2026年河南郑州市部分学校中考数学模拟试卷

这是一份2026年河南郑州市部分学校中考数学模拟试卷，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）数轴上点P的位置如图所示，则点P表示的数可能是（ ）
A．−3B．3C．﹣2D．5
2．（3分）U盘由朗科公司1999年发明，取代软盘，成为便携式移动存储的划时代产品，已知1GB＝210MB，则图中20GB的U盘容量是（ ）
A．5×1020MBB．5×212MBC．220MBD．2×1012MB
3．（3分）如图，在图1的立体图形中添加一个小正方体变成图2，有关视图变化说法正确的是（ ）
A．左视图不变B．主视图不变
C．俯视图不变D．三视图都改变
4．（3分）如图1为爆玉米花机器，图2为其模型，AB∥CD，∠A＝53°，∠APC＝103°，则∠C的度数为（ ）
A．43°B．50°C．53°D．60°
5．（3分）已知关于x的不等式组−x+1＜02x−m＜0无解，则m的值可能为（ ）
A．2B．3C．4D．5
6．（3分）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“豫数”．如4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此4、12、20都是“豫数”，有关“豫数”说法正确的是（ ）
A．所有“豫数”都是6的倍数
B．28是“豫数”
C．50是“豫数”
D．最小的“豫数”是2
7．（3分）如图，▱ABCD中，E是BC上一点，且BE＝2CE，连接AE、BD交于点F，则AFAE的值为（ ）
A．23B．34C．35D．57
8．（3分）如图将一个圆形转盘均分成3个扇形，扇形上写有三个等式，随机转动转盘两次，记录得到的两个等式（指向边界处重转），则两次记录的等式都错误的概率是（ ）
A．14B．23C．29D．49
9．（3分）如图，正方形ABCD的对角线交于点O，⊙O为正方形ABCD的外接圆，EF为⊙O直径．若EF＝1，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．π8−116B．π8−14C．π2−18D．π16−18
10．（3分）某同学利用数学绘图软件探究函数y=a|x|(x−b)的图象，在输入一组a、b的值后得到如图所示的函数图象（与y轴无交点），根据你学习函数的经验，这组a，b的值应满足（ ）
A．a＞0，b＞0B．a＜0，b＞0C．a＞0，b＜0D．a＜0，b＜0
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）用代数式表示：“比x的2倍小3的数”是 ．
12．（3分）信阳毛尖滋味鲜爽，香气清高，具有独特的品质．如图是某信阳毛尖专卖店在春茶上市某一周周一至周五的促销活动中连续五天的销售盒数图，则这组销售数据（盒数）的众数为 ．
13．（3分）若关于x的一元二次方程x2+x−12m=0没有实数根，则m的取值范围为 ．
14．（3分）如图，在Rt△ABC中，点P为斜边AB的中点，点Q为AC边上不与端点重合的一动点，连接BQ，PQ．若AB＝6，∠A＝30°，则BQ+PQ的最小值为 ．
15．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，点D是AC的中点，将△ABC绕点D顺时针旋转60°得到△A′B′C′，A′B′分别交AC，AB于E，F两点，则B，B′两点间的距离是 ，EF的长为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．（9分）计算、化简：
（1）2×8−327−(12)−1；
（2）m2−1m÷(1−1m)．
17．（9分）校园植物社团为研究不同光照条件（①区为教学楼旁半阴环境，②区为操场旁全日照环境）对同种灌木叶片发育的影响，开展了专项调查．从①②两个区域的灌木上各随机选取180片成熟叶片，测量每片叶片的长度x作为样本数据，并将数据分为以下组别：
整理样本数据后，绘制①②两区样本数据的频数分布直方图，部分信息如下：
（1）补全①区频数分布直方图；②区样本数据的平均数为 ；
（2）下列结论一定正确的是 （填正确结论的序号）；
Ⅰ两区样本数据的中位数均在C组；
Ⅱ两区样本数据的平均数一定分别大于其中位数．
（3）结合植物生理学标准，将C、D两组的叶片认定为“优质发育叶片”（形态饱满、光合效率高）．B组为“一般发育叶片”，其他组为“畸形发育叶片”．试估计哪个区域的叶片发育品质更优，并说明理由．
18．（9分）如图，平面直角坐标系中有一矩形ABCD，顶点A、B都在坐标轴上，反比例函数y=kx(x＞0)的图象经过点C（5，2）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若BC=25，将矩形ABCD竖直向上平移，当反比例函数y=kx(x＞0)再次经过矩形的顶点时，求此时点A的对应点坐标．
