湖南邵阳市第二中学2025-2026学年高二下学期开学考试数学试题含答案

这是一份湖南邵阳市第二中学2025-2026学年高二下学期开学考试数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知向量 a=1,λ,−3,b=2,−1,1 ，且 a⊥b ，则实数 λ 的值为( )
A. -1 B. 0 C. 1 D. 3
2. 抛物线 y=4x2 的焦点到其准线的距离为( )
A. 116 B. 14 C. 18 D. 1
3. 如图,已知正三棱柱 ABC−A1B1C1 的棱长均为 2,则异面直线 A1B 与 B1C 所成角的余弦值是( )

A. 32 B. 12
C. 14 D. 0
4. 函数 y=exx 的单调递增区间是( )
A. −∞,1 B. 1,+∞ C. −∞,0 和 0,1 D. −∞,0
5. 求以抛物线 x2=4y 的焦点 F 为圆心， F 到直线 x−y+3=0 的距离为半径的圆的标准方程为 ( )
A. x2+y−12=2 B. x−12+y2=2
C. x−12+y2=8 D. x2+y−12=8
6. 设甲:数列 an 满足 2an+1=an+an+2n∈N∗ ，乙:数列 an 是等差数列，则甲是乙的
( )
A. 充要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 把 10 个相同的小球放入编号分别为1,2,3的三个不同的箱子中,每个箱子的球的个数不少于其编号，则共有多少种放法( )
A. 10 种 B. 15 种 C. 20 种 D. 45 种
8. 若存在 a>0 ,对任意的 x∈0,+∞ ,都有 xlnx+2a≥ax+b ,则 b 的最大值为( )
A. −1e B. e2 C. 2ln2 D. 1+ln2
二、多选题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有 多项符合题目要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 下列导数计算正确的有( )
A. x+x3′=12x+3x2 B. xsinx+csx′=xcsx+2sinx
C. x−1e2x+1′=3−2xe2x+1 D. lg22x+1′=22x+1ln2
10. 已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ,且 S100 的一条弦 AB 过点 3,0 ,且弦的中点坐标为 2,1 ,则椭圆的离心率 e= _____.
13. 某校举办元旦晚会，有 2 个语言类节目和 4 个唱歌节目，要求第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目, 有_____种排法(数字作答).
14. 已知过原点的直线 l 与函数 fx=lnx+1 的图像相切,则直线 l 的方程为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.
15. 已知函数 fx=−lnx+2x+2x .
(1)求 fx 在 x=1 处的切线方程；
(2)当 x∈14,2 时，求 fx 的最值.
16. 记 Sn 为数列 an 的前 n 项和， bn 为数列 Sn 的前 n 项积. 已知 3Sn+1bn=3 .
(1)证明:数列 bn 为等差数列.
(2)求数列 an 的通项公式.
17. 如图,底面 ABCD 是边长为 2 的菱形, ∠BAD=60∘,DE⊥ 平面 ABCD,CF//DE , DE=2CF ， BE 与平面 ABCD 所成的角为 45∘ .

(1)求证:平面 BEF⊥ 平面 BDE ；
(2)求二面角 B - EF - D 的余弦值.
18. 已知椭圆 E:x2a2+y2b2=1a>b>0 的离心率为 22,F1,F2 分别为椭圆的左、右焦点, 点 P 是椭圆 E 上在第一象限内的一个动点,且 ▵PF1F2 的周长为 2+22 .
(1)求椭圆 E 的标准方程；
(2)若直线 PF1,PF2