2026年河南省中考模拟数学自编模拟卷含答案

这是一份2026年河南省中考模拟数学自编模拟卷含答案，共29页。试卷主要包含了下列几何体等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A．2和12B．﹣2和−12C．﹣2和|﹣2|D．2和12
2．（3分）下列几何体：
其中，左视图是平行四边形的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
3．（3分）小DNA病毒科（Parvviridae），又称“细小病毒科”，是最小且最简单的DNA病毒．小DNA病毒粒是直径约为0.000000021米的二十面体，无囊膜，等轴对称．数据“0.000000021”用科学记数法可表示为（ ）
A．0.21×10﹣8B．2.1×10﹣8C．21×10﹣7D．2.1×10﹣7
4．（3分）如图，直线a∥b，点B在直线b上，且AB⊥BC，∠1＝55°，则∠2的度数为（ ）
A．35°B．45°C．55°D．125°
5．（3分）对于一元二次方程3y2+5y﹣1＝0，下列说法正确的是（ ）
A．方程无实数根 B．方程有两个相等的实数根
C．方程有两个不相等的实数根 D．方程的根无法确定
6．（3分）如图，在△ABC中，D，E分别是边AC，AB的中点，连接BD．若BD平分∠ABC，则下列结论错误的是（ ）
A．BC＝2BEB．∠A＝∠EDAC．BC＝2ADD．BD⊥AC
7．（3分）化简m2m−n+n2n−m的结果是（ ）
A．m+nB．n﹣mC．m﹣nD．﹣m﹣n
8．（3分）小兰和小谭用掷A、B两枚六面体骰子的方法来确定P（x，y）的位置．他们规定：小兰掷得的点数为x，小谭掷得的点数为y．那么，他们各掷一次所确定的点数在直线y＝x上的概率为（ ）
A．16B．118C．112D．19
9．（3分）如图，正方形纸片ABCD的边长为3，点E、F分别在边BC、CD上，将AB、AD分别和AE、AF折叠，点B、D恰好都将在点G处，已知BE＝1，则EF的长为（ ）
A．32B．52C．94D．3
10．（3分）某自助餐厅餐桌上装有光盘仪，可用于“光盘行动”，光盘仪是一种质量电阻（图1中的传感器R1），R1的阻值随载盘台所载质量m的变化而变化（如图2），已知空载盘的质量为100g，电源电压保持30V不变，提示器的电阻R0恒为50Ω，则下列说法不正确的是（ ）
A．载盘台所载质量m越大，传感器R1的阻值越小
B．当m＝100g时，R1的阻值为100Ω
C．当m＝150g时，提示器不会发出提示音
D．当R1＝40Ω时，提示器会发出提示音
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）使二次根式1−2x有意义的x的取值范围是 ．
12．（3分）甲、乙、丙三位选手各10次射击成绩的平均数和方差，统计如下表：
则射击成绩最稳定的选手是 ．（填“甲”、“乙”、“丙”中的一个）
13．（3分）观察如图“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出n的值为 ．
14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，将Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，点B经过的路径为BD，则图中阴影部分的面积是 ．
15．（3分）如图，在△ABC中，BC＝12，AC＝16，∠C＝90°，M是AC边上的中点，N是BC边上任意一点，且CN＜12BC，若点C关于直线MN的对称点C'恰好落在△ABC的中位线上，则CN＝ ．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（10分）计算：
（1）2×6+327−613； （2）(3−5)×(3+5)−(5−3)2．
17．（9分）今年是中国共产主义青年团成立100周年，某校为了了解九年级480名同学对共青团知识的掌握情况，对他们进行了共青团知识测试．现随机抽取甲、乙两班各15名同学的测试成绩（满分100分）进行整理分析，过程如下：
【收集数据】
甲班15名学生测试成绩分别为：78，83，89，97，98，85，100，94，87，90，93，92，99，95，100．
乙班15名学生测试成绩中90≤x＜95的成绩如下：91，92，94，90，93．
【整理数据】
【分析数据】
【应用数据】
（1）根据以上信息，可以求出：a＝ 分，b＝ 分；
（2）若规定测试成绩90分及以上为优秀，请估计参加本次测试的480名学生中成绩为优秀的有多少人；