19．（9分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD为斜边AB上的中线．
（1）请用无刻度的直尺和圆规在AC下方作∠CAM，使得∠CAM＝∠BAC；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在射线AM上有一点E，满足AE＝AD，连接CE，求证：四边形ADCE是菱形．
20．（9分）如图，施工人员发现山脚处有一座高压线塔AB和一个半圆形隧道入口（如图1），在太阳光照射下，高压线塔的顶端A的影子刚好落在半圆形隧道入口的最高处点E（即半圆的中点），同时太阳光线与半圆O相切于点F，照射在地面BO上的G点，构造模型如图2．通过测量得到BC＝8米，DG＝3米，并测得光线与水平面夹角为37°．
（1）求半圆形隧道入口的最高处点E距地面的高度；
（2）求出高压线塔AB的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：sin37°≈0.6，cs37°≈0.8，tan37°≈0.75）
21．（9分）能量胶是长跑运动员常用的补给品，能快速为身体补充碳水化合物、电解质等，及时缓解疲劳，维持运动表现，助力运动员完成长距离赛事．某长跑团队为运动员准备了A、B两种能量胶，每种能量胶的营养成分如表所示：
（1）教练发现7支A能量胶和9支B能量胶中的碳水化合物含量相同，每支A能量胶的碳水化合物含量比B能量胶多4克，每支A、B能量胶中各含有碳水化合物多少克？
（2）依据运动营养学建议，运动员单次长距离训练前补充碳水化合物总量不低于85克．在某次长距离训练前，运动员可携带5支能量胶，为符合标准，应如何安排携带方案？并求出对应的碳水化合物总量．（注：A，B两种能量胶必须均携带）
22．（9分）在一条笔直的塑胶专用赛道上，红、蓝两个机器人同向移动，红机器人从点M处开始减速，同时蓝机器人在红机器人前方30cm处，以3cm/s的速度匀速移动．测得红机器人减速后移动的距离y（单位：cm）随移动时间t（单位：s）变化的数据如表所示：
探究发现，y与t之间的数量关系可以用二次函数来描述．
（1）求y关于t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）
（2）当t＝4时，求两机器人之间的距离；
（3）王林说：“红、蓝机器人之间的最小距离为12cm．”请通过计算判断他的说法是否正确．
23．（12分）综合与实践
在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“对补四边形”进行研究．定义：对角互补的四边形叫作对补四边形．
（1）初步认识
某学习小组先对“对补四边形”的角进行探究．
如图1，四边形ABCD是对补四边形，若∠A：∠B：∠C＝5：3：4，则∠D的度数为 ；
（2）性质探究
该学习小组就“对补四边形”的边和对角线继续进行探究：
①如图2，四边形ABCD是对补四边形，若对角线AC平分∠DAB，求证：CD＝CB；
②如图3，四边形ABCD是对补四边形，AB＝AD，连接AC，若∠ACB＝α，求∠BCD的度数．（用含α的式子表示）
（3）拓展应用
如图4，在边长为4的等边△ABC中，D是边AB的中点，E是边AC上一动点，将△AED沿ED翻折，得到△FED，延长EF交直线BC于点G，若CG=32，请直接写出FG的长．
2026年河南郑州市部分学校中考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的）
1．（3分）数轴上点P的位置如图所示，则点P表示的数可能是（ ）
A．−3B．3C．﹣2D．5
【分析】根据数轴上的点所表示数的特征即可解决问题．
【解答】解：由题知，
点P表示的数比﹣1小，比﹣2大，
显然只有A选项符合题意．
故选：A．
【点评】本题主要考查了实数与数轴，熟知数轴上的点所表示数的特征是解题的关键．
2．（3分）U盘由朗科公司1999年发明，取代软盘，成为便携式移动存储的划时代产品，已知1GB＝210MB，则图中20GB的U盘容量是（ ）
A．5×1020MBB．5×212MBC．220MBD．2×1012MB
【分析】根据20GB＝20×210MB＝5×4×210MB＝5×22×210MB，利用同底数幂乘法求解即可．
【解答】解：∵1GB＝210MB，
∴20GB＝20×210MB＝5×4×210MB＝5×22×210MB＝5×212MB．
故选：B．
【点评】本题考查了科学记数法﹣表示较大的数，掌握科学记数法的表示方法是关键．
3．（3分）如图，在图1的立体图形中添加一个小正方体变成图2，有关视图变化说法正确的是（ ）
A．左视图不变B．主视图不变
C．俯视图不变D．三视图都改变
【分析】画出图1、图2中立体图形的三视图即可．
