新高考数学一轮复习讲义9.1《直线的方程》(2份打包，解析版+原卷版)

§9.1　直线的方程

1．直线的倾斜角

(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l      之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴      时，规定它的倾斜角为0°.

(2)范围：直线l倾斜角的范围是      ．

2．斜率公式

(1)若直线l的倾斜角α≠90°，则斜率k＝      .

(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上且x1≠x2，则l的斜率k＝.

3．直线方程的五种形式

概念方法微思考

1．直线都有倾斜角，是不是都有斜率？倾斜角越大，斜率k就越大吗？

2．“截距”与“距离”有何区别？当截距相等时应注意什么？

题组一　思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．(　 　)

(2)若直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.(　 　)

(3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．(　 　)

(4)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．(　　)

题组二　教材改编

2．[P86T3]若过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为(　　)

A．1  B．4  C．1或3  D．1或4

3．[P100A组T9]过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为                ．

题组三　易错自纠

4．(2018·石家庄模拟)直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是(　　)

A.   B.

C.∪   D.∪

5．如果A·C<0且B·C<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过(　　)

A．第一象限   B．第二象限

C．第三象限   D．第四象限

6．过直线l：y＝x上的点P(2,2)作直线m，若直线l，m与x轴围成的三角形的面积为2，则直线m的方程为            ．

题型一　直线的倾斜角与斜率

例1 (1)直线xsin α＋y＋2＝0的倾斜角的范围是(　　)

A．[0，π)   

B.∪

B．   

D.∪

(2)直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为                  ．

引申探究

1．若将本例(2)中P(1,0)改为P(－1,0)，其他条件不变，求直线l斜率的取值范围．

2．若将本例(2)中的B点坐标改为(2，－1)，其他条件不变，求直线l倾斜角的取值范围．

跟踪训练1 (1)若平面内三点A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则a等于(　　)

A．1±或0   

B.或0

C.   

D.或0

(2)直线l经过A(3,1)，B(2，－m2)(m∈R)两点，则直线l的倾斜角α的取值范围是              ．

题型二　求直线的方程

例2 求适合下列条件的直线方程：

(1)经过点P(3,2)，且在两坐标轴上的截距相等；

(2)过点A(－1，－3)，斜率是直线y＝3x的斜率的－；

(3)过点A(1，－1)与已知直线l1：2x＋y－6＝0相交于B点且|AB|＝5.

跟踪训练2 根据所给条件求直线的方程：

(1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为；

(2)经过点P(4,1)，且在两坐标轴上的截距相等；

(3)直线过点(5,10)，到原点的距离为5.

题型三　直线方程的综合应用

命题点1　与基本不等式相结合求最值问题

例3 (2018·济南模拟)已知直线l过点M(2,1)，且与x轴、y轴的正半轴分别相交于A，B两点，O为坐标原点，求当||·||取得最小值时直线l的方程．

命题点2　由直线方程解决参数问题

例4 已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0<a<2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数a的值．

跟踪训练3 过点P(4,1)作直线l分别交x轴，y轴正半轴于A，B两点，O为坐标原点．

(1)当△AOB面积最小时，求直线l的方程；

(2)当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l的方程．

一、选择题

1．直线x－y＋a＝0(a为常数)的倾斜角为(　　)

A．30°  B．60°  C．150°  D．120°

2．(2018·海淀模拟)过点(2,1)且倾斜角比直线y＝－x－1的倾斜角小的直线方程是(　　)

A．x＝2  B．y＝1  C．x＝1  D．y＝2

3．已知过定点P(2,0)的直线l与曲线y＝相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取到最大值时，直线l的倾斜角为(　　)

A．150°  B．135°  C．120°  D．不存在

4．在同一平面直角坐标系中，直线l1：ax＋y＋b＝0和直线l2：bx＋y＋a＝0有可能是(　　)

5．直线MN的斜率为2，其中点N(1，－1)，点M在直线y＝x＋1上，则(　　)

A．M(5,7)  B．M(4,5)  C．M(2,1)  D．M(2,3)

6．已知两点M(2，－3)，N(－3，－2)，直线l过点P(1,1)且与线段MN相交，则直线l的斜率k的取值范围是(　　)

A．k≥或k≤－4   B．－4≤k≤

C.≤k≤4   D．－≤k≤4

7．(2018·焦作期中)过点A(3，－1)且在两坐标轴上截距相等的直线有(　　)

A．1条  B．2条 

C．3条  D．4条

8．已知函数f(x)＝asin x－bcos x(a≠0，b≠0)，若f ＝f ，则直线ax－by＋c＝0的倾斜角为(　　)

A.        B. 

C.       D.

二、填空题

9．一条直线经过点A(2，－)，并且它的倾斜角等于直线y＝x的倾斜角的2倍，则这条直线的一般式方程是            ．

10．不论实数m为何值，直线mx－y＋2m＋1＝0恒过定点        ．

11．已知三角形的三个顶点A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，则BC边上中线所在的直线方程为            ．

12．经过点A(4,2)，且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的3倍的直线l的方程的一般式为                             ．

13．设点A(－2,3)，B(3,2)，若直线ax＋y＋2＝0与线段AB没有交点，则a的取值范围是        ．

14．已知动直线l0：ax＋by＋c－3＝0(a>0，c>0)恒过点P(1，m)，且Q(4,0)到动直线l0的最大距离为3，则＋的最小值为        ．

三、解答题

15.如图，射线OA，OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P(1,0)作直线AB分别交OA，OB于A，B两点，当AB的中点C恰好落在直线y＝x上时，求直线AB的方程．

16．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．

(1)证明：直线l过定点；

(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；

(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．