专题6.1 数列的概念与简单表示法（举一反三）（新高考专用）（含答案） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

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\l "_Tc11864" 【题型1 由an与Sn的关系求通项或项】 PAGEREF _Tc11864 \h 4
\l "_Tc13912" 【题型2 累加法求通项公式】 PAGEREF _Tc13912 \h 4
\l "_Tc4161" 【题型3 累乘法求通项公式】 PAGEREF _Tc4161 \h 5
\l "_Tc13689" 【题型4 构造法求通项公式】 PAGEREF _Tc13689 \h 6
\l "_Tc21230" 【题型5 数列的周期性】 PAGEREF _Tc21230 \h 6
\l "_Tc8549" 【题型6 数列的单调性】 PAGEREF _Tc8549 \h 6
\l "_Tc5868" 【题型7 数列的最大（小）项】 PAGEREF _Tc5868 \h 7
\l "_Tc21315" 【题型8 数列中的规律问题】 PAGEREF _Tc21315 \h 8
\l "_Tc18540" 【题型9 数列的恒成立问题】 PAGEREF _Tc18540 \h 9
1、数列的概念与简单表示法
【知识点1 数列的概念与基本知识】
1．数列的定义
一般地，把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列的第一
个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用表示第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用表示.其中第1项也叫做首项.
2．数列的分类
3．数列的通项公式
如果数列{}的第n项与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这
个数列的通项公式.
4．数列的递推公式
(1)递推公式的概念
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式.
(2)对数列递推公式的理解
①与“不一定所有数列都有通项公式”一样，并不是所有的数列都有递推公式.
②递推公式是给出数列的一种方法.事实上，递推公式和通项公式一样，都是关于项的序号n的恒等式.
如果用符合要求的正整数依次去替换n，就可以求出数列的各项.
③用递推公式求出一个数列，必须给出：
基础——数列{}的第1项(或前几项)；
递推关系——数列{}的任意一项与它的前一项 ()(或前几项)间的关系，并且这个关系可
以用等式来表示.
5．数列表示方法及其比较
6．数列的前n项和
数列{}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{}的前n项和，记作，即=+++.
如果数列{}的前n项和与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做
这个数列的前n项和公式.
=.
【知识点2 数列的通项公式的求解策略】
1．由an与Sn的关系求通项：
(1)已知Sn求an的常用方法是利用=转化为关于an的关系式，再求通项公式.
(2) Sn与an关系问题的求解思路
方向1：利用an= Sn -Sn-1(n≥2)转化为只含 Sn，Sn-1的关系式，再求解.
方向2：利用Sn -Sn-1= an(n≥2)转化为只含an，an-1的关系式，再求解.
2．由数列的递推关系求通项公式：
(1)累加法：形如an+1=an+f(n)的递推关系式利用累加法求和，特别注意能消去多少项，保留多少项.
(2)累乘法：形如an+1=an·f(n)的递推关系式可化为的形式，可用累乘法，也可用代入求出通项.
(3)构造法：
①形如an+1=pan+q的递推关系式可以化为(an+1+x)=p(an+x)的形式，构成新的等比数列，求出通项公式，求变量x是关键.
②形如(A,B,C为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解.
【知识点3 数列的性质有关问题的解题策略】
1．数列周期性问题的解题策略：
解决数列周期性问题，根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求出有关项的值或前n项和.
2．求数列最大项与最小项的常用方法
(1)函数法：利用相关的函数求最值.若借助通项的表达式观察出单调性，直接确定最大 (小)项，否则，利用作差法.
(2)利用确定最大项，利用确定最小项.
【方法技巧与总结】
1．若数列{}的前n项和为，通项公式为，则=.
2．在数列{}中，若最大，则；若最小，则.