【解答】解：图1、图2中组合体的三视图如下：
所以在图1的立体图形添加一个小正方体得到图2的立体图形的左视图不变，
故选：A．
【点评】本题考查了简单几何体的三视图，掌握几何体的空间结构特点是关键．
4．（3分）如图1为爆玉米花机器，图2为其模型，AB∥CD，∠A＝53°，∠APC＝103°，则∠C的度数为（ ）
A．43°B．50°C．53°D．60°
【分析】过P作GH∥AB，利用平行线的性质，求解即可．
【解答】解：AB∥CD，∠A＝53°，∠APC＝103°，则：过P作GH∥AB，
由题意可得：AB∥CD∥GH，
∴∠A＝∠APG，∠C＝∠CPG，
∵∠APC＝∠APG+∠CPG，
∴∠APC＝∠A+∠C，
∵∠A＝53°，∠APC＝103°，
∴∠C＝∠APC﹣∠A＝50°．
故选：B．
【点评】本题考查平行线的性质，正确进行计算是解题关键．
5．（3分）已知关于x的不等式组−x+1＜02x−m＜0无解，则m的值可能为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】先分别解两个不等式，再根据“大大小小无解”确定m的取值范围，最后结合选项判断即可．
【解答】解：−x+1＜0①2x−m＜0②，
解不等式①得x＞1；
解不等式②得x＜m2；
∵不等式组无解，
∴m2≤1，
∴m≤2．
故选：A．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”是解题的关键．
6．（3分）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“豫数”．如4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此4、12、20都是“豫数”，有关“豫数”说法正确的是（ ）
A．所有“豫数”都是6的倍数
B．28是“豫数”
C．50是“豫数”
D．最小的“豫数”是2
【分析】先设两个连续偶数，利用平方差公式推导出“豫数”的一般形式，再结合各选项判断正误．
【解答】解：设两个连续偶数分别为2n和2n+2（n为整数，n≥0），
由题意可得：
∵一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“豫数”．
∴豫数 ＝（2n+2）2﹣（2n）2＝（2n+2+2n）（2n+2﹣2n）＝8n+4＝4（2n+1）
∴豫数是4乘以奇数．
对选项逐一判断：
A、当n＝0时，得到最小豫数为4，4不是6的倍数，选项错误；
B、28＝64﹣36＝82﹣62，符合“豫数”定义，选项正确；
C、50不是4的倍数，不符合豫数的形式，选项错误；
D、最小的“豫数”是4，不是2，选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查整式的加减，正确记忆相关知识点是解题关键．
7．（3分）如图，▱ABCD中，E是BC上一点，且BE＝2CE，连接AE、BD交于点F，则AFAE的值为（ ）
A．23B．34C．35D．57
【分析】根据平行四边形的性质可求出ADBE=32，证明△ADF∽△EBF，根据相似三角形的性质求出AFEF=ADBE=32，然后根据比例的性质求解即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵BE＝2CE，
∴ADBE=BCBE=BE+CEBE=2CE+CE2CE=32，
∵AD∥BC，
∴△ADF∽△EBF，
∴AFEF=ADBE=32，
∴AFAE=33+2=35，
故选：C．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟练掌握相关知识是解题关键．
8．（3分）如图将一个圆形转盘均分成3个扇形，扇形上写有三个等式，随机转动转盘两次，记录得到的两个等式（指向边界处重转），则两次记录的等式都错误的概率是（ ）
A．14B．23C．29D．49
【分析】列表罗列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，最后利用概率公式求解．
【解答】解：设a2•a3＝a5为A（计算正确），a2+a2＝a4为B（计算错误），（a2）3＝a5为C（计算错误），
列表如下：
∴共有9种可能结果，其中两次记录的等式都错误的有4种，
∴两次记录的等式都错误的概率为49，
故选：D．
【点评】本题主要考查了列表法与树状图法，熟练掌握相关知识是解题关键．
9．（3分）如图，正方形ABCD的对角线交于点O，⊙O为正方形ABCD的外接圆，EF为⊙O直径．若EF＝1，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．π8−116B．π8−14C．π2−18D．π16−18
【分析】由S阴影＝S弓形AEB＝S扇形AOB﹣S△AOB，再结合扇形面积公式以及三角形面积公式求解即可．
