专题7.1 空间几何体的结构、表面积与体积（练习+答案）-2026年高考数学一轮复习【重点•难点突破】精讲(新教材新高考)

这是一份专题7.1 空间几何体的结构、表面积与体积（练习+答案）-2026年高考数学一轮复习【重点•难点突破】精讲(新教材新高考)，文件包含专题71空间几何体的结构表面积与体积六类核心考点精讲原卷版docx、专题71空间几何体的结构表面积与体积六类核心考点精讲解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共70页， 欢迎下载使用。
目录1
一、5年高考•真题感悟2
二、课程标准•考情分析10
【课程标准】10
【考情分析】10
【2026考向预测】11
三、知识点•逐点夯实11
知识点一、构成空间几何体的基本元素—点、线、面11
知识点二、简单凸多面体-棱柱、棱锥、棱台12
知识点三、简单旋转体-圆柱、圆锥、圆台、球13
知识点四、组合体13
知识点五、表面积与体积的计算公式13
知识点六、空间几何体的直观图14
四、重点难点•分类突破15
考点1 空间几何的结构特征15
考点2 柱体的表面积与体积21
考点3 椎体的表面积与体积24
考点4 台体的表面积与体积27
考点5 组合体的表面积与体积30
考点6 表面积与体积中的最值问题33
五、必考题型•分层训练36
A、基础保分36
B、综合提升47
TOC \ "1-2" \h \z \u
一、5年高考•真题感悟
1．（2024·北京·高考真题）如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，，，该棱锥的高为（ ）.
A．1B．2C．D．
【答案】D
【知识点】棱锥的结构特征和分类、证明线面垂直、证明面面垂直、面面垂直证线面垂直
【分析】取点作辅助线，根据题意分析可知平面平面，可知平面，利用等体积法求点到面的距离.
【详解】如图，底面为正方形，
当相邻的棱长相等时，不妨设，
分别取的中点，连接，
则，且，平面，
可知平面，且平面，
所以平面平面，
过作的垂线，垂足为，即，
由平面平面，平面，
所以平面，
由题意可得：，则，即，
则，可得，
所以四棱锥的高为.
故选：D.
2．（2024·天津·高考真题）在如图五面体中，棱互相平行，且两两之间距离均为1．若．则该五面体的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】柱体体积的有关计算
【分析】采用补形法，补成一个棱柱，求出其直截面，再利用体积公式即可.
【详解】用一个完全相同的五面体（顶点与五面体一一对应）与该五面体相嵌，使得；;重合，
因为，且两两之间距离为1．，
则形成的新组合体为一个三棱柱，
该三棱柱的直截面（与侧棱垂直的截面）为边长为1的等边三角形，侧棱长为，
.
故选：C.
3．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】圆柱表面积的有关计算、圆锥表面积的有关计算、锥体体积的有关计算
【分析】设圆柱的底面半径为，根据圆锥和圆柱的侧面积相等可得半径的方程，求出解后可求圆锥的体积.
【详解】设圆柱的底面半径为，则圆锥的母线长为，
而它们的侧面积相等，所以即，
故，故圆锥的体积为.
故选：B.
4．（2023·全国乙卷·高考真题）已知圆锥PO的底面半径为，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，，若的面积等于，则该圆锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】锥体体积的有关计算
【分析】根据给定条件，利用三角形面积公式求出圆锥的母线长，进而求出圆锥的高，求出体积作答.
【详解】在中，，而，取中点，连接，有，如图，
，，由的面积为，得，
解得，于是，
所以圆锥的体积.
故选：B
5．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）（多选题）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，，，点C在底面圆周上，且二面角为45°，则（ ）．
A．该圆锥的体积为B．该圆锥的侧面积为
C．D．的面积为
【答案】AC
【知识点】圆锥表面积的有关计算、锥体体积的有关计算、二面角的概念及辨析、由二面角大小求线段长度或距离
【分析】根据圆锥的体积、侧面积判断A、B选项的正确性，利用二面角的知识判断C、D选项的正确性.
【详解】依题意，，，所以，
A选项，圆锥的体积为，A选项正确；
B选项，圆锥的侧面积为，B选项错误；
C选项，设是的中点，连接，
则，所以是二面角的平面角，
则，所以，
故，则，C选项正确；
D选项，，所以，D选项错误.
故选：AC.

6．（2025·全国二卷·高考真题）一个底面半径为，高为的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为 ．
【答案】
【知识点】圆柱的结构特征辨析、球的截面的性质及计算
【分析】根据圆柱与球的性质以及球的体积公式可求出球的半径；
【详解】
圆柱的底面半径为，设铁球的半径为r，且，
由圆柱与球的性质知，
即，，
故答案为：.
7．（2025·上海·高考真题）如图，在正四棱柱中，，则该正四棱柱的体积为 ．

【答案】
【知识点】柱体体积的有关计算
【分析】求出侧棱长和底面边长后可求体积.
【详解】因为且四边形为正方形，故，
而，故，故，
故所求体积为，
故答案为：.
8．（2025·北京·高考真题）某科技兴趣小组用3D打印机制作的一个零件可以抽象为如图所示的多面体，其中ABCDEF是一个平面多边形，平面平面ABC，平面平面ABC，，.若，则该多面体的体积为 ．
【答案】
【知识点】柱体体积的有关计算、锥体体积的有关计算、证明线面垂直、证明面面垂直
【分析】如图，将一半的几何体分割成直三棱柱和四棱锥后结合体积公式可求几何体的体积.
【详解】先证明一个结论：如果平面平面，平面平面，平面，则.