【题型1 由an与Sn的关系求通项或项】
【例1】（2024·四川·模拟预测）已知数列an的前n项和为Sn，若Sn=2n−1−12，则数列an的通项公式为（ ）
A．an=12,n=1,2n,n≥2B．an=2n−1
C．an=(−2)n−2D．an=2n−2
【变式1-1】（2024·陕西·模拟预测）已知数列an满足k=1nak2k−1=n+1，则a2024=（ ）
A．2024B．2023C．4047D．4048
【变式1-2】（2024·四川·三模）已知数列an满足2a1+22a2+23a3+⋅⋅⋅+2nan=n⋅2n，则an的通项公式为（ ）
A．an=1,n=1n+1,n≥2B．an=n+12
C．an=nD．an=1,n=1n−1,n≥2
【变式1-3】（2024·江苏·一模）已知正项数列an满足1a1a2+1a2a3+⋯+1anan+1=n2n+1n∈N*，若a5−2a6=7，则a1=（ ）
A．13B．1C．32D．2
【题型2 累加法求通项公式】
【例2】（23-24高二·全国·单元测试）已知数列an满足a1=3，an+1=an+1nn+1，则an=（ ）
A．4+1nB．4−1nC．2+1nD．2−1n
【变式2-1】（2024·四川绵阳·模拟预测）已知正项数列 an中，a1=2，an+1+2nan+1−an−2n=0，则an=（ ）
A．n2−n+2B．2，n=1，2n2，n≥2
C．2n2D．2，n=1，2n2−n，n≥2
【变式2-2】（2024·陕西咸阳·三模）在数列an中，a1=1，an+1=an+2n−1，则a7=（ ）
A．43B．46C．37D．36
【变式2-3】（2023·山西·模拟预测）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层（即第一层）有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球，…，设“三角垛”从第一层到第n层的各层球的个数构成一个数列an，则（ ）
A．a6=16B．a10=66
C．2an+1=an+an+2D．a2023−a2022=2023
【题型3 累乘法求通项公式】
【例3】（2024高三下·全国·专题练习）在数列an中，a1=13，前n项和Sn=n2n−1an，则数列an的通项公式为 （ ）
A．12n−12n+1B．3n−22n+1C．2−n+42n+1D．2−n+32n
【变式3-1】（23-24高二下·河南南阳·阶段练习）已知数列an的项满足an+1=nn+2an，而a1=1，则an＝（ ）
A．2n+12B．2nn+1C．12n−1D．12n−1
【变式3-2】（23-24高二下·广东佛山·期中）已知Sn是数列{an}的前n项和，a1=1，Sn=n+23an，则{an}的通项公式为（ ）
A．an=2n−1B．an=n(n+1)2
C．an=3nD．an=2n−1
【变式3-3】（23-24高二上·重庆九龙坡·期末）已知a1=2，an=nan+1−an，则数列an的通项公式是an=（ ）
A．nB．n+1C．2nD．n+1nn
【题型4 构造法求通项公式】
【例4】（23-24高二上·河北衡水·期中）在数列an中，a1=2，an+1an−1+2=an−1+1n≥2，则an=（ ）
A．−3n−53n−2B．3n2−nC．2n−1+1D．2nn
【变式4-1】（2024·广东茂名·一模）已知Tn为正项数列an的前n项的乘积，且a1=2,Tn2=ann+1，则a5=（ ）
A．16B．32C．64D．128
【变式4-2】（23-24高一下·上海·期末）数列an满足a1=2,an+1=3an+2n+1，则数列an的通项公式为an= .