【解答】解：∵⊙O与正方形ABCD均为中心对称图形，且正方形ABCD的对角线交于点O，⊙O为正方形ABCD的外接圆，EF为⊙O直径，
∴S阴影＝S弓形AEB＝S扇形AOB﹣S△AOB，
∵EF＝1，
∴OA=OB=OE=12EF=12，
∵正方形ABCD的对角线交于点O，
∴∠AOB＝90°，
∴S阴影=S弓形AEB=S扇形AOB−S△AOB=90360π×(12)2−12×12×12=π16−18，
∴图中阴影部分的面积为π16−18，
故选：D．
【点评】本题主要考查了扇形面积的计算，正方形的性质，熟练掌握相关知识是解题关键．
10．（3分）某同学利用数学绘图软件探究函数y=a|x|(x−b)的图象，在输入一组a、b的值后得到如图所示的函数图象（与y轴无交点），根据你学习函数的经验，这组a，b的值应满足（ ）
A．a＞0，b＞0B．a＜0，b＞0C．a＞0，b＜0D．a＜0，b＜0
【分析】从函数整体图象来看，发现部分图象有类似反比例函数，再从y轴左侧图象，判断图象虚线代表的意义，即可求解．
【解答】解：从函数整体图象来看，发现部分图象有类似反比例函数再从y轴左侧图象，判断图象虚线代表的意义可知：
设虚线为x＝m（显然，m＜0），
由图中可知，当x＜m时，y＜0，
因为|x|＞0，
所以ax−b＜0，
当x＞m时，y＞0，
因为|x|＞0，
所以ax−b＞0，
所以（x﹣b）在m的左右两侧时，符号是不同的，即b＝m＜0，
当x＜b时，x﹣b＜0，而y＜0，所以a＞0，故C正确．
故选：C．
【点评】本题考查了函数的图象，熟练掌握该知识点是关键．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）用代数式表示：“比x的2倍小3的数”是 2x﹣3 ．
【分析】先求倍数，然后求差．
【解答】解：∵x的2倍是2x，
∴比2x小3的数是2x﹣3．
【点评】列代数式的关键是正确理解文字语言中的关键词，比如该题中的“倍”、“小”等，从而明确其中的运算关系，正确地列出代数式．
12．（3分）信阳毛尖滋味鲜爽，香气清高，具有独特的品质．如图是某信阳毛尖专卖店在春茶上市某一周周一至周五的促销活动中连续五天的销售盒数图，则这组销售数据（盒数）的众数为 50 ．
【分析】根据众数的定义进行解答即可．
【解答】解：根据图中数据可知：出现次数最多的是50，
∴这组销售数据的众数50．
故答案为：50．
【点评】本题考查了众数，解题的关键是根据众数的定义来解答．
13．（3分）若关于x的一元二次方程x2+x−12m=0没有实数根，则m的取值范围为 m＜−12 ．
【分析】根据一元二次方程根的判别式，结合方程没有实数根的条件列出关于m的不等式，求解不等式即可得到m的取值范围．
【解答】解：由条件可知Δ=b2−4ac=12−4×1×(−12m)＜0，
整理得1+2m＜0，
解得：m＜−12．
故答案为：m＜−12．
【点评】本题考查了根的判别式，熟练掌握该知识点是关键．
14．（3分）如图，在Rt△ABC中，点P为斜边AB的中点，点Q为AC边上不与端点重合的一动点，连接BQ，PQ．若AB＝6，∠A＝30°，则BQ+PQ的最小值为 33 ．
【分析】延长BC到点D，使CD＝BC，连接PD，交AC于点Q，连接CP，根据线段垂直平分线的性质得出BQ＝DQ，从而得出BQ+PQ＝DQ+PQ，根据两点之间线段最短，得出此时PQ+DQ最小，即BQ+PQ最小，证明∠BPD＝90°，根据勾股定理求出结果即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，点P为斜边AB的中点，点Q为AC边上不与端点重合的一动点，则：
延长BC到点D，使CD＝BC，连接PD，交AC于点Q，连接CP，如图所示：
∵∠ACB＝90°，
∴AC⊥BD，
∵CD＝BC，
∴AC垂直平分BD，
∴BQ＝DQ，
∴BQ+PQ＝DQ+PQ，
∵两点之间线段最短，
∴此时PQ+DQ最小，即BQ+PQ最小，
∵在Rt△ABC中，∠A＝30°，AB＝6，
∴BC=12AB=3，
∴CD＝BC＝3，
∵点P为斜边AB的中点，
∴CP=BP=12AB=3，
∴BP＝CP＝BC＝CD，
∴∠CBP＝∠CPB，∠CPD＝∠CDP，
∵∠CBP+∠CPB+∠CPD+∠CDP＝180°，
∴∠CPB+∠CPD=12×180°=90°，
∴∠BPD＝90°，
∵BD＝BC+CD＝6，
∴PD=62−32=33，
即BQ+PQ的最小值为33．
故答案为：33．
【点评】本题考查勾股定理，正确进行计算是解题关键．
15．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，点D是AC的中点，将△ABC绕点D顺时针旋转60°得到△A′B′C′，A′B′分别交AC，AB于E，F两点，则B，B′两点间的距离是 72 ，EF的长为 14 ．