证明：设，， 在平面取一点，，
在平面内过作直线，使得，作直线，使得，
因为平面平面，，故，而，故，
同理，而，故 .
下面回归问题.
连接，因为且，故，同理，，
而，故直角梯形与直角梯形全等，
故，
在直角梯形中，过作，垂足为，
则四边形为矩形，且为以为直角的等腰直角三角形，
故，
平面平面，平面平面，,
平面，故平面，
取的中点为，的中点为，的中点为，连接，
则，同理可证平面，而平面，
故平面平面，同理平面平面，
而平面平面，故平面，
故，故四边形为平行四边形，故.
在平面中过作，交于，连接.
则四边形为平行四边形，且，故，
故四边形为平行四边形，
而平面，
故平面，故平面平面，
而，故，
故几何体为直棱柱，
而，故,
因为，故平面，
而平面，故平面平面，
在平面中过作，垂足为，同理可证平面，
而，故，故，
由对称性可得几何体的体积为，
故答案为：.
9．（2024·北京·高考真题）汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直径依次为 ，且斛量器的高为，则斗量器的高为 ，升量器的高为 ．
【答案】 23 57.5/
【知识点】等比数列的定义、柱体体积的有关计算、锥体体积的有关计算
【分析】根据体积为公比为10的等比数列可得关于高度的方程组，求出其解后可得前两个圆柱的高度.
【详解】设升量器的高为，斗量器的高为（单位都是），则，
故，.
故答案为：.
10．（2023·上海·高考真题）空间内存在三点A、B、C，满足，在空间内取不同两点（不计顺序），使得这两点与A、B、C可以组成正四棱锥，求方案数为 ．
【答案】9
【知识点】棱锥的结构特征和分类、分类加法计数原理
【分析】根据题意，先考虑正四棱锥中三个点构成等边三角形的情况，分类讨论为正四棱锥的侧面或对角面两种情况，再结合三边的轮换对称性即可得解.
【详解】因为空间中有三个点，且，
不妨先考虑在一个正四棱锥中，哪三个点可以构成等边三角形，同时考虑三边的轮换对称性，可先分为两种大情况，即以下两种：
第一种：为正四棱锥的侧面，如图1，
此时分别充当为底面正方形的一边时，对应的情况数显然是相同的;
不妨以为例，此时符合要求的另两个点如图1所示，显然有两种情况，
考虑到三边的轮换对称性，故而总情况有6种；

第二种：为正四棱锥的对角面，如图2，
此时分别充当底面正方形的一对角线时，对应的情况数显然也是相同的;
不好以为例，此时符合要求的另两个点图2所示，显然只有一种情况，
考虑到三边的轮换对称性，故而总情况有3种；
综上所述：总共有9种情况.
故答案为：9.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是注意到为正三角形，从而考虑正四棱锥中三个点构成等边三角形的情况，结合三边的轮换对称性即可得解.
二、课程标准•考情分析
【课程标准】
（1）认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．
（2）知道球、棱（圆）柱、棱（圆）锥、棱（圆）台的表面积和体积的计算公式，并能解决简单的实际问题．
（3）能用斜二测画法画出简单空间图形的直观图．
【5年考情分析】
【2026考向预测】
（1）掌握基本空间图形及其简单组合体的概念和基本特征，能够解决简单的实际问题；
（2）多面体和球体的相关计算问题是近几年考查的重点；
（3）运用图形的概念描述图形的基本关系和基本结果，突出考查直观想象和逻辑推理．
三、知识点•逐点夯实
知识点一：构成空间几何体的基本元素—点、线、面
（1）空间中，点动成线，线动成面，面动成体．
（2）空间中，不重合的两点确定一条直线，不共线的三点确定一个平面，不共面的四点确定一个空间图形或几何体（空间四边形、四面体或三棱锥）．
知识点二：简单凸多面体—棱柱、棱锥、棱台
1、棱柱：两个面互相平面，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．
（1）斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱；
（2）直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱；
（3）正棱柱：底面是正多边形的直棱柱；
（4）平行六面体：底面是平行四边形的棱柱；
（5）直平行六面体：侧棱垂直于底面的平行六面体；
（6）长方体：底面是矩形的直平行六面体；
（7）正方体：棱长都相等的长方体．
2、棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥．
（1）正棱锥：底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心；
（2）正四面体：所有棱长都相等的三棱锥．
3、棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台，由正棱锥截得的棱台叫做正棱台．
简单凸多面体的分类及其之间的关系如图所示．
知识点三：简单旋转体—圆柱、圆锥、圆台、球
1、圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的几何体叫做圆柱．
2、圆柱：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，将其旋转一周形成的面所围成的几何体叫做圆锥．
3、圆台：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台．
4、球：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称为球（球面距离：经过两点的大圆在这两点间的劣弧长度）．
知识点四：组合体
由柱体、锥体、台体、球等几何体组成的复杂的几何体叫做组合体．
知识点五：表面积与体积计算公式
表面积公式
体积公式
知识点六：空间几何体的直观图
1、斜二测画法
斜二测画法的主要步骤如下：
（1）建立直角坐标系．在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的，，建立直角坐标系．
（2）画出斜坐标系．在画直观图的纸上（平面上）画出对应图形．在已知图形平行于轴的线段，在直观图中画成平行于，，使（或），它们确定的平面表示水平平面．
（3）画出对应图形．在已知图形平行于轴的线段，在直观图中画成平行于轴的线段，且长度保持不变；在已知图形平行于轴的线段，在直观图中画成平行于轴，且长度变为原来的一般．可简化为“横不变，纵减半”．
（4）擦去辅助线．图画好后，要擦去轴、轴及为画图添加的辅助线（虚线）．被挡住的棱画虚线．
注：直观图和平面图形的面积比为．
2、平行投影与中心投影
平行投影的投影线是互相平行的，中心投影的投影线相交于一点．
四、重点难点•分类突破
考点1 空间几何体的结构特征
例1、（2025·江苏南通·模拟预测）过正方体的中心作与垂直的平面，则平面截正方体所得的截面是（ ）
A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】判断正方体的截面形状
【分析】证明线面垂直作出图判断截面图形即可.