（3）根据以上数据，你认为哪个班本次测试的整体成绩较好？请说明理由（理由不少于两条）．
18．（9分）如图，点A、B在反比例函数y=kx的图象上，且点A、B的横坐标分别为a、2a（a＞0），AC⊥x轴，垂足为点C，且△AOC的面积为2．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）若点（﹣a，y1），（﹣2a，y2）在该反比例函数的图象上，试比较y1与y2的大小；
（3）求△AOB的面积．
19．（9分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠DBC＝30°．
（1）请用无刻度的直尺和圆规过点O作BD的垂线，交边BC于点E；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）连接DE，与AC交于点F，求证：DE⊥AC．
20．（9分）某工厂计划生产A、B两种产品共50件，需购买甲、乙两种材料．生产一件A产品需甲种材料30千克、乙种材料10千克；生产一件B产品需甲、乙两种材料各20千克．经测算，购买甲、乙两种材料各1千克共需资金40元，购买甲种材料2千克和乙种材料3千克共需资金105元．
（1）甲、乙两种材料每千克分别是多少元？
（2）现工厂用于购买甲、乙两种材料的资金不超过38000元，且生产B产品不少于28件，问符合条件的生产方案有哪几种？
（3）在（2）的条件下，若生产一件A产品需加工费200元，生产一件B产品需加工费300元，应选择哪种生产方案，使生产这50件产品的成本最低？（成本＝材料费+加工费）
21．（9分）小明利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度．一天下午，他和学习小组的同学带着测量工具来到这棵古树前，由于有围栏保护，他们无法到达古树的底部B，如图所示．于是他们先在古树周围的空地上选择一点D，并在点D处安装了测量器DC，测得古树的顶端A的仰角为45°；再在BD的延长线上确定一点G，使DG＝5米，并在G处的地面上水平放置了一个小平面镜，小明沿着BG方向移动，当移动到点F时，他刚好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像，此时，测得FG＝2米，小明眼睛与地面的距离EF＝1.6米，测量器的高度CD＝0.5米．已知点F、G、D、B在同一水平直线上，且EF、CD、AB均垂直于FB，求这棵古树的高度AB．（小平面镜的大小忽略不计）
22．（10分）已知二次函数y1＝a（x﹣2）2+k中，函数y1与自变量x的部分对应值如表：
（1）求该二次函数的表达式；
（2）将该函数的图象向左平移2个单位长度，得到二次函数y2的图象，分别在y1、y2的图象上取点A（m，n1）B（m+1，n2），试比较n1与n2的大小．
23．（10分）（1）问题发现
（1）如图1，△ABC和△CDE均为等边三角形，直线AD和直线BE交于点F．
填空：①∠AFB的度数是 ；②线段AD，BE之间的数量关系为 ；
（2）类比探究
如图2，△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，∠ABC＝∠DEC＝90°，AB＝BC，DE＝EC，直线AD和直线BE交于点F．请判断∠AFB的度数及线段AD，BE之间的数量关系，并说明理由．
（3）解决问题
如图3，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝5，点D在AB边上，DE⊥AC于点E，AE＝3，将△ADE绕着点A在平面内旋转，请直接写出直线DE经过点B时，点C到直线DE的距离．
河南省中考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A．2和12B．﹣2和−12C．﹣2和|﹣2|D．2和12
【分析】由于两个相反数的和为0，由此即可解答．
【解答】解：A、2+12≠0，故选项错误；
B、2+12≠0，故选项错误；
C、|﹣2|＝2与﹣2只有符号不同，故互为相反数，故选项正确．
D、2+12≠0，不符合相反数的定义，故选项错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查相反数概念：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0．
2．（3分）下列几何体：
其中，左视图是平行四边形的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【分析】左视图是从几何体的左面看所得到的图形．
【解答】解：圆柱的左视图是长方形，长方形是一个特殊的平行四边形；
