湖南省长沙市第一中学2026届高三下学期开学考试数学试题含答案

这是一份湖南省长沙市第一中学2026届高三下学期开学考试数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了 已知直线 l1等内容，欢迎下载使用。
1. 答卷前、考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号. 回答非选择题时, 将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效.
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题(本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个 选项中, 只有一项是符合题目要求的)
1. 已知集合 U=R,A=x x2>1,B=x∣2x+1>0 ,则 ∁UA∩B= ( )
A. −12,+∞ B. −12,1 C. −12,1 D. −1,−12
2. 已知 a,b 是两个不共线的向量,向量 b−ta,12a−23b 共线,则实数 t 的值为 ( )
A. 13 B. 32 C. 43 D. 34
3. 已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ,其中 an=19−2n ,则 Sn 取得最大值时 n 的值为( )
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
4. 已知直线 l1:ax+2y−a+1=0,l2:3x+a−1y−2=0 ，则 “ a=−2 ” 是 “ l1//l2 ” 的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
5. 已知函数 fx=lg2x2−ax 在区间 1,2 上单调递增，则实数 a 的取值范围是( )
A. −∞,1 B. (−∞,1] C. (−∞,2] D. 1,2
6. 已知 PM=12,PM∣N=35,PM∣N=110 ,则 PN= ( )
A. 45 B. 34 C. 23 D. 25
7. 在平面直角坐标系 xOy 中, A−2,0,B2,0 ,直线 AM 的斜率与直线 BM 的斜率的差是
2,则 OM 的最小值为( )
A. 3 B. 6
C. 455 D. 3
8. 已知函数 fx=21−x,0≤x≤2,12fx−2,x>2, 函数 gx=fx−kx 有 4 个零点,则实数 k 的取值范围是( )
A. 18,12 B. 14,12 C. 18,14 D. 18,14
二、选择题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中， 至少有两项符合题目要求, 若全部选对得 6 分, 部分选对得部分分, 选错或不 选得 0 分)
9. 已知 z1=2+i,z2=1−2i ，则( )
A. z1=z2 B. z1+z2=10
C. z1z2=z1z2 D. z1z2=z1z2
10. 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施, 上面挂在轮边缘的是供乘客搭乘的座舱. 某地一摩天轮与地面的垂直高度(最高处与地面的距离)为 208 米，直径 193 米，入口在最底部. 摩天轮逆时针方向匀速转动, 30 分钟转一圈, 假设该摩天轮共有 36 个座舱, 且每两个座舱间隔相等，则下列说法正确的是 ( )
A. 若摩天轮的转速减半，则其旋转一圈的时间是原来的一半
B. 乘客从入口进入座舱，摩天轮开始转动后，乘客距离水平地面的高度 h (米)与时间 t (分钟)的函数解析式为 ht=96.5sinπ15t−π2+111.5
C. 乘客从入口进入座舱，摩天轮开始转动后，经过 10 分钟，乘客距离地面的高度为 163.25 米
D. 游客乙在游客甲后进入座舱，且中间间隔 5 个座舱，在摩天轮转动一周的过程中，两人距离地面的高度差的最大值为 96.5 米
11. 如图,在棱长为 2 的正方体 ABCD−A1B1C1D1 中, E 为棱 CD 的中点, P 为侧面 BCC1B1 内一点 (含边界), 则 ( )

A. 若 P 为线段 BC1 上一点,则三棱锥 D1−PAE 的体积为定值
B. 若该正方体表面上的动点 T 满足 D1T=2 ，则动点 T 的轨迹长度是 4π
C. 若 P 为侧面 BCC1B1 的中心，则过点 E 且与 DP 垂直的平面截正方体所得截面面积为 6
D. 若该正方体的内切球表面上的动点 Q 满足 BQ// 平面 ACD1 ，则线段 BQ 长度的最小值为 63
三、填空题(本大题共 3 个小题，每小题 5 分，共 15 分)
12. 设随机变量 X∼N0,σ2 ,且 PX≤1=0.66 ,则 PX≤1= _____.
13. 过点 P0,−2 与圆 x2+y2−4x−1=0 相切的两条直线的切点分别为 A,B ,则 AB= _____.
14. 设 bi>0i=1,2,⋯,n ,则称 nb1b2⋯bn 为 b1,b2,⋯,bn 这 n 个数的几何平均数. 若从等比数列 1,2,22,⋯,2n 中删除一个数 2m1≤m≤n−1,m∈N∗ ,剩下的 n 个数的几何平均数为 22025 , 则 n= _____.
四、解答题(本大题共 5 个小题, 共 77 分, 解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤)
15. 如图,在平面四边形 ABCD 中, ∠ABC+∠ADC=180∘,∠BAC=∠DAC .