【变式4-3】（23-24高三下·四川·期末）若数列an(n∈N∗)的前n项和为Sn，a1=1，2Sn=(n+1)an，则数列an的通项公式为an= ．
【题型5 数列的周期性】
【例5】（2024·辽宁·模拟预测）数列an中，a1=4，a2=3，an+1=anan−1n∈N*,n≥2，则a1000的值为（ ）
A．14B．34C．3D．43
【变式5-1】（2024·山东济宁·三模）已知数列an中，a1=2，a2=1，an+1=an−an−1n≥2，n∈N∗，则a2024=（ ）
A．−2B．−1C．1D．2
【变式5-2】（2024·四川宜宾·二模）在数列an中，已知a1=2,a2=1，且满足an+2+an=an+1，则数列an的前2024项的和为（ ）
A．3B．2C．1D．0
【变式5-3】（2024·甘肃平凉·模拟预测）已知数列an，若an+1=an+an+2 n∈N∗，则称数列an为“凸数列”．已知数列bn为“凸数列”，且b1=1，b2=−2，则bn的前2 024项的和为（ ）
A．0B．1C．－5D．－1
【题型6 数列的单调性】
【例6】（2024·北京西城·三模）对于无穷数列{an}，定义dn=an+1−an（n=1,2,3,⋯），则“{an}为递增数列”是“{dn}为递增数列”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式6-1】（2024·江西·模拟预测）已知数列an满足an=n−aa∈R，则“a≤1”是an是递增数列的（ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【变式6-2】（2024·江西·二模）已知数列an的首项a1为常数且a1≠23，an+1+2an=4nn∈N*，若数列an是递增数列，则a1的取值范围为（ ）
A．−23,23B．−23,23∪23,43
C．0,23D．0,23∪23,43
【变式6-3】（2024·全国·模拟预测）已知数列an满足a1=t,an+1−2an=−n+1，若an是递减数列，则实数t的取值范围为（ ）
A．−1,1B．−∞,0C．−1,1D．1,+∞
【题型7 数列的最大（小）项】
【例7】（23-24高三上·重庆·阶段练习）数列an、bn满足：a1=8，an−an−1=8nn∈N∗,n≥2，bn=an+1910n，则数列bn的最大项是（ ）
A．第7项B．第9项
C．第11项D．第12项
【变式7-1】（23-24高三上·安徽合肥·期末）若数列an的前n项积bn=1−27n，则an的最大值与最小值之和为（ ）
A．−13B．57C．2D．73
【变式7-2】（2024·安徽·模拟预测）已知数列an是递增数列，且an∈N∗，数列an的前n项和为Sn，若S10=67，则a5的最大值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【变式7-3】（23-24高二上·上海杨浦·期中）已知数列an=(n+1)(−1011)n，下列说法正确的是（ ）
A．an有最大项，但没有最小项
B．an没有最大项，但有最小项
C．an既有最大项，又有最小项
D．an既没有最大项，也没有最小项
【题型8 数列中的规律问题】
【例8】（2024·全国·模拟预测）公元前6世纪，希腊的毕达哥拉斯学派研究数的概念时，常常把数描绘成沙滩上的小石子，用它们进行各式各样的排列和分类，叫作“形数”．用3颗石子可以摆成一个正三角形，同样用6颗石子或者10颗石子可以摆成更大的三角形．毕达哥拉斯学派把1，3,6,10等叫作“三角数”或“三角形数”．同时他们还摆出了正方形数、五边形数、六边形数和其他多边形数．如图所示即摆出的六边形数，那么第20个六边形数为（ ）
A．778B．779C．780D．781
【变式8-1】（2023·海南·模拟预测）“大衍数列”来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，是中华传统文化中的一大瑰宝.已知“大衍数列”的前10项分别为0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,⋯，据此可以推测，该数列的第15项与第60项的和为（ ）
A．1012B．1016C．1912D．1916
【变式8-2】（2024·全国·模拟预测）据中国古代数学名著《周髀算经》记截：“勾股各自乘，并而开方除之（得弦）．”意即“勾”a、“股”b与“弦”c之间的关系为a2+b2=c2（其中a≤b）．当a,b,c∈N∗时，有如下勾股弦数组序列：(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25)，(9,40,41),⋯，则在这个序列中，第10个勾股弦数组中的“弦”等于（ ）
A．145B．181C．221D．265
【变式8-3】（2024·四川·模拟预测）分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦・曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立为解决传统科学领域的众多难题提供了全新的思路．下图展示了如何按照图①的分形规律生长成一个图②的树形图，则在图②中第5行的黑心圈的个数是（ ）
A．12B．13C．40D．121
【题型9 数列的恒成立问题】
【例9】（23-24高三上·湖北襄阳·期末）数列an中，a1=a(a>0),2n−1an+1=2n+2−1an+2n2n+2−1n∈N*，若an≤4n+1−1恒成立，则实数a的最大值为（ ）
A．3B．6C．12D．15
【变式9-1】（23-24高三上·浙江·阶段练习）定义maxa,b=a,a≥bb,aA．−4,−3B．−3,−2
C．−23,−12∪0D．−3,−23∪0
【变式9-2】（2024·全国·模拟预测）设数列an的前n项和为Sn，且Sn+1+Sn=n2．若an+1>an对n∈N∗恒成立，则a1的取值范围为 ．
【变式9-3】（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知数列an的通项公式为an=2n−1.若对于任意n∈N∗，不等式2nan(4−λ)>an−12恒成立，则实数 λ 的取值范围为 .