圆锥的左视图是三角形；
棱柱的左视图是长方形，长方形是一个特殊的平行四边形；
长方体的左视图是长方形，长方形是一个特殊的平行四边形；
故左视图是平行四边形的有3个，
故选：B．
【点评】此题主要考查了几何体的三视图，解决此类图的关键是由立体图形得到三视图，以及考查学生空间想象能力．
3．（3分）小DNA病毒科（Parvviridae），又称“细小病毒科”，是最小且最简单的DNA病毒．小DNA病毒粒是直径约为0.000000021米的二十面体，无囊膜，等轴对称．数据“0.000000021”用科学记数法可表示为（ ）
A．0.21×10﹣8B．2.1×10﹣8C．21×10﹣7D．2.1×10﹣7
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：0.000000021＝2.1×10﹣8．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（3分）如图，直线a∥b，点B在直线b上，且AB⊥BC，∠1＝55°，则∠2的度数为（ ）
A．35°B．45°C．55°D．125°
【分析】根据两条直线平行，同位角相等，得∠1的同位角是55°．再根据平角的定义即可求得∠2．
【解答】解：∵a∥b，
∴BC与b所夹锐角等于∠1＝55°，
又AB⊥BC，
∴∠2＝180°﹣90°﹣55°＝35°．
故选：A．
【点评】考查了平行线的性质以及平角的概念．
5．（3分）对于一元二次方程3y2+5y﹣1＝0，下列说法正确的是（ ）
A．方程无实数根
B．方程有两个相等的实数根
C．方程有两个不相等的实数根
D．方程的根无法确定
【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式Δ＝b2﹣4ac的值的符号就可以了．
【解答】解：∵a＝3，b＝5，c＝﹣1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝52﹣4×3×（﹣1）＝37＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：C．
【点评】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．
6．（3分）如图，在△ABC中，D，E分别是边AC，AB的中点，连接BD．若BD平分∠ABC，则下列结论错误的是（ ）
A．BC＝2BEB．∠A＝∠EDAC．BC＝2ADD．BD⊥AC
【分析】根据D，E分别是边AC，AB的中点，得出DE是△ABC的中位线，所以DE∥BC且BC＝2DE；又BD平分∠ABC，所以∠CDB＝∠DBE＝∠BDE，所以BE＝DE＝AE，所以AB＝2DE，所以AB＝BC，即可得出B、D选项正确．
【解答】解：∵D，E分别是边AC，AB的中点，
∴DE∥BC且BC＝2DE，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠DBE＝∠BDE，
∴BE＝DE＝AE，
∴AB＝2DE，BC＝2DE＝2BE，故A正确；
∴AB＝BC，
∴∠A＝∠C＝∠EDA，故B正确；
C、∵AE＝DE，与AD不一定相等，故本选项不一定成立；
D、∵AB＝BC，点D是AC的中点，
∴BD⊥AC，故本选项正确．
故选：C．
【点评】本题利用三角形的中位线定理、角平分线的性质和平行线的性质推出等角，得到等腰三角形是解题的关键．
7．（3分）化简m2m−n+n2n−m的结果是（ ）
A．m+nB．n﹣mC．m﹣nD．﹣m﹣n
【分析】首先进行通分运算，进而分解因式化简求出答案．
【解答】解：m2m−n+n2n−m
=m2m−n−n2m−n
=(m+n)(m−n)m−n
＝m+n．
故选：A．
【点评】此题主要考查了分式的加减运算，正确分解因式是解题关键．
8．（3分）小兰和小谭用掷A、B两枚六面体骰子的方法来确定P（x，y）的位置．他们规定：小兰掷得的点数为x，小谭掷得的点数为y．那么，他们各掷一次所确定的点数在直线y＝x上的概率为（ ）
A．16B．118C．112D．19
【分析】列举出所有情况，看点数在直线y＝x上的情况数占总情况数的多少即可．
【解答】解：共36种情况，点数在直线y＝x上的情况数有6种，所以概率为16．
故选：A．
【点评】考查概率的求法；用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比；得到所求的情况数是解决本题的易错点．
9．（3分）如图，正方形纸片ABCD的边长为3，点E、F分别在边BC、CD上，将AB、AD分别和AE、AF折叠，点B、D恰好都将在点G处，已知BE＝1，则EF的长为（ ）