(1)证明: BC=CD ；
(2)已知 AC=2 ， △ABC 的外接圆半径为 1 ，求 △ABD 面积的最大值.
16. 如图 1,在正方形 ABCD 中, AB=5,E 为 BC 的中点,过点 B 作 AE 的垂线,与 AE,CD 分别交于点 O,F ,把四边形 ABFD 沿 BF 折起,使得 AO⊥ 平面 BCF ,点 A,D 分别到达点 A1,D1 的位置,连接 A1C,D1C ,如图 2.

图1

图2
(1)设 A1G=12GC,M 是线段 BF (不含端点)上一动点，问:是否存在点 M ，使 BC⊥MG ？若存在，求出 BMMF 的值；若不存在，请说明理由；
(2)求平面 A1BC 与平面 D1CF 所成角的余弦值.
17. 如图,已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的离心率为 22 ,线段 A1A2,B1B2 分别为 C 的长轴与短轴,四边形 A1B1A2B2 的面积为 42 .

(1)求 C 的标准方程；
(2)若直线 l 与 C 分别交于 M,N 两点，且总有 A2B2 平分 ∠MA2N . 求证:直线 l 恒过定点，并求出定点坐标;
18. 已知函数 fx=xα−bx+b−1 .
(1)当 α=12 时，讨论 fx 的单调性；
(2)当 α=3 时,若曲线 y=fx 恰有两条过点 −1,0 的切线，求实数 b 的取值集合；
(3)设 p,q 为非负实数， s,t 为正实数，若 s+t=1 ，证明: psqt≤ps+qt .
19. DM 训练机器人玩传球游戏,现有编号为 1,2,⋯,nn∈N∗,n≥3 的 n 位球员围成一个圆, 机器人 DM 居于圆心位置, 传球规则如下: 球由 DM 传给球员, 任何球员接球都直接传回 DM 为一次传球. DM 传球给目标球员顺序依次为 1→2→3→…→n . 每次传球时, DM只从尚未接球的球员中随机选择一人，若选中当前目标球员(如当前应传至 k 号，则 k 为目标球员)，则传球成功且之后不再给该球员传球，目标球员更新为 k+1 号；若选中非目标球员， 则传球失败，球传回 DM，DM 记下该球员编号，并在其成为目标球员时直接传球给该球员， 且在其成为目标球员前不会再给该球员传球; 传球无论成功与否均计为 1 次传球，直到第 n 号球员接球后传回机器人 DM 游戏终止.
(1)当 n=5 时,
(i) 求 DM 第 3 次恰好成功完成给 2 号球员传球的概率;
(ii) 设 X 为完成全部传球所需总次数,求 X 的分布列及数学期望 EX ;
(2)设 Xn 为完成全部传球所需总次数，若 EX+Y=EX+EY ，证明: EXn−12}=−12,+∞ , 所以 ∁UA∩B=−12,1 .
故选: C
2. D
因为向量 b−ta,12a−23b 共线,
所以存在实数 λ ,使得 b−ta=λ12a−23b=−2λ3b+λ2a ,
所以 1=−2λ3−t=λ2 ,解得 λ=−32t=34 ,则 t=34 .
故选: D.
3. B
因为等差数列 an 满足 an=19−2n,n0,n≥10 时, an0 在区间 1,2 上恒成立即 a2≤11−a≥0⇒a≤2a≤1 ,即实数 a 的取值范围是 (−∞,1] .
故选: B.
6. A
由全概率公式知 PM=PNPM∣N+PNPM∣N
=PNPM∣N+1−PNPM∣N=35PN+1101−PN
=12PN+110=12,
所以 PN=45 .
故选: A
7. A
设 Mx,y ,
因为直线 AM 的斜率与直线 BM 的斜率的差是 2,
所以 yx+2−yx−2=2 ,
化简得到点 M 的轨迹方程 y=−12x2+2,x≠±2 ,
由 OM=x2+y2 ,将 y=−12x2+2 代入得到
OM2=x2+−12x2+22=14x4−x2+4 , 令 t=x2 得到 t≥0 且 t≠4 ,
所以 OM2=14t2−t+4,t≥0且t≠4 为开口朝上的二次函数,对称轴 t=2
当 t=2 时， OMmin2=3 ，所以 OMmin=3 .
故选: A.
8. D
当 0≤x≤1 时, fx=2−2x ,当 1≤x≤2 时, fx=2x−2 ,
当 2