一、单选题
1．（2024·山东济南·三模）若数列an的前n项和Sn=n(n+1)，则a6等于（ ）
A．10B．11C．12D．13
2．（2024·辽宁·二模）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.大衍数列的前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则此数列的第30项为（ ）
A．366B．422C．450D．600
3．（2024·天津南开·二模）设数列an的通项公式为an=n2+bn，若数列an是单调递增数列，则实数b的取值范围为（ ）
A．−3,+∞B．−2,+∞C．−2,+∞D．−3,+∞
4．（2024·西藏·模拟预测）已知数列an对任意k∈N*满足ak⋅ak+1=2k，则a1⋅a2024=（ ）
A．21012B．21013C．22024D．22025
5．（2024·重庆九龙坡·三模）正整数1,2,3,⋯,n的倒数的和1+12+13+⋯+1n已经被研究了几百年，但是迄今为止仍然没有得到它的求和公式，只是得到了它的近似公式，当n很大时，1+12+13+⋯+1n≈lnn+γ.其中γ称为欧拉-马歇罗尼常数，γ≈0.577215664901⋯，至今为止都不确定γ是有理数还是无理数.设[x]表示不超过x的最大整数，用上式计算1+12+13+⋯+12024的值为（ ）
（参考数据：ln2≈0.69，ln3≈1.10，ln10≈2.30）
A．10B．9C．8D．7
6．（23-24高二下·上海闵行·阶段练习）数列an前n项和为Sn，且an=33n−13，则关于an及Sn叙述正确的是（ ）
A．an， Sn都有最小值B．an， Sn都有最大值
C．an， Sn都无最小值D．an， Sn都无最大值
7．（2024·湖北襄阳·模拟预测）已知函数fx=3x−13x+1，数列an满足a1=a2=1，an+3=ann∈N∗，fa2+fa3+a4=0，则i=12024ai=（ ）
A．1B．2C．3D．4
8．（2024·四川绵阳·二模）已知数列an的前n项和为Sn，且Sn=3n−23n，则下列说法正确的是（ ）
A．anSn+1C．2an+Sn=1D．0二、多选题
9．（2024·山东菏泽·模拟预测）已知数列an满足a1=1，an+1=an1+an，n∈N∗，则下列结论错误的是（ ）
A．a3=2−22B．存在n∈N∗，使得1an+1>1an+12
C．an+1≤n+1n+3anD．a22>192
10．（2024·福建泉州·模拟预测）数列{an}(n∈N∗)的前n项和为Sn，若a1=1， an+1=2an,n为奇数1an,n为偶数，则下列结论正确的是（ ）
A．a3=2B．S10=12
C．{Sn}为递增数列D．{a2n−1}为周期数列
11．（2024·辽宁沈阳·二模）已知数列an的通项公式为an=−1n⋅1n−c2+1n=1,2,3,⋯，则下列说法正确的有（ ）
A．若c≤1，则数列an单调递减
B．若对任意n∈N*，都有an≥a1，则c≤1
C．若c∈N*，则对任意i,j∈N*，都有ai+aj≠0
D．若an的最大项与最小项之和为正数，则2k−12三、填空题
12．（2024·陕西安康·模拟预测）已知一数列：0,2,−6,12,−20,30,⋯，则该数列的通项可以表示为 .