A．32B．52C．94D．3
【分析】由正方形纸片ABCD的边长为3，可得∠C＝90°，BC＝CD＝3，由根据折叠的性质得：EG＝BE＝1，GF＝DF，然后设DF＝x，在Rt△EFC中，由勾股定理EF2＝EC2+FC2，即可得方程，解方程即可求得答案．
【解答】解：∵正方形纸片ABCD的边长为3，
∴∠C＝90°，BC＝CD＝3，
根据折叠的性质得：EG＝BE＝1，GF＝DF，
设DF＝x，
则EF＝EG+GF＝1+x，FC＝DC﹣DF＝3﹣x，EC＝BC﹣BE＝3﹣1＝2，
在Rt△EFC中，EF2＝EC2+FC2，
即（x+1）2＝22+（3﹣x）2，
解得：x=32，
∴DF=32，EF＝1+32=52．
故选：B．
【点评】此题考查了折叠的性质、正方形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
10．（3分）某自助餐厅餐桌上装有光盘仪，可用于“光盘行动”，光盘仪是一种质量电阻（图1中的传感器R1），R1的阻值随载盘台所载质量m的变化而变化（如图2），已知空载盘的质量为100g，电源电压保持30V不变，提示器的电阻R0恒为50Ω，则下列说法不正确的是（ ）
A．载盘台所载质量m越大，传感器R1的阻值越小
B．当m＝100g时，R1的阻值为100Ω
C．当m＝150g时，提示器不会发出提示音
D．当R1＝40Ω时，提示器会发出提示音
【分析】根据图象即可判断A、B选项；根据图象可得当m＝150g时，R1的阻值为50Ω，则电路中的总电阻R＝R1+R0＝100（Ω），再根据I=UR计算出电流，和0.3A比较即可判断C选项；根据据I=UR计算出电流，和0.3A比较即可判断D选项．
【解答】解：由图2可知，载盘台所载质量m越大，传感器R1的阻值越小，故A选项正确，不符合题意；
由图2可知，当m＝100g时，R1的阻值为100Ω，故B选项正确，不符合题意；
当m＝150g时，R1的阻值为50Ω，
电路中的总电阻R＝R1+R0＝50+50＝100（Ω），
∴I=UR=30100=0.3（A），
∴提示器会发出提示音，故C选项错误，符合题意；
当R1＝40Ω时，
电路中的总电阻R＝R1+R0＝40+50＝90（Ω），
∴I=UR=3090=13（A）＞0.3（A），
∴提示器会发出提示音，故D选项正确，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查函数与图象，理解题意，从图中获取需要的信息，并进行准确地计算是解题关键．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）使二次根式1−2x有意义的x的取值范围是x≤12 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件可得1﹣2x≥0，再解不等式即可．
【解答】解：由题意得：1﹣2x≥0，
解得：x≤12．
故答案为：x≤12．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
12．（3分）甲、乙、丙三位选手各10次射击成绩的平均数和方差，统计如下表：
则射击成绩最稳定的选手是 乙 ．（填“甲”、“乙”、“丙”中的一个）
【分析】从统计表可以看出甲、乙、丙三位选手的平均数相同，进一步比较方差，方差小的数据的比较稳定，由此解决问题即可．
【解答】解：因为0.015＜0.026＜0.032，
即乙的方差＜甲的方差＜丙的方差，
因此射击成绩最稳定的选手是乙．
故答案为：乙．
【点评】此题主要利用方差来判定数据的波动性，方差越小，数据越稳定．
13．（3分）观察如图“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出n的值为 1045 ．
【分析】观察图中的数字发现规律：最上方的数字是连续奇数1，3，5…，左下方的数字为20，21，22…，右下方的数字＝左下方的数字+最上方的数字，据此解答即可．
【解答】解：观察已知图形中的数字间的规律为：
最上方的数字为：2n﹣1，
左下方的数字为：2n﹣1，
右下方的数字＝最上方的数字+左下方的数字，
即为2n﹣1+（2n﹣1），
因为21＝2×11﹣1，
所以211﹣1＝1024，
所以m＝1024，
所以n＝1024+21＝1045．
故答案为：1045．
【点评】本题考查了规律型：数字的变化类，解决本题的关键是观察数字的变化寻找规律，总结规律，运用规律．
14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，将Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，点B经过的路径为BD，则图中阴影部分的面积是 π6 ．