【详解】
在正方体中，平面，平面，所以，
又在正方形中，，，所以平面，
平面，所以，
由于分别为的中点，所以，
故，同理，，所以平面，
且平面过正方体的中心，
故选：D
例2、（2025·陕西安康·模拟预测）（多选题）如图，已知正方体的外接球表面积为，点M为线段BC的中点，则（ ）
A．正方体的棱切球（球与正方体的棱均相切）表面积为
B．平面
C．在该正方体的8个顶点中任选4个构造一个三棱锥，则该三棱锥体积的最大值为
D．平面截正方体所得的截面的面积为
【答案】BCD
【难度】0.4
【知识点】判断正方体的截面形状、锥体体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、判断线面平行
【分析】先由外接球的表面积计算正方体的棱长，由面对角线为棱切球的直径即可求得棱切球的半径，进而得表面积，连接交于，连接，即证，由线面平行判断定理即可判断，求当底面为正方体一个面的一半，高为棱长时，三棱锥的体积，再求当底面为正方体面对角线时，高为时，三棱锥的体积，比较体积最大即可判断C，先求平面截正方体所得的截面即可求解.
【详解】设正方体的棱长为，由正方体的外接球的表面积为，所以，
解得，又，
对于A：设正方体的棱切球的半径为，
所以，所以棱切球的表面积为，故A错误；
对于B：连接交于，连接，在正方体中，为的中点，又M为线段BC的中点，
所以，又不在平面内，平面，所以平面，故B正确；
对于C：这样的三棱锥有两类：有3个顶点在正方体的一个面内，体积为，
三棱锥任意3个顶点不在正方体的同一面内，体积为，因此三棱锥的体积最大为，C正确；
对于D：取的中点为，连接，取的中点为，连接，由且
所以四边形平行四边形，所以，又且，所以四边形为平行四边形，
所以，所以，所以平面为平面截正方体所得的截面，
又正方体的棱长为2，所以,所以四边形为菱形，
又，所以四边形的面积为，故D正确，
故选：BCD.
【变式训练1】、（2025·内蒙古包头·模拟预测）如图，正方体的棱长为2，分别是棱的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为（ ）
A．不存在点，使得平面
B．过三点的平面截正方体所得截面图形是五边形
C．三棱锥的体积为4
D．三棱锥的外接球表面积为
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】判断正方体的截面形状、锥体体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、证明线面平行
【分析】对于A，找到中点为点，易得平面，排除A项；对于B，作出截面并判断形状即可排除；对于C，利用等体积法转化，结合三棱锥体积公式即可判断；对于D，根据三棱锥的墙角模型，将其补形成长方体，从而将三棱锥的外接球转化成对应长方体的外接球来求解.
【详解】对于A，当为中点时，由三角形中位线定理可得，
因为平面，平面，所以平面．故A错误；
对于B，由中位线可得，在正方体中，易证，所以，
即就是一条截线，连，得截面，又因，所以截面为梯形，故B错误；
对于C，点到平面的距离为2，
故，故C错误；
对于D，因两两垂直，
则三棱锥的外接球可以补形成以这三边长为长、宽、高的长方体的外接球，
则外接球半径即该长方体的体对角线的一半，即，
故其表面积，故D正确．
故选：D.
【变式训练2】、（2025·全国·模拟预测）（多选题）在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则（ ）
A．
B．若过的平面与线段（不含端点）相交于点，则平面截正方体所得截面是五边形
C．若已知过的平面平行于平面，则平面截正方体所得截面的周长为
D．若为正方体表面或内部一点，且，则三棱锥体积的最大值为
【答案】ABD
【难度】0.4
【知识点】判断正方体的截面形状、锥体体积的有关计算、由平面的基本性质作截面图形、线面垂直证明线线垂直
【分析】根据线面垂直的判定可证明平面，即可求A，根据平面的性质即可作出截面判断B，根据面面平行可得截面为四边形，即可求解长度判断C，根据线线垂直以及线面垂直得平面截正方体所得截面为平行四边形，即可利用体积公式求解D.
【详解】取中点为，连接，
由于平面，平面，故，
由于,故，又,故，
平面，故平面，
平面，故，所以A正确．
如图所示，将线段向两端延长，分别交的延长线于点，
连接分别交于两点，连接．
平面截正方体所得截面为五边形，所以B正确．
如图所示，取棱的中点，连接，
过点作直线交直线于点，连接．
由于是的中点，故,又，
所以,,故四边形为梯形，
又平面，平面，故平面，
分别是的中点，故，平面，平面，
故平面，平面，
故平面平面，
则平面截正方体所得截面为梯．
，
则平面截正方体所得截面的周长为，所以C错误．
满足条件的动点的轨迹为过点且与垂直的平面，
又为正方体表面或内部一点，所以动点在平面截正方体所得的截面上运动．
如图所示，取线段的中点，连接，，
由于，
故故，
由于平面平面，平面，故，
平面，故平面，
平面，则，同理．
在正方体中，由于分别是的中点，由正方体的性质可得：，
从而平面截正方体所得截面为平行四边形．
当点在线段上时，三棱锥体积最大,且最大值为，故D正确．
故选：ABD．
考点2 柱体的表面积与体积
例3、（2025·甘肃白银·三模）已知圆柱的高为4，它的表面积与体积的数值之比为2，则该圆柱的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】圆柱表面积的有关计算、柱体体积的有关计算
【分析】设圆柱的底面半径为，根据它的表面积与体积的数值之比为2，求出，再求体积．
【详解】设圆柱的底面半径为，所以圆柱的表面积为，体积为，
因为它的表面积与体积的数值之比为2，所以，
解得，故该圆柱的体积为．
故选：B.