【分析】在Rt△ABC中，由勾股定理得AC的值，再根据D是AC中点，可得AD=A′D=DC=32，进而在Rt△BCD中运用勾股定理可求出DB，再由旋转性质和等边三角形的判定和性质可得BB′；先求出∠A′ED＝90°，再运用含30°的直角三角形的性质可得DE，最后在Rt△AEF中再运用含30°的直角三角形的性质即可求解．
【解答】解：连接DB′，BB′，DB，如图：
∵∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，
∴AB＝2BC＝2，
∴AC=AB2−BC2=3．
∵D是AC中点，
∴AD=A′D=DC=32，
∴DB=BC2+DC2
=12+(32)2
=72，
由旋转性质，DB＝DB′，且旋转角∠BDB′＝60°，
∴△BDB′为等边三角形，
∴BB′=DB=72；
∵∠A′＝∠A＝30°，∠ADA′＝60°，
∴∠A'ED＝180°﹣30°﹣60°＝90°，
∴△A′DE为直角三角形．
又∵A′D=32，
∴DE=12A′D=32⋅12=34，
∴AE=AD−DE=32−34=34，
∵∠AEF＝∠A'ED＝90°，∠A＝30°，
∴EF=AE3=343=14．
故答案为：72；14．
【点评】本题以直角三角形旋转为载体，核心考查了含30°的直角三角形的性质、旋转的不变性、等边三角形判定及勾股定理．通过构造直角三角形与等边三角形，将线段长度计算转化为勾股定理与边角关系的应用，充分体现了“转化思想”与“数形结合”在几何计算中的作用．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．（9分）计算、化简：
（1）2×8−327−(12)−1；
（2）m2−1m÷(1−1m)．
【分析】（1）先计算二次根式的乘法，立方根以及负整数指数幂，再计算加减法即可；
（2）先将括号内通分作差，再将除法化为乘法约分化简即可．
【解答】解：（1）原式＝4﹣3﹣2＝﹣1；
（2）原式=(m+1)(m−1)m÷m−1m
=(m+1)(m−1)m⋅mm−1
＝m+1．
【点评】本题考查了实数的运算，负整数指数幂，立方根，分式的混合运算，掌握相应的运算法则是关键．
17．（9分）校园植物社团为研究不同光照条件（①区为教学楼旁半阴环境，②区为操场旁全日照环境）对同种灌木叶片发育的影响，开展了专项调查．从①②两个区域的灌木上各随机选取180片成熟叶片，测量每片叶片的长度x作为样本数据，并将数据分为以下组别：
整理样本数据后，绘制①②两区样本数据的频数分布直方图，部分信息如下：
（1）补全①区频数分布直方图；②区样本数据的平均数为 4.65 ；
（2）下列结论一定正确的是 Ⅰ （填正确结论的序号）；
Ⅰ两区样本数据的中位数均在C组；
Ⅱ两区样本数据的平均数一定分别大于其中位数．
（3）结合植物生理学标准，将C、D两组的叶片认定为“优质发育叶片”（形态饱满、光合效率高）．B组为“一般发育叶片”，其他组为“畸形发育叶片”．试估计哪个区域的叶片发育品质更优，并说明理由．
【分析】（1）根据题意及①区样本数据频数分布直方图提供的数据求出C组对应的样本数据，再画图即可；找到②区样本数据频数分布直方图提供的数据及对应组内每片叶片的长度x的中间值，代入平均数计算公式计算平均数即可；
（2）根据①、②区样本数据频数分布直方图提供的数据逐一分析即可；
（3）根据题意分别求出①、②区“优质发育叶片”所占比例，然后，再进行比较即可．
【解答】解：（1）由题意得，C组数据的个数＝180﹣12﹣45﹣48﹣15＝60，故补全的频数分布直方图如图所示；
②平均数为9×2.5+36×3.5+72×4.5+45×5.5+18×6.5180=4.65．
故答案为：4.65；
（2）分别从①、②区样本数据频数分布图中看出第90片和第91片样本数据均落在C组，故①、②区样本数据的中位数在C组，Ⅰ正确；
根据图表提供的信息不能确定两区样本数据的中位数的具体数值，故Ⅱ不一定正确；
故选：Ⅰ；
（3）②区叶片发育品质更优．
理由：①区“优质发育叶片”所占比例为60+48180×100%=60%；
②区“优质发育叶片”所占比例为72+45180×100%=65%，②区比例高于①区，故②区叶片发育品质更优．
【点评】本题主要考查了频数（率）分布直方图、总体、个体、样本、样本容量、用样本估计总体、频数（率）分布表、中位数，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键．
18．（9分）如图，平面直角坐标系中有一矩形ABCD，顶点A、B都在坐标轴上，反比例函数y=kx(x＞0)的图象经过点C（5，2）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若BC=25，将矩形ABCD竖直向上平移，当反比例函数y=kx(x＞0)再次经过矩形的顶点时，求此时点A的对应点坐标．
【分析】（1）将点C（5，2）代入函数表达式即可求解；