【分析】先根据勾股定理得到AB=2，再根据扇形的面积公式计算出S扇形ABD，由旋转的性质得到Rt△ADE≌Rt△ACB，于是S阴影部分＝S△ADE+S扇形ABD﹣S△ABC＝S扇形ABD
【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，
∴AB=2，
∴S扇形ABD=30⋅π(2)2360=π6．
又∴Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，
∴Rt△ADE≌Rt△ACB，
∴S阴影部分＝S△ADE+S扇形ABD﹣S△ABC＝S扇形ABD=π6．
故答案为：π6．
【点评】本题考查了扇形的面积公式：S=n⋅π⋅R2360．也考查了勾股定理以及旋转的性质．
15．（3分）如图，在△ABC中，BC＝12，AC＝16，∠C＝90°，M是AC边上的中点，N是BC边上任意一点，且CN＜12BC，若点C关于直线MN的对称点C'恰好落在△ABC的中位线上，则CN＝ 83或32−873 ．
【分析】取BC、AB的中点H、G，连接MH、HG、MG．分三种情形：①如图1中，当点C′落在MH上时；②如图2中，当点C′落在GH上时；③如图3中，当点C′落在直线GM上时，分别求解即可解决问题；
【解答】解：在△ABC中，BC＝12，AC＝l6，∠C＝90°，则由勾股定理知AB=AC2+BC2=162+122=20．
取BC、AB的中点H、G，连接MH、HG、MG．
如图1中，当点C′落在MH上时，设NC＝NC′＝x，
由题意可知：MC＝MC′＝8，MH＝10，HC′＝2，HN＝6﹣x，
在Rt△HNC′中，∵HN2＝HC′2+NC′2，
∴（6﹣x）2＝x2+22，
解得x=83．
如图2中，当点C′落在GH上时，设NC＝NC′＝x，
在Rt△GMC′中，MG＝CH＝6，MC＝MC′＝8，
∴GC′＝27，
∵∠NHC'＝∠C'GM＝90°，∠NC'M＝90°，
∴∠HNC'+∠HC'N＝∠GC'M+∠HC'N＝90°，
∴∠HNC'＝∠GC'M，
∴△HNC′∽△GC′M，
∴HC′GM=NC′MC′，
∴8−276=x8，
∴x=32−873．
如图3中，当点C′落在直线GM上时，易证四边形MCNC′是正方形，可得CN＝CM＝4．
∴C'M＞GM，
此时点C′在中位线GM的延长线上，不符合题意．
综上所述，满足条件的线段CN的长为83或32−873．
故答案为：83或32−873．
【点评】本题考查轴对称、三角形的中位线、勾股定理、相似三角形的判定和性质、正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（10分）计算：
（1）2×6+327−613；
（2）(3−5)×(3+5)−(5−3)2．
【分析】（1）利用二次根式的乘法法则及立方根定义进行计算即可；
（2）利用平方差及完全平方公式计算即可．
【解答】解：（1）原式=12+3−36×13
=12+3−12
＝3；
（2）原式＝3﹣5﹣（5﹣215+3）
＝﹣2﹣5+215−3
＝215−10．
【点评】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
17．（9分）今年是中国共产主义青年团成立100周年，某校为了了解九年级480名同学对共青团知识的掌握情况，对他们进行了共青团知识测试．现随机抽取甲、乙两班各15名同学的测试成绩（满分100分）进行整理分析，过程如下：
【收集数据】
甲班15名学生测试成绩分别为：78，83，89，97，98，85，100，94，87，90，93，92，99，95，100．
乙班15名学生测试成绩中90≤x＜95的成绩如下：91，92，94，90，93．
【整理数据】
【分析数据】
【应用数据】
（1）根据以上信息，可以求出：a＝ 100 分，b＝ 91 分；
（2）若规定测试成绩90分及以上为优秀，请估计参加本次测试的480名学生中成绩为优秀的有多少人；
（3）根据以上数据，你认为哪个班本次测试的整体成绩较好？请说明理由（理由不少于两条）．
【分析】（1）根据众数和中位数的定义求解可得；
（2）用总人数乘以样本中甲、乙班成绩优秀人数和所占比例即可；
（3）根据平均数、众数、中位数、方差的意义求解即可（答案不唯一，合理均可）．
【解答】解：（1）∵甲班15名学生测试成绩100出现次数最多，
∴众数是100分，则a＝100；
把乙组15个数按从小到大排列，则中位数是第8个数，
即中位数出现在90≤x＜95这一组中，故b＝91；
故答案为：100，91；
（2）根据题意得：