例4、（2025·上海宝山·二模）已知圆柱的底面积为，侧面积为，则该圆柱的体积为 .
【答案】
【难度】0.94
【知识点】圆柱表面积的有关计算、柱体体积的有关计算
【分析】根据圆柱的底面积和侧面积公式求出圆柱的底面圆半径和高，再根据圆柱的体积公式即可得解.
【详解】设圆柱的底面圆的半径为，高为，
由题意可得，解得，
所以圆柱的体积.
故答案为：.
【变式训练3】、（2025·贵州贵阳·模拟预测）半径为1的球O内切于正三棱柱，则该正三棱柱的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】柱体体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题
【分析】由题意求出正三棱柱的高，底面边长，底面高，即可求出其体积
【详解】因为球与上下底面相切，所以三棱柱的高，
由上往下看，球的大圆面是正三角形的内切圆，
如图，等边三角形的内切圆为圆，设中点为H，则
，
，即，
.
故选：C．

【变式训练4】、（2025·北京·模拟预测）正四面体ABCD中，棱长为4，则此四面体的表面积为 ；点为BD中点，过的截面与棱AB平行，点在截面上，若到棱AB和棱CD的距离都为，则的一个取值为 .
【答案】 （答案不唯一，在区间中即可）
【难度】0.65
【知识点】棱锥中截面的有关计算、锥体体积的有关计算
【分析】先根据正四边体的表面积的求出，求出表面积，再根据异面直线之间的距离，求出距离的最小值.
【详解】正四面体棱长为4，四个面都是正三角形，则三角形边长为4时，高为，则面积为，则表面积为.
如图所示，作的中点，连接，
在正四面体中，所以为等腰三角形，
所以，则是异面直线之间的距离，
可知在中，，所以，
所以平面过中点时，取得最小值，最小值为.
过点作,在等边中，，
所以截面上的点到棱距离最大值为，同理截面上的点到棱距离最大值为，
所以取范围为，故d的一个值可取，
故答案为：；
考点3 锥体的表面积与体积
例5、（2025·广东惠州·模拟预测）已知圆锥的侧面积为，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的高为（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】圆锥表面积的有关计算
【分析】设圆锥的底面半径为r，圆锥的母线长为，根据已知条件求出，再利用勾股定理可得答案.
【详解】设圆锥的底面半径为r，圆锥的母线长为，
由，得，又，
所以，解得，；
所以圆锥的高为.
故选：A.
例6、（2025·浙江·模拟预测）已知三棱锥的侧棱两两夹角都等于，三个侧面三角形的面积分别为，满足，则三棱锥的体积是 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】锥体体积的有关计算
【分析】首先根据三角形面积公式求出三条侧棱的长，然后根据三棱锥体积公式可求出三棱锥的体积.
【详解】设三棱锥的三条侧棱长分别为.
根据三角形面积公式可得：
，所以①；
，所以②；
，所以③；
①②③相乘可得④，然后用④除以每个式子可求得：
.
，解得，因为，
所以根据勾股定理，所以.
同理，又，所以平面.
又，根据勾股定理可得.
在三角形中，根据余弦定理，，
所以，解得.
所以在中，，所以中底边的高为.
所以.
所以.
故答案为：.
【变式训练5】、（2025·陕西西安·二模）已知正四棱锥的底面边长为6，体积为48，则该四棱锥的侧面积为 .
【答案】60
【难度】0.85
【知识点】棱锥表面积的有关计算、锥体体积的有关计算
【分析】由体积公式求出高，再由勾股定理求出斜高，然后可得侧面积.
【详解】设正四棱锥的底面边长为，高为，斜高为，
由题意可得，
所以斜高，
所以该四棱锥的侧面积为.
故答案为：60.
【变式训练6】、（2025·海南海口·模拟预测）已知圆锥的母线长等于底面的圆半径的2倍，那么该圆锥的表面积与圆锥的内切球表面积之比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】圆锥表面积的有关计算、球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题
【分析】根据圆锥和它的内切球的性质，做出轴截面，求出内切球半径和底面半径之比，求出圆锥的表面积与圆锥的内切球表面积之比.
【详解】
如图所示，作圆锥轴截面及其内切圆，与三角形切于两点，
设圆锥底面半径为，内切球半径为，则，由勾股定理易知，
所以在中，，
由三角形内切圆可得，可得，即，化简得，
圆锥表面积为，内切球表面积，
则圆锥的表面积与圆锥的内切球表面积之比，
故选：B.
考点4 台体的表面积与体积
例7、（2025·湖南湘潭·一模）如图，一个三棱柱形容器中盛有水，，若底面水平放置时，水面恰好过侧棱的中点，当侧面水平放置时，水面恰好与交于点D，则等于（ ）
A．2B．4C．D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】柱体体积的有关计算
【分析】由题意可判断水的体积为三棱柱体积的一半，由此结合棱柱的体积，即可求出答案.
