l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.
(2)由＝－(a－2)得a－2＝0或a＋1＝－1，
∴a＝2或a＝－2.
纠错心得　在求与截距有关的直线方程时，注意对直线的截距是否为零进行分类讨论，防止忽视截距为零的情形，导致产生漏解.
1．过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为(　　)
A．1 B．4
C．1或3 D．1或4
答案　A
解析　依题意得＝1，解得m＝1.
2．直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是(　　)
A．[0，] B．[，π)
C．[0，]∪(，π) D．[，)∪[，π)
答案　B
解析　由直线方程可得该直线的斜率为－，
又－1≤－<0，
所以倾斜角的取值范围是[，π)．
3．如果A·C<0且B·C<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案　C
解析　由已知得直线Ax＋By＋C＝0在x轴上的截距－>0，在y轴上的截距－>0，故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限．
4．直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则实数a＝ .
答案　1或－2
解析　令x＝0，得直线l在y轴上的截距为2＋a；
令y＝0，得直线l在x轴上的截距为1＋，
依题意2＋a＝1＋，解得a＝1或a＝－2.
作业布置



1．若直线y＝－2x＋3k＋14与直线x－4y＝－3k－2的交点位于第四象限，则实数k的取值范围是(　　)
A．－6 C．k<－6 D．k>－2
答案　A
解析　解方程组得
因为直线y＝－2x＋3k＋14与直线x－4y＝－3k－2的交点位于第四象限，
所以k＋6>0且k＋2<0，所以－6 2．过点(2,1)且倾斜角比直线y＝－x－1的倾斜角小的直线方程是(　　)
A．x＝2 B．y＝1
C．x＝1 D．y＝2
答案　A
解析　∵直线y＝－x－1的斜率为－1，则倾斜角为，
依题意，所求直线的倾斜角为－＝，
∴斜率不存在，∴过点(2,1)的所求直线方程为x＝2.
3．直线mx－y＋2m＋1＝0经过一定点，则该定点的坐标是(　　)
A．(－2,1) B．(2,1)
C．(1，－2) D．(1,2)
答案　A
解析　mx－y＋2m＋1＝0，即m(x＋2)－y＋1＝0.
令得
故定点坐标为(－2,1)．
4．已知两点M(2，－3)，N(－3，－2)，直线l过点P(1,1)且与线段MN相交，则直线l的斜率k的取值范围是(　　)
A．k≥或k≤－4 B．－4≤k≤
C.≤k≤4 D．－≤k≤4
答案　A
解析　如图所示，

∵kPN＝＝，
kPM＝＝－4.
∴要使直线l与线段MN相交，
当l的倾斜角小于90°时，k≥kPN；
当l的倾斜角大于90°时，k≤kPM，
由已知得k≥或k≤－4.
5．直线ax＋by＋c＝0同时要经过第一、二、四象限，则a，b，c应满足(　　)
A．ab>0，bc<0
B．ab>0，bc>0
C．ab<0，bc>0
D．ab<0，bc<0
答案　A
解析　由于直线ax＋by＋c＝0经过第一、二、四象限，
所以直线存在斜率，将方程变形为y＝－x－.
易知－<0且－>0，故ab>0，bc<0.
6.如图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则 (　　)