480×4+6+5+430=304（人），
答：估计参加本次测试的480名学生中成绩为优秀的有304人；
（3）甲班成绩较好，理由如下：
因为甲班成绩的平均数大于乙班，方差小于乙班，所以甲班整体平均成绩大于乙班且甲班成绩稳定（答案不唯一，合理均可）．
【点评】本题考查了中位数、众数和平均数、方差的概念．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数；一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．
18．（9分）如图，点A、B在反比例函数y=kx的图象上，且点A、B的横坐标分别为a、2a（a＞0），AC⊥x轴，垂足为点C，且△AOC的面积为2．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）若点（﹣a，y1），（﹣2a，y2）在该反比例函数的图象上，试比较y1与y2的大小；
（3）求△AOB的面积．
【分析】（1）由S△AOC=12xy＝2，设反比例函数的解析式y=kx，则k＝xy＝4；
（2）由于反比例函数的性质是：在x＜0时，y随x的增大而减小，﹣a＞﹣2a，则y1＜y2；
（3）连接AB，过点B作BE⊥x轴，交x轴于E点，通过分割面积法S△AOB＝S△AOC+S梯形ACEB﹣S△BOE求得．
【解答】解：（1）∵S△AOC＝2，
∴k＝2S△AOC＝4；
∴y=4x；
（2）∵k＞0，
∴函数y在各自象限内随x的增大而减小；
∵a＞0，
∴﹣2a＜﹣a；
∴y1＜y2；
（3）连接AB，过点B作BE⊥x轴，
S△AOC＝S△BOE＝2，
∴A（a，4a），B（2a，2a）；
S梯形=12(2a+4a)×(2a−a)=3，
∴S△AOB＝S△AOC+S梯形ACEB﹣S△BOE＝3．
【点评】此题重点检查函数性质的应用和图形的分割转化思想．同学们要熟练掌握这类题型．
19．（9分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠DBC＝30°．
（1）请用无刻度的直尺和圆规过点O作BD的垂线，交边BC于点E；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）连接DE，与AC交于点F，求证：DE⊥AC．
【分析】（1）根据垂线的作图方法作图即可．
（2）根据已知条件以及矩形的性质可得△COD为等边三角形，证明Rt△DOE≌Rt△DCE，可得∠ODE＝∠CDE，即DF为等边三角形COD的角平分线，根据等边三角形的性质可得DF为等边三角形COD的高线，即DE⊥AC．
【解答】（1）解：如图，OE即为所求．
（2）证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BCD＝90°，OC＝OD．
∵∠DBC＝30°，
∴∠BDC＝60°，
∴△COD为等边三角形，
∴OD＝CD．
∵OE⊥BD，
∴∠DOE＝90°，
∴∠DOE＝∠DCE，
∵DE＝DE，
∴Rt△DOE≌Rt△DCE（HL），
∴∠ODE＝∠CDE，
即DF为等边三角形COD的角平分线，
∴DF为等边三角形COD的高线，
即DE⊥AC．
【点评】本题考查作图—基本作图、等边三角形的判定与性质、矩形的性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质、矩形的性质是解答本题的关键．
20．（9分）某工厂计划生产A、B两种产品共50件，需购买甲、乙两种材料．生产一件A产品需甲种材料30千克、乙种材料10千克；生产一件B产品需甲、乙两种材料各20千克．经测算，购买甲、乙两种材料各1千克共需资金40元，购买甲种材料2千克和乙种材料3千克共需资金105元．
（1）甲、乙两种材料每千克分别是多少元？
（2）现工厂用于购买甲、乙两种材料的资金不超过38000元，且生产B产品不少于28件，问符合条件的生产方案有哪几种？
（3）在（2）的条件下，若生产一件A产品需加工费200元，生产一件B产品需加工费300元，应选择哪种生产方案，使生产这50件产品的成本最低？（成本＝材料费+加工费）
【分析】（1）设甲材料每千克x元，乙材料每千克y元，根据购买甲、乙两种材料各1千克共需资金40元，购买甲种材料2千克和乙种材料3千克共需资金105元，可列出方程组x+y=402x+3y=105，解方程组即可得到甲材料每千克15元，乙材料每千克25元；