【详解】若底面水平放置时，水面恰好过侧棱的中点，
设棱柱的体积为V，则水的体积为；
当侧面水平放置时，三棱柱有水部分的体积为，
则无水部分为水平放置的小三棱柱（一侧面为水面），其体积为，
由于三棱柱和三棱柱的高相同，
故，由于，则∽ ，
故，而，故，故，
故选：D
例8、（2024·辽宁·模拟预测）已知圆台的上、下底面半径分别为2和4，母线与下底面所成的角为，则该圆台的侧面积为 ．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】圆台表面积的有关计算、求线面角
【分析】根据题意画出圆台的轴截面图，并求棱长，进而利用圆台的侧面积公式求解即可.
【详解】圆台的轴截面如下图：
因为母线与下底面所成的角为，所以母线长为，
所以圆台的侧面积为：.
故答案为：.
【变式训练7】、（2025·四川成都·模拟预测）已知正四棱台的上、下底面面积分别为4和16，侧棱长为，则该正四棱台的体积为（ ）
A．B．C．56D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】台体体积的有关计算
【分析】作出辅助线，求出棱台的高，根据棱台的体积公式即可求解.
【详解】如图所示的正四棱台,连接,
作平面，由正四棱台的性质可知在上.
因为正四棱台的上、下底面面积分别为4和16，
所以正四棱台的上、下底面边长分别为2和4，
所以.
易知四边形为等腰梯形，
所以，
由勾股定理得，
所以四棱台的体积为.
故选：A.
【变式训练8】、（2025·山东临沂·三模）一圆台的上、下底面半径分别为2、4，体积为，则该圆台的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】圆台表面积的有关计算、台体体积的有关计算
【分析】利用圆台体积公式可得其高为，即可知母线长，利用侧面展开图面积求出圆台的侧面积.
【详解】根据题意可知，圆台上底面面积为，下底面面积为；
设圆台的高为，由体积可得，
解得，所以可得圆台母线长为，
根据侧面展开图可得圆台侧面积为.
故选：C
考点5 组合体的表面积与体积
例9、（2025·北京·模拟预测）攒尖是中国古建筑中屋顶的一种结构形式，常见的有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，多见于亭阁式建筑.兰州市著名景点三台阁的屋顶部分也是典型的攒尖结构.如图所示是某研究性学习小组制作的三台阁仿真模型的屋顶部分，它可以看作是正三棱柱和不含下底面的正四棱台的组合体.已知正四棱台侧棱、下底的长度（单位：dm）分别为4，6，侧面与底面所成二面角的正切值为，正三棱柱各棱长均相等，则该结构表面积为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【难度】0.4
【知识点】棱柱表面积的有关计算、棱台表面积的有关计算、求组合多面体的表面积、求二面角
【分析】过作平面于，过作于，连接，证明平面，即得为的平面角，利用解三角形列方程即可求得正四棱台上底边长，再根据该结构的组成计算其表面积即可.
【详解】过作平面于，过作于，连接，
因平面,则，又平面，
故平面，因平面，则，故为的平面角，
故，则.
令正四棱台上底边长为，则，
，
所以，即，
解得或（舍去），故.
所以该结构表面积为
.
故选：A.
例10、（2023·广东·模拟预测）沙漏是古代的一种计时仪器，根据沙子从一个容器漏到另一容器的时间来计时．如图，沙漏可视为上下两个相同的圆锥构成的组合体，下方的容器中装有沙子，沙子堆积成一个圆台，若该沙漏高为6，沙子体积占该沙漏容积的，则沙子堆积成的圆台的高（ ）
A．1B．C．D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】锥体体积的有关计算、求组合体的体积
【分析】根据题意转化为圆锥的体积公式，以及高的关系，即可求解.
【详解】设沙漏下半部分的圆锥的容积为，沙子堆成的圆台体积为，
该圆锥内沙子上方的剩余空间体积为．由题意可知，即，
则，则下半部分圆锥剩余空间的高为圆锥高的一半，即沙子堆成的圆台的高为圆锥高的一半，即圆台的高为．
故选：B
【变式训练9】、（2022·河南安阳·模拟预测）正多面体是指多面体的各个面都是全等的正多边形，并且各个多面角都是全等的多面角.在古希腊时期人们就已经发现正多面体仅有5种，分别是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体.如图是一个正八面体，其每一个面都是正三角形，六个顶点都在球的球面上，则球与正八面体的体积之比是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】球的体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、求组合体的体积
【分析】设出正八面体的棱长，结合正八面体的结构特征求出其体积及外接球的体积即得.
【详解】设正八面体的棱长为2，正八面体的外接球的球心是正方形的中心，
球的半径，点到平面的距离为，
因此球的体积，正八面体的体积，
所以球与正八面体的体积之比是.
故选：A
【变式训练10】、（2024·云南昆明·模拟预测）某同学的通用技术作品如图所示，该作品由两个相同的正四棱柱制作而成，已知正四棱柱的底面边长为，这两个正四棱柱的公共部分构成的八面体体积为 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】求组合体的体积
【分析】先判断出公共部分是两个底面重叠的正四棱锥，再计算体积即可.
【详解】公共部分是两个正四棱锥且底面重叠的空间几何体，底面是为边长的正方形，
底面积为，其中一个正四棱锥的高为，
则这两个正四棱柱的公共部分构成的八面体体积为．
故答案为：.
考点6 表面积与体积中的最值问题
例11、（2025·江苏·模拟预测）已知正三棱锥的侧棱长为，为线段上一点，，．设三棱锥外接球为球，过点作球的截面，则截面面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【难度】0.4
【知识点】球的截面的性质及计算、多面体与球体内切外接问题
【分析】 如图以点为原点，的平行线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，由，利用坐标运算求得正三棱锥底面边长和高，从而可得外接球半径，又过点作球的截面，当时，截面面积的最小，可得解.