A．k1＜k2＜k3
B．k3＜k1＜k2
C．k3＜k2＜k1
D．k1＜k3＜k2
答案　D
解析　直线l1的倾斜角α1是钝角，故k1＜0，直线l2与l3的倾斜角α2与α3均为锐角且α2＞α3，所以0＜k3＜k2，因此k1＜k3＜k2，故选D.
7．已知A(3,0)，B(0,4)，直线AB上一动点P(x，y)，则xy的最大值是 ．
答案　3
解析　直线AB的方程为＋＝1，
∵动点P(x，y)在直线AB上，则x＝3－y，
∴xy＝3y－y2＝(－y2＋4y)
＝[－(y－2)2＋4]≤3.
即当P点坐标为时，xy取最大值3.
8．直线l过点(－2,2)且与x轴，y轴分别交于点(a,0)，(0，b)，若|a|＝|b|，则直线l的方程为 ．
答案　x＋y＝0或x－y＋4＝0
解析　若a＝b＝0，则直线l过点(0,0)与(－2,2)，
直线l的斜率k＝－1，直线l的方程为y＝－x，即x＋y＝0.
若a≠0，b≠0，则直线l的方程为＋＝1，
由题意知解得
此时，直线l的方程为x－y＋4＝0.
9．直线l：ax＋(a＋1)y＋2＝0的倾斜角大于45°，则a的取值范围是 ．
答案　(－∞，－)∪(0，＋∞)
解析　当a＝－1时，直线l的倾斜角为90°，符合题意．
当a≠－1时，直线l的斜率k＝－，
由题意知－>1或－<0，
解得－10.
综上知，a<－或a>0.
10．函数y＝a1－x(a>0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在mx＋ny－1＝0(mn>0)上，则＋的最小值为 ．
答案　4
解析　∵函数y＝a1－x(a>0，a≠1)的图象恒过定点A(1,1)．
∴把A(1,1)代入直线方程得m＋n＝1(mn>0)．
∴＋＝(＋)·(m＋n)＝2＋＋≥4
(当且仅当m＝n＝时取等号)，
∴＋的最小值为4.
11．已知两点A(－1,2)，B(m,3)．
(1)求直线AB的方程；
(2)已知实数m∈[－－1，－1]，求直线AB的倾斜角α的取值范围．
解　(1)当m＝－1时，直线AB的方程为x＝－1，
当m≠－1时，直线AB的方程为y－2＝(x＋1)．
即x－(m＋1)y＋2m＋3＝0.
(2)①当m＝－1时，α＝；
②当m≠－1时，m＋1∈[－，0)∪(0，]，
∴k＝∈(－∞，－]∪[，＋∞)，
∴α∈[，)∪(，]．
综合①②知，直线AB的倾斜角α∈[，]．
12．已知点P(2，－1)．
(1)求过点P且与原点的距离为2的直线l的方程；
(2)求过点P且与原点的距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？
(3)是否存在过点P且与原点的距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．
解　(1)过点P的直线l与原点的距离为2，而点P的坐标为(2，－1)，显然，过点P(2，－1)且垂直于x轴的直线满足条件，
此时直线l的斜率不存在，其方程为x＝2.
若斜率存在，设l的方程为y＋1＝k(x－2)，
即kx－y－2k－1＝0.
由已知得＝2，
解得k＝.
此时l的方程为3x－4y－10＝0.
综上可得直线l的方程为x＝2或3x－4y－10＝0.
(2)作图可得过点P与原点O的距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线，如图所示．

由l⊥OP，得klkOP＝－1，
所以kl＝－＝2.
由直线方程的点斜式，
得y＋1＝2(x－2)，
即2x－y－5＝0.
所以直线2x－y－5＝0是过点P且与原点O的距离最大的直线，最大距离为＝.
(3)由(2)可知，过点P不存在到原点的距离超过的直线，因此不存在过点P且到原点的距离为6的直线．
*13.如图，射线OA、OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P(1,0)作直线AB分别交OA、OB于A、B两点，当AB的中点C恰好落在直线y＝x上时，求直线AB的方程．

解　由题意可得kOA＝tan 45°＝1，
kOB＝tan(180°－30°)＝－，
所以直线lOA：y＝x，lOB：y＝－x.
设A(m，m)，B(－n，n)，
所以AB的中点C，
由点C在直线y＝x上，且A、P、B三点共线得
解得m＝，所以A(，)．
又P(1,0)，所以kAB＝kAP＝＝，
所以lAB：y＝(x－1)，
即直线AB的方程为(3＋)x－2y－3－＝0.