（2）设生产A产品m件，生产B产品（50﹣m）件，先表示出生产这50件产品的材料费为15×30m+25×10m+15×20（50﹣m）+25×20（50﹣m）＝﹣100m+40000，根据购买甲、乙两种材料的资金不超过38000元得到﹣100m+40000≤38000，根据生产B产品不少于28件得到50﹣m≥28，然后解两个不等式求出其公共部分得到20≤m≤22，而m为整数，则m的值为20，21，22，易得符合条件的生产方案；
（3）设总生产成本为W元，加工费为：200m+300（50﹣m），根据成本＝材料费+加工费得到W＝﹣100m+40000+200m+300（50﹣m）＝﹣200m+55000，根据一次函数的性质得到W 随m的增大而减小，然后把m＝22代入计算，即可得到最低成本．
【解答】解：（1）设甲材料每千克x元，乙材料每千克y元，则x+y=402x+3y=105，解得x=15y=25，
所以甲材料每千克15元，乙材料每千克25元；
（2）设生产A产品m件，生产B产品（50﹣m）件，则生产这50件产品的材料费为15×30m+25×10m+15×20（50﹣m）+25×20（50﹣m）＝﹣100m+40000，
由题意：﹣100m+40000≤38000，解得m≥20，
又∵50﹣m≥28，解得m≤22，
∴20≤m≤22，
∴m的值为20，21，22，
共有三种方案，如下表：
（3）设总生产成本为W元，加工费为：200m+300（50﹣m），
则W＝﹣100m+40000+200m+300（50﹣m）＝﹣200m+55000，
∵W 随m的增大而减小，而m＝20，21，22，
∴当m＝22时，总成本最低．
答：选择22件A和28件B，总成本最低．
【点评】本题考查了一次函数的应用：通过实际问题列出一次函数关系，然后根据一次函数的性质解决问题．也考查了二元一次方程组以及二元一次不等式组的应用．
21．（9分）小明利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度．一天下午，他和学习小组的同学带着测量工具来到这棵古树前，由于有围栏保护，他们无法到达古树的底部B，如图所示．于是他们先在古树周围的空地上选择一点D，并在点D处安装了测量器DC，测得古树的顶端A的仰角为45°；再在BD的延长线上确定一点G，使DG＝5米，并在G处的地面上水平放置了一个小平面镜，小明沿着BG方向移动，当移动到点F时，他刚好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像，此时，测得FG＝2米，小明眼睛与地面的距离EF＝1.6米，测量器的高度CD＝0.5米．已知点F、G、D、B在同一水平直线上，且EF、CD、AB均垂直于FB，求这棵古树的高度AB．（小平面镜的大小忽略不计）
【分析】过点C作CH⊥AB于点H，则CH＝BD，BH＝CD＝0.5米，解Rt△ACH，得出AH＝CH＝BD，那么AB＝AH+BH＝BD+0.5，再证明△EFG∽△ABG，根据相似三角形对应边成比例求出BD＝17.5米，进而求出AB即可．
【解答】解：如图，过点C作CH⊥AB于点H，
则CH＝BD，BH＝CD＝0.5米．
在Rt△ACH中，∠ACH＝45°，
∴AH＝CH＝BD，
∴AB＝AH+BH＝BD+0.5．
∵EF⊥FB，AB⊥FB，
∴∠EFG＝∠ABG＝90°．
由反射角等于入射角得∠EGF＝∠AGB，
∴△EFG∽△ABG，
∴EFAB=FGBG即1.6BD+0.5=25+BD，
解得BD＝17.5，
∴AB＝17.5+0.5＝18（m）．
∴这棵古树的高AB为18m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，相似三角形的应用，解题的关键是正确的构造直角三角形并选择正确的边角关系解直角三角形，难度一般．
22．（10分）已知二次函数y1＝a（x﹣2）2+k中，函数y1与自变量x的部分对应值如表：
（1）求该二次函数的表达式；
（2）将该函数的图象向左平移2个单位长度，得到二次函数y2的图象，分别在y1、y2的图象上取点A（m，n1）B（m+1，n2），试比较n1与n2的大小．
【分析】（1）找出顶点（2，1）代入一个点可求得二次函数的表达式；
（2）分别把A、B两点的坐标代入表达式中，求出对应的n1和n2的值，比较大小即可．
【解答】解：（1）从表格看，二次函数顶点为（2，1），则k＝1，
把（1，2）代入y1＝a（x﹣2）2+1中得：2＝a（1﹣2）2+1，a＝1，
∴二次函数的表达式；y1＝（x﹣2）2+1；
（2）由题意得：y2＝（x﹣2+2）2+1＝x2+1，
把A（m，n1）B（m+1，n2）分别代入y1、y2的表达式中，
n1＝（m﹣2）2+1＝m2﹣4m+5，
n2＝（m+1）2+1＝m2+2m+2，
n1﹣n2＝（m2﹣4m+5）﹣（m2+2m+2）＝﹣6m+3，
﹣6m+3＞0，m＜12，
﹣6m+3＜0，m＞12，