【详解】如图在正三棱锥中，平面，且为的中心，为中线，
如图以点为原点，的平行线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
设，则
所以，
由于，所以，则，
所以，
因为，则
解得，
设，则，则，得，
所以，
过点作球的截面，当时，截面面积的最小，
，所以截面圆半径为，
则面积为.
故选：B
例12、（2025·湖南·二模）在正三棱柱中，为线段上的动点，为边上靠近B的三等分点，则三棱锥的外接球体积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【难度】0.4
【知识点】多面体与球体内切外接问题、求空间图形上的点的坐标、空间距离公式的应用
【分析】如图建立空间直角坐标系，利用外心定义可得的外接圆圆心的坐标，进而可得外接圆半径，设点的坐标为，设的坐标为，然后利用，可得，再由基本不等式可得答案.
【详解】以A为坐标原点，为轴，过A作的垂线为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，
设三角形的外接圆的圆心为，则点在平面上，且为线段AB中垂线与线段AD中垂线交点，注意到线段AB中垂线方程满足，AD中点为，
又在平面中，，则AD中垂线方程满足，
联立与，故解得点的坐标为，
过点作平面的垂线，则外心一定在此垂线上，故可设的坐标为，又因为，
故三角形的外接圆半径，
由题可设点的坐标为，且，
由外接球的定义知：，
故，得，
故当最小时，半径最小，即体积最小，
由基本不等式知，，当且仅当时等号成立，即，
故体积.
【点睛】关键点睛：外接球问题，一般先找到球心，再由勾股定理结合图形构建关于外接球半径的等式.
【变式训练11】、（2025·湖南·模拟预测）如图，正方形的边长为．现沿对角线将翻折到的位置，使二面角成直二面角．分别为的中点，点四点都在球的表面上，则过直线的平面截球所得截面圆面积的最小值是 ．

【答案】
【难度】0.4
【知识点】球的截面的性质及计算、多面体与球体内切外接问题、点到直线距离的向量求法
【分析】法一：记的中点为，可得为外接球球心，当点O到EF的距离即为球心O到截面圆的距离时，截面面积最小，结合勾股定理即可求解；法二：建立空间直角坐标系，同法一即可求解．
【详解】方法一：由四边形为正方形，得球心即为BD的中点，
所以球的半径，
又连结、、、，则，，
再过E作，垂足为G，过F作，垂足为H，则，

且由已知条件可得，
则在等腰中，顶点O到底边EF的距离，
当顶点O到底边EF的距离即为球心O到截面圆的距离时，
截面圆面积最大，此时截面圆的半径，故最大面积为．
方法二：易知球心即为BD的中点，所以球的半径，
又连结、，则，
如图建立空间直角坐标，，

则，，
所以点O到直线EF的距离为：，
以下同方法一；
故答案为：．
【变式训练12】、已知正六棱柱的各个顶点都在半径为的球面上，一个能放进该正六棱柱内部的最大的球的半径为．若，则当最小时，该正六棱柱的体积为 ．
【答案】36
【难度】0.4
【知识点】球的截面的性质及计算、柱体体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题
【分析】根据给定条件，求出正六棱柱底面正六边形的边心距，并设正六棱柱的高为，可得取中较小的，按，，结合球的截面小圆性质分类讨论求出最小时的，再利用柱体体积公式计算得解.
【详解】设正六边形的中心为点，则点与任意一条边均构成等边三角形，
因此点到各边的距离均为等边三角形的高，为．
不妨设该正六棱柱的高为，那么有且，取两者之中的较小者．
易得该正六棱柱的外接球半径为．
当时，，．
当，，，
所以时，取得最小值．
又因为一个等边三角形的面积为，
所以正六边形底面的面积为，则该正六棱柱的体积为．
故答案为：36．
五、分层训练
1．（2025·北京大兴·三模）《九章算术》是我国古代的一部数学名著，书中记载了一类名为“羡除”的五面体．如图，在羡除中，底面是正方形，∥平面，，其余棱长都为，则这个几何体的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】锥体体积的有关计算、求组合体的体积
【分析】连接交于点,取的中点为,则平面,取的中点为,连接,则, 过作,则平面,进而求解体积.
【详解】连接交于点,取的中点为,则平面,
由其余棱长都为，所以
取的中点为,连接,则, 过作,
则平面,如图所示，由题意可知，,则,
所以,
所以.
故选：D
2．（2024·四川成都·模拟预测）我们把所有顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体，在这两个平行平面内的面叫做拟柱体的底面，其余各面叫做拟柱体的侧面，两底面之间的垂直距离叫做拟柱体的高，过高的中点且平行于底面的平面截拟柱体所得的截面称为中截面.已知拟柱体的体积公式为，其中分别是上､下底面的面积，是中截面的面积，为拟柱体的高.一堆形为拟柱体的建筑材料，其两底面是矩形且对应边平行（如图），下底面长20米，宽10米，堆高1米，上底的长､宽比下底的长､宽各少2米.现在要彻底运走这堆建筑材料，若用最大装载量为5吨的卡车装运，则至少需要运（ ）（注：1立方米该建筑材料约重1.5吨）
A．51车B．52车C．54车D．56车
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】求组合体的体积
【分析】由图形直接解出上下底面及中截面面积，再由解出拟柱体的体积，最后结合实际求出需要的卡车数量即可.