（2）过点C作CE⊥OB，垂足为E，根据角度相同，对应三角函数相同，求出OA的长度，结合图形判断，再次经过矩形顶点时，应为点B在函数上，由此可得出平移的距离，最终得出点A平移后的坐标．
【解答】解：（1）由条件可知k＝5×2＝10，
∴反比例函数解析式为y=10x(x＞0)；
（2）过点C作CE⊥OB，垂足为E，如下图所示：
根据勾股定理可知：BE=BC2−CE2=4，
∴OB＝OE﹣BE＝1，
根据矩形的性质可知∠ABC＝90°，
∴∠ABO+∠CBE＝90°，
又∠OAB+∠ABO＝90°，
∴∠OAB＝∠CBE，
∴tan∠OAB＝tan∠CBE，
∴OBOA=CEBE，即1OA=24，解得OA＝2，
将矩形ABCD竖直向上平移时，
根据题意可知，只有顶点B满足条件，
平移后点B对应点为B（1，m），
当反比例函数经过该点时，m＝10，
即向上平移的距离是10，
故此时点A的对应点坐标为（0，12）．
【点评】本题主要考查了反比例函数的几何应用，锐角三角函数，利用数形结合思想解答是解题的关键．
19．（9分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD为斜边AB上的中线．
（1）请用无刻度的直尺和圆规在AC下方作∠CAM，使得∠CAM＝∠BAC；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在射线AM上有一点E，满足AE＝AD，连接CE，求证：四边形ADCE是菱形．
【分析】（1）以点A为圆心、适当长度为半径画弧，分别交AB、AC于两点F、G，以G为圆心、FG的长为半径画弧，两弧交点即为M，作射线AM，即可得到∠CAM＝∠BAC．
（2）由直角三角形斜边中线的性质得AD＝CD，进而可得∠BAC＝∠DCA．由作图知∠CAM＝∠BAC，则∠CAM＝∠DCA，可证CD∥AE，又AE＝AD，结合AD＝CD，进而可证四边形ADCE是平行四边形，再由CD＝AD，可证四边形ADCE是菱形．
【解答】（1）解：如图所示：
（2）证明：∵∠ACB＝90°，CD为斜边AB上的中线，
∴CD=12AB，
∴AD＝CD，
∴∠DCA＝∠BAC，
∵∠BAC＝∠CAM，
∴∠DCA＝∠CAM，
∴CD∥AE，
∵AE＝AD，AD＝CD，
∴CD＝AE，
∴四边形ADCE为平行四边形，
∵CD＝AD，
∴四边形ADCE为菱形．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，直角三角形斜边上的中线，菱形判定，关键是掌握基本作图﹣作一个角等于已知角的方法，菱形的判定方法．
20．（9分）如图，施工人员发现山脚处有一座高压线塔AB和一个半圆形隧道入口（如图1），在太阳光照射下，高压线塔的顶端A的影子刚好落在半圆形隧道入口的最高处点E（即半圆的中点），同时太阳光线与半圆O相切于点F，照射在地面BO上的G点，构造模型如图2．通过测量得到BC＝8米，DG＝3米，并测得光线与水平面夹角为37°．
（1）求半圆形隧道入口的最高处点E距地面的高度；
（2）求出高压线塔AB的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：sin37°≈0.6，cs37°≈0.8，tan37°≈0.75）
【分析】（1）连接OF，设半圆O的半径OF＝OE＝OC＝OD＝r，由切线的性质得出OF⊥FG，再根据正弦的定义得出r＝sin37°（r+3），解方程即可得出r的值．
（2）连接OE，过点E作EH⊥AB于点H．证明四边形BHEO是矩形．由矩形的性质得出BH＝EO，EH＝OB＝BC+CO，通过解直角三角形计算出AH，进而可求出AB．
【解答】解：（1）连接OF，
设半圆O的半径OF＝OE＝OC＝OD＝r，
∵FG是半圆O的切线，
∴OF⊥FG，
在Rt△OFG中，∠OGF＝37°，OF＝r，OG＝r+3
∴OF＝OG•sin37°，即r＝sin37°（r+3），
解得r≈4.5．
故半圆形隧道入口的最高处点E距地面的高度即为半径的长度为4.5m．
（2）连接OE，过点E作EH⊥AB于点H．
由题意可得：OE⊥CD，
∵∠ABO＝90°，∠BHE＝90°（EH⊥AB），∠EOB＝90°，
∴四边形BHEO是矩形．
∴BH＝EO，EH＝OB＝BC+CO．
在Rt△AEH中，∠AEH＝37°．
∴AH＝EH•tan37°＝（BC+CO）tan37°≈（8+4.5）×0.75＝9.375（米）．
∴AB＝AH+BH≈9.375+4.5＝13.875≈13.9（米）．
答：高压线塔AB的高度约为13.9米．
【点评】本题考查解直角三角形，正确进行计算是解题关键．
21．（9分）能量胶是长跑运动员常用的补给品，能快速为身体补充碳水化合物、电解质等，及时缓解疲劳，维持运动表现，助力运动员完成长距离赛事．某长跑团队为运动员准备了A、B两种能量胶，每种能量胶的营养成分如表所示：