13．（2024·陕西铜川·模拟预测）已知数列an的前三项依次为2,2,3,an的前n项和Sn=pn2+qn+r，则a2024= ．
14．（2024·北京·三模）已知数列an的前n项和为Sn,a1=1且an+1=Sn2+1,n∈N∗，给出下列四个结论：①长度分别为1,an+1,Sn的三条线段可以构成一个直角三角形：②∀n∈N∗,Sn≥2n−1；③∀n∈N∗,an+an+2<2an+1；④∀n∈N∗,an+1=2ancsπ2n+1.其中所有正确结论的序号是 .
四、解答题
15．（23-24高二·全国·课堂例题）分别写出下列数列an的一个递推关系，并求出各个数列的第7项：
(1)1，2，4，7，11，…；
(2)−1，2，5，8，11，…；
(3)1，−2，4，−8，16，…．
16．（23-24高二下·辽宁·期末）已知数列an满足a1=1,an+1=3an−2n+1．
(1)计算a2,a3，猜想an的通项公式并加以证明；
(2)设bn=an33an，求使数列bn取得最大值时n的值．
17．（2024·湖北荆门·模拟预测）已知数列an的前n项和Sn=12n2+12n+1n∈N∗．
(1)求数列an的通项公式；
(2)议bn=an2+an⋅csanπ，当bn取得最小值时，求n的取值．
18．（2024·全国·模拟预测）设数列an的前n项和为Sn，数列Snn的前n项和为Tn，且Tn=4n2−6n+1.
(1)求数列an的通项公式；
(2)设bn=16can+2+2,b2=8,dn=bn−λSn+1n+1，若数列dn是递增数列，求实数λ的取值范围.
19．（2024·湖北荆州·三模）对于数列xn，如果存在一个正整数m，使得对任意nn∈N∗，都有xn+m=xn成立，那么就把这样的一类数列xn称作周期为m的周期数列，m的最小值称作数列xn的最小正周期，简称周期.
(1)判断数列xn=sinnπ和yn=2,n=13,n=2yn−1−yn−2+1,n≥3是否为周期数列，如果是，写出该数列的周期，如果不是，说明理由.
(2)设（1）中数列yn前n项和为Sn，试问是否存在p,q，使对任意n∈N∗，都有p≤(−1)n⋅Snn≤q成立，若存在，求出p,q的取值范围，若不存在，说明理由.
(3)若数列an和bn满足bn=an+1−an，且b1=1,b2=abn+2=bn+1bnn≥1,n∈N，是否存在非零常数a，使得an是周期数列？若存在，请求出所有满足条件的常数a；若不存在，请说明理由.
考点要求
真题统计
考情分析
(1)了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)
(2)了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数
2021年北京卷：第10题，4分
数列是高考的热点内容，属于高考的必考内容.从近几年的高考情况来看，高考中对数列的概念的考查相对较少，考查题型以选择题、填空题为主，难度不大，重点是考查数列的单调性、周期性与最值等内容.
分类标准
名称
含义
举例
按项的
个数
有穷数列
项数有限的数列
1,2,3,…,n
无穷数列
项数无限的数列
1,0,1,0,1,0,…
按项的
变化趋势
递增数列
从第2项起，每一项都大于它的前一
项的数列
3,4,5,6,…,n+2
递减数列
从第2项起，每一项都小于它的前一
项的数列
-1,-2,-3,…,-n
常数列
各项相等的数列
0,0,0,0,…
摆动数列
从第2项起，有些项大于它的前一
项，有些项小于它的前一项的数列
1,-2,3,-4,…
优点
缺点
通项
公式法
便于求出数列中任意指定的一项，利于对数列性质进行研究
一些数列用通项公式表示比较困难
列表法
内容具体、方法简单，给定项的序号，易得相应项
确切表示一个无穷数列或项数比较多的有穷数列时比较困难
图象法
能直观形象地表示出随着序号的变化，相应项的变化趋势
数列项数较多时用图象表示比较困难
递推
公式法
可以揭示数列的一些性质，如前后几项之间的关系
不容易了解数列的全貌，计算也不方便