【详解】由条件可知：上底长为米，宽为米；中截面长米，宽米；
则上底面积平方米，中截面积平方米，
下底面积平方米，
所以该建筑材料的体积为(立方米)，
所以建筑材料重约（吨），
需要的卡车次为，所以至少需要运车.
故选：B
3．（2025·福建漳州·模拟预测）在菱形中，，，将沿对角线翻折至，则当三棱锥表面积最大时，三棱锥外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【难度】0.4
【知识点】余弦定理解三角形、多面体与球体内切外接问题
【分析】沿对角线折起，当且，则三棱锥的表面积最大时，取的中点，连接，利用余弦定理求得，过球心作平面，则为等边三角形的中心，由与都是边长相同的等边三角形，由二倍角公式可得，利用勾股定理得、球的半径，最后由球的体积公式计算可得答案.
【详解】
由题意，因为是菱形，，，
则，是等边三角形，面积固定，
当且时，和的面积最大，
即三棱锥表面积最大，
因为，则，
取的中点E，连接，
则，
，
如图，过球心作平面，则为等边三角形的中心，
则，所以，
又，所以，，
在中，，则，
由勾股定理得，
所以球的半径，
所以三棱锥的外接球的体积为.
故选：C．
4．（2025·北京海淀·模拟预测）如图，在棱长为1的正方体中，若P为线段上的动点（不含端点）．
给出下列四个结论：
①直线与AC所成的角可能是
②平面平面
③三棱锥的体积为定值
④平面截正方体所得的截面可能是直角三角形
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】②③
【难度】0.65
【知识点】判断正方体的截面形状、锥体体积的有关计算、求异面直线所成的角、判断图形中的面面关系
【分析】由面面垂直的判定定理可知②正确，由等体积法可知③正确，由空间向量法计算直线 与所成的角是不能成立知①错误，应用截面数形结合可知④不正确.
【详解】正方体中，，，
，平面，则平面，
平面，则平面平面，故②正确;
到平面的距离，
所以三棱锥体积为，为定值，故③正确;
以点D为原点建立空间直角坐标系如上图所示：
由题得，设，
所以，若直线与AC所成的角是，
所以，所以，
所以，不合题意；①错误；
结合上述坐标系，若延长线交线段于，，示意图如下，
因为，所以，则不垂直，
因为，所以，则不垂直，
因为，所以，则不垂直，
综上，平面截正方体所得的截面不可能是直角三角形，
当延长线与线段（不含端点）有交点，平面截正方体所得的截面不是三角形，
所以平面截正方体所得的截面可能是直角三角形，故④错误.
故答案为：②③.
5．点分别为三棱柱的棱的中点，设的面积为，平面截三棱柱 所得截面面积为S，五棱锥. 的体积为，三棱柱的体积为V，则 ，

【答案】 /
【难度】0.65
【知识点】柱体体积的有关计算、锥体体积的有关计算、由平面的基本性质作截面图形
【分析】延长交的延长线于点，可知截面为四边形；可证得为中点，得到；结合知，由此可求得；设四边形的面积为，可得，由可推导得到.
【详解】延长交的延长线于点，连接交于点，连接，则平面截三棱柱所得截面为四边形．
，为的中点，
≌，为的中点，
的面积.
，，
的面积为，
.
设四边形的面积为，
的面积为，
五棱锥的体积为，
连接，则三棱锥的体积为，
故，，
.
故答案为：；.
6．（2025·河南·一模）在三棱锥中，平面，若，且，则三棱锥的体积的最大值为 ．
【答案】/
【难度】0.65
【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、锥体体积的有关计算、轨迹问题——圆
【分析】设，建立平面直角坐标系，求出点到直线距离的最大值，进而求出三棱锥体积最大值的函数关系，再利用导数求出函数的最大值.
【详解】在三棱锥中，平面，，设，则，
以线段的中点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，
则，设，由，得，
整理得，点在以为圆心，为半径的圆上，
则点到直线距离的最大值为，面积的最大值为，
三棱锥体积的最大值为，
设，，求导得，
当时，；当时，，函数在上递增，在上递减，
因此，所以三棱锥体积的最大值为.
故答案为：
7．已知半径为1的球内切于上、下底面半径分别为，的圆台，若，则圆台表面积的最小值为 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】面积、体积最大问题、圆台表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题
【分析】由几何关系确定，再列出圆台的表面积公式，构造函数，利用导数求函数的最值.
【详解】作出圆台与内切球的轴截面如图，过作于点，易得，
，，
则，则，同理得，
则在中，，解得，
因为，所以，所以圆台的表面积，
设，
所以，所以，
因为，所以，所以在上单调递减，
所以当且仅当时，取得最小值为.
故答案为：
8．（2025·陕西延安·模拟预测）已知正四棱台中，侧棱与底面所成的角为，，则该四棱台的体积为 ．
【答案】/
【难度】0.85
【知识点】台体体积的有关计算
【分析】首先求棱台的高，再代入体积公式，即可求解.
【详解】由条件可知，上下底面对角线长为2和4，因为侧棱与底面所成角为，
所以高为，则四棱台的体积.
故答案为：
9．（2025·湖南·模拟预测）2021年小米重新设计了自己的品牌形象.新旧图像如图所示，旧lg是一个正方形，新lg可看作一个直径为边长的一半的圆在原正方形中运动，保留它运动过程覆盖的区域就是新lg.类比推理，现有一个棱长为2的正方体，一个直径为1的球在正方体内部滚动，将该球可到达的区域保留，不可到达的区域割去，得到一个几何体，我们称之为“小米正方体”，则“小米正方体”的体积为 .

【答案】
【难度】0.65
【知识点】柱体体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、求组合体的体积
【分析】根据类比，即可根据圆柱的体积公式即可求解.