（1）教练发现7支A能量胶和9支B能量胶中的碳水化合物含量相同，每支A能量胶的碳水化合物含量比B能量胶多4克，每支A、B能量胶中各含有碳水化合物多少克？
（2）依据运动营养学建议，运动员单次长距离训练前补充碳水化合物总量不低于85克．在某次长距离训练前，运动员可携带5支能量胶，为符合标准，应如何安排携带方案？并求出对应的碳水化合物总量．（注：A，B两种能量胶必须均携带）
【分析】（1）根据7支A能量胶和9支B能量胶中的碳水化合物含量相同，每支A能量胶的碳水化合物含量比B能量胶多4克列方程组求解即可；
（2）根据运动员单次长距离训练前补充碳水化合物总量不低于85克列不等式，再根据运动员可携带5支能量胶且A，B两种能量胶必须均携带求出x的整数值，即可得解．
【解答】解：（1）设每支A、B能量胶中各含有碳水化合物m克、n克，
7m=9nm−4=n，
解得m=18n=14，
答：每支A、B能量胶中各含有碳水化合物18克，14克；
（2）设携带A种能量胶x支，
则18x+14（5﹣x）≥85，
解得：x≥3.75，
又x为整数，
∴x只能取4，
∴A种能量胶携带4支，B种能量胶携带1支；
对应的碳水化合物总量为：18×4+14×1＝86克．
【点评】本题考查二元一次方程组的应用，正确进行计算是解题关键．
22．（9分）在一条笔直的塑胶专用赛道上，红、蓝两个机器人同向移动，红机器人从点M处开始减速，同时蓝机器人在红机器人前方30cm处，以3cm/s的速度匀速移动．测得红机器人减速后移动的距离y（单位：cm）随移动时间t（单位：s）变化的数据如表所示：
探究发现，y与t之间的数量关系可以用二次函数来描述．
（1）求y关于t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）
（2）当t＝4时，求两机器人之间的距离；
（3）王林说：“红、蓝机器人之间的最小距离为12cm．”请通过计算判断他的说法是否正确．
【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）由表格可知当t＝4时，y＝24cm，再求出蓝机器人离M点的距离，最后再相减即可得出答案；
（3）设s表示两机器人之间的距离．用t表示出s，最后根据二次函数的图象和性质即可得出答案．
【解答】解：（1）由题意得，设y关于t的函数解析式为y＝at2+bt．
得：4a+2b=1616a+4b=24，
解得a=−1b=10，
∴y＝﹣t2+10t；
（2）由表格可知：当t＝4时，y＝24cm，
此时，蓝机器人离M点的距离是30+3t＝30+3×4＝42cm，
故两机器人之间的距离是42﹣24＝18cm；
（3）设s表示两机器人之间的距离．蓝机器人的移动距离为3t，
红机器人的移动距离为y＝﹣t2+10t，初始距离为30cm，且蓝机器人在前方，
因此：s=30+3t−(−t2+10t)=t2−7t+30=(t−72)2+714，
因为二次项系数1＞0，所以该二次函数图象开口向上，
当t＝3.5时，s取得最小值，最小值为17.75．
由于最小值17.75＞12，
故王林说法错误．
【点评】本题考查二次函数的应用，正确进行计算是解题关键．
23．（12分）综合与实践
在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“对补四边形”进行研究．定义：对角互补的四边形叫作对补四边形．
（1）初步认识
某学习小组先对“对补四边形”的角进行探究．
如图1，四边形ABCD是对补四边形，若∠A：∠B：∠C＝5：3：4，则∠D的度数为 120° ；
（2）性质探究
该学习小组就“对补四边形”的边和对角线继续进行探究：
①如图2，四边形ABCD是对补四边形，若对角线AC平分∠DAB，求证：CD＝CB；
②如图3，四边形ABCD是对补四边形，AB＝AD，连接AC，若∠ACB＝α，求∠BCD的度数．（用含α的式子表示）
（3）拓展应用
如图4，在边长为4的等边△ABC中，D是边AB的中点，E是边AC上一动点，将△AED沿ED翻折，得到△FED，延长EF交直线BC于点G，若CG=32，请直接写出FG的长．
【分析】（1）设∠A＝5x，∠B＝3x，∠C＝4x，再根据对补四边形的定义得5x+4x＝180°，求出方程的解，可得∠B，然后根据定义得出答案；
（2）①作CE⊥AD，CF⊥AB，根据角平分线的性质得CE＝CF，∠CED＝∠CFB＝90°，再根据对补四边形的定义得∠CDE＝∠CBF，然后根据“角角边”证明△CDE≌△CBF，则答案可证；
②作AE⊥BC，AF⊥CD，根据“角角边”证明△ABE≌△ADF，可得AF＝AE，再根据角平分线的判定定理得出答案；
（3）当点G在线段BC上时，连接DG，作DM⊥BC，DN⊥EF，先说明四边形BGFD是对补四边形，可得DG平分∠BGE，根据角平分线的性质得DN＝DM，NG＝GM，再证明△DNF≌△DMB，可得NF＝BM，接下来根据直角三角形的性质求出BM，最后根据GM＝BC﹣CG﹣BM求出NG，则答案可求；当点G在BC的延长线上时，画出图形，仿照上述过程解答即可．