∴当m＜12时，n1﹣n2＞0，即n1＞n2，
当m=12时，n1﹣n2＝0，即n1＝n2，
当m＞12时，n1﹣n2＜0，即n1＜n2．
【点评】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式及几何变换，待定系数法就是将图象上的两点或三点的坐标代入解析式中列方程组，解出字母系数，写出二次函数的解析式；对于第二问中的纵坐标的大小比较，代入可求得．
23．（10分）（1）问题发现
（1）如图1，△ABC和△CDE均为等边三角形，直线AD和直线BE交于点F．
填空：①∠AFB的度数是 60° ；②线段AD，BE之间的数量关系为AD＝BE ；
（2）类比探究
如图2，△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，∠ABC＝∠DEC＝90°，AB＝BC，DE＝EC，直线AD和直线BE交于点F．请判断∠AFB的度数及线段AD，BE之间的数量关系，并说明理由．
（3）解决问题
如图3，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝5，点D在AB边上，DE⊥AC于点E，AE＝3，将△ADE绕着点A在平面内旋转，请直接写出直线DE经过点B时，点C到直线DE的距离．
【分析】（1）证明△ACD≌△BCE（SAS），即可解决问题．
（2）结论：∠AFB＝45°，AD=2BE．证明△ACD∽△BCE，可得ADBE=ACBC=2，∠CBF＝∠CAF，由此即可解决问题．
（3）分两种情形分别求解即可解决问题．
【解答】解：（1）如图1中，
∵△ABC和△CDE均为等边三角形，
∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACD＝∠BCE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，∠ACD＝∠CBF，
设BC交AF于点O．
∵∠AOC＝∠BOF，
∴∠BFO＝∠ACO＝60°，
∴∠AFB＝60°，
故答案为60°，AD＝BE．
（2）结论：∠AFB＝45°，AD=2BE．
理由：如图2中，
∵∠ABC＝∠DEC＝90°，AB＝BC，DE＝EC，
∴∠ACD＝45°+∠BCD＝∠BCE，ACBC=DCEC=2，
∴△ACD∽△BCE，
∴ADBE=ACBC=2，∠CBF＝∠CAF，
∵∠AFB+∠CBF＝∠ACB+∠CAF，
∴∠AFB＝∠ACB＝45°．
（3）如图3中，
∵AEB＝∠ACB＝90°，
∴A，B，C，E四点共圆，
∴∠CEB＝∠CAB＝30°，∠ABD＝∠ACE，
∵∠FAE＝∠BAC＝30°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD∽△CAE，
∴ECBD=ACAB=cs30°=32，
∴EC=32BD，
在Rt△ADE中，∵DE=3，∠DAE＝30°，
∴AE=3DE＝3，
∴BE=AB2−AE2=4，
∴BD＝BE﹣DE＝4−3，
∴CE=32BD＝23−32，
∵∠BEC＝30°，
∴点C到直线DE的距离等于CE•sin30°=3−34．
如图4中，当D，EB在同一直线上时，同法可知BD＝DE+EB＝4+3，CE=32BD＝23+32，
点C到直线DE的距离等于CE•sin30°=3+34．
综上所述，点C到直线DE的距离等于3±34．
【点评】本题考查几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
选手
甲
乙
丙
平均数
9.3
9.3
9.3
方差
0.026
0.015
0.032
班级
75≤x＜80
80≤x＜85
85≤x＜90
90≤x＜95
95≤x＜100
甲
1
1
3
4
6
乙
1
2
3
5
4
班级
平均数
众数
中位数
方差
甲
92
a
93
47.3
乙
90
87
b
50.2
x
…
1
2
3
4
…
y
…
2
1
2
5
…
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
B．
A
C
C
A
A
B
C
选手
甲
乙
丙
平均数
9.3
9.3
9.3
方差
0.026
0.015
0.032
班级
75≤x＜80
80≤x＜85
85≤x＜90
90≤x＜95
95≤x＜100
甲
1
1
3
4
6
乙
1
2
3
5
4
班级
平均数
众数
中位数
方差
甲
92
a
93
47.3
乙
90
87
b
50.2
A（件）
20
21
22
B（件）
30
29
28
x
…
1
2
3
4
…
y
…
2
1
2
5
…