【详解】根据类比可知：小球在正方体内部运动，“小米正方体”的8个角合在一起刚好是一个直径为正方体棱长一半的球体，
12条棱除开小球部分，余下的刚好可以组成与球半径相同且高为正方体棱长一半的三个圆柱体.
剩余部分是个类似十字的几何体，可得该几何体的体积为4，
所以“小米正方体”的体积为
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：“小米正方体”的8个角合在一起刚好是一个直径为正方体棱长一半的球体，12条棱除开小球部分，余下的刚好可以组成与球半径相同且高为正方体棱长一半的三个圆柱体.
10．（2023·上海浦东新·三模）陕西历史博物馆收藏的“独孤信多面体煤精组印”是一枚形状奇特的印信（如图1），它的形状可视为一个26面体，由18个正方形和8个正三角形围成（如图2）． 已知该多面体的各条棱长均为1，则其体积为 ．
【答案】///
【难度】0.65
【知识点】柱体体积的有关计算、锥体体积的有关计算、求组合体的体积
【分析】该多面体可以看作为正方体截取一部分构成，把复杂的几何体转化为简单几何体构成即可.
【详解】
如图，该多面体可以看做由一个棱长为的正方体截去8个如①三棱柱和8个如②四棱锥和12个如③三棱柱构成，
①为底面为以两直角边为的等腰直角三角形，高为的直三棱柱，其体积为：
②为底面为以棱长为和1的矩形，高为的四棱锥其体积为：
③为底面为以两直角边为的等腰直角三角形，高为的直三棱柱，其体积为：
所求多面体体积为：
故答案为：.
11．“迪拜世博会”上，中国馆取型中国传统灯笼，寓意希望和光明．某人制作了一个中国馆的实心模型，模型可视为内外两个同轴圆柱组成．已知内层底面直径为，外层底面直径为，且内外层圆柱的底面圆周都在一个直径为的球面上，此模型的体积为 ．
【答案】912
【难度】0.65
【知识点】柱体体积的有关计算、求组合体的体积
【分析】由题意，实心模型由两个圆柱构成，实心模型的体积内层圆柱的体积外层几何体的体积，利用圆柱与球的几何性质，求出内层圆柱的体积和外层圆柱的体积，从而求出外层几何体的体积，求出模型的体积．
【详解】解：由题意可知，实心模型由两个圆柱构成，
实心模型的体积内层圆柱的体积外层几何体的体积，
因为内层圆柱的底面直径，所以，
所以内层圆柱的底面积为，
外层底面直径为，所以，
所以外层的底面面积为，
又内外层的底面圆周都在一个直径为的球上，即，
如图，以内层圆柱为例，
因为内层圆柱的底面圆周在球面上，
所以球心与内层圆柱的底面圆心的连线垂直于底面圆，即，
所以，
根据球的对称性可得，内层圆柱的高为，
所以内层圆柱的体积为，
同理可得，外层圆柱的高为，
所以外层圆柱的体积为，
由题意可得，外侧几何体的体积等于外层圆柱体的体积减去高为12的内层圆柱体的体积，
故，
所以该几何体的体积为．
故答案为：．
12．中国古代的“牟合方盖”可以看作是两个圆柱垂直相交的公共部分，计算其体积所用的“幂势即同，则积不容异”是中国古代数学的研究成果，根据此原理，取牟合方盖的一半，其体积等于与其同底等高的正四棱柱中，去掉一个同底等高的正四棱锥之后剩余部分的体积（如图1所示）．现将三个直径为4的圆柱放于同一水平面上，三个圆柱的轴所在的直线两两成角都相等，三个圆柱的公共部分为如图2所示的几何体，该几何体中间截面三角形边长为 ，则该几何体的体积为 ．
【答案】/
【难度】0.65
【知识点】求组合体的体积
【分析】由题设求出中间截面三角形的面积，再类比体积公式求解即可
【详解】根据题意，图2立体图形的一半，其体积等于与其同底等高的正三棱柱中，去掉一个与其同底等高正三棱锥之后的体积，
因为该几何体中间截面三角形边长为，
所以该底面积，
因为圆柱的直径为4，所以该几何体一半的高为2，
所以对应正三棱柱及三棱锥的高均为2，
所以对应正三棱柱的体积，
正三棱锥的体积，
所以该几何体的体积为.
故答案为：
【点睛】本题主要考查了结合题干信息类比解决问题的能力，需要根据题意分析所给新情景的意义，结合题干中的信息求解，属于中档题
5年考情分析
考题示例
考点分析
难易程度（简单、一般、较难、很难）
2025年新Ⅱ卷，5分
圆柱的结构特征
与球有关的截面计算
一般
2024年新I卷，第5题,5分
圆柱表面积的有关计算
圆锥表面积的有关计算
锥体体积的有关计算
一般
2024年新Ⅱ卷，第7题,5分
锥体体积的有关计算
台体体积的有关计算
一般
2023年新I卷，第12题,5分
正棱锥及圆柱体的相关计算
较难
2023年新I卷，第14题,5分
台体体积的有关计算
一般
2023年新Ⅱ卷，第9题,5分
圆锥表面积的有关计算
锥体体积的有关计算
一般
2023年新Ⅱ卷，第14题,5分
正棱台及其有关计算
锥体体积的有关计算
台体体积的有关计算
很难
2022年新I卷，第4题,5分
台体体积的有关计算
容易
2022年新I卷，第8题,5分
锥体体积的有关计算
简单
表面积
柱体
为直截面周长
锥体
台体
球
体积
柱体
锥体
台体
球