【解答】（1）解：由∠A：∠B：∠C＝5：3：4，设∠A＝5x，∠B＝3x，∠C＝4x，（1）由∠A：∠B：∠C＝5：3：4，设∠A＝5x，∠B＝3x，∠C＝4x，
∵四边形ABCD是对补四边形，
∴∠A+∠C＝180°，
即5x+4x＝180°，
解得：x＝20°，
∴∠B＝3x＝60°，
∴∠D＝180°﹣60°＝120°，
故答案为：120°；
（2）①证明：过点C分别作CE⊥AD于点E，CF⊥AB交AB的延长线于点F，如图2所示．
∵对角线AC平分∠DAB，CE⊥AD，CF⊥AB，
∴CE＝CF，∠CED＝∠CFB＝90°．
∵四边形ABCD是对补四边形，
∴∠ABC+∠ADC＝180°．
∵∠ABC+∠CBF＝180°，
∴∠CDE＝∠CBF．
在△CDE和△CBF中，
∠CDE=∠CBF∠CED=∠CFBCE=CF，
∴△CDE≌△CBF（AAS），
∴CD＝CB；
②解：过点A分别作AE⊥BC于点E，AF⊥CD交CD的延长线于点F，如图3，
则∠AEB＝∠AFD＝90°．
∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADF＝180°，
∴∠B＝∠ADF．
在△ABE和△ADF中，
∠B=∠ADF∠AEB=∠AFD=90°AB=AD，
∴△ABE≌△ADF（AAS），
∴AF＝AE．
∴点A在∠DCB的平分线上，
∴∠DCB＝2∠ACB＝2α；
（3）解：FG的长为12或72．理由如下：
①当点G在线段BC上时，如图4，连接DG，作DM⊥BC于M，DN⊥EF于N，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝60°．
根据折叠得∠EFD＝∠A＝60°，
∴∠DFG＝120°，
∴∠B+∠DFG＝180°，
∴四边形BGFD是对补四边形，则DG平分∠BGE，
∴DN＝DM，NG＝GM．
∵∠B＝∠DFN＝60°，∠DMB＝∠DNF＝90°，DN＝DM，
∴△DNF≌△DMB（AAS），
∴NF＝BM．
在Rt△DMB中，∠BDM＝30°，
∴BM=12DB=14AB=1，
当CG=32时，GM=BC−CG−BM=4−1−32=32，
∴NG=32，NF＝1，
∴FG=NG−NF=32−1=12．
②当点G在射线BC上时，如图5．
当点G在BC的延长线上时，如图5，连接DG，作DM⊥BC于M，DN⊥EF于N，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝60°．
根据折叠得∠EFD＝∠A＝60°，
∴∠DFG＝120°，
∴∠B+∠DFG＝180°，
∴四边形BGFD是对补四边形，则DG平分∠BGE，
∴DN＝DM，NG＝GM．
在△DNF和△DMB中，
∠DFN=∠B=60°∠DNF=∠DMB=90°DN=DM，
∴△DNF≌△DMB（AAS），
∴NF＝BM．
在Rt△DMB中，∠BDM＝30°，
∴BM=12DB=14AB=1，
当CG=32时，GM=BC−BM+CG=4−1+32=92，
∴NG=92，NF＝1，
∴FG=NG−NF=92−1=72．
综上所述，FG的长为12或72．
【点评】本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质定理和判定定理，直角三角形的性质，等边三角形的性质，折叠的性质，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/3/28 10:00:29；用户：邢连强；邮箱：13468187680；学号：36611160组别
A
B
C
D
E
x（单位：cm）
2.0≤x＜3.0
3.0≤x＜4.0
4.0≤x＜5.0
5.0≤x＜6.0
6.0≤x≤7.0
能量
碳水化合物（克）
热量（千卡）
钠（毫克）
钾（毫克）
A
？
120
35
20
B
？
90
40
15
移动时间t/s
0
1
2
3
4
…
移动距离y/cm
0
9
16
21
24
…
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
B
A
B
A
B
C
D
D
C
A
B
C
A
（A，A）
（A，B）
（A，C）
B
（B，A）
（B，B）
（B，C）
C
（C，A）
（C，B）
（C，C）
组别
A
B
C
D
E
x（单位：cm）
2.0≤x＜3.0
3.0≤x＜4.0
4.0≤x＜5.0
5.0≤x＜6.0
6.0≤x≤7.0
能量
碳水化合物（克）
热量（千卡）
钠（毫克）
钾（毫克）
A
？
120
35
20
B
？
90
40
15
移动时间t/s
0
1
2
3
4
…
移动距离y/cm
0
9
16
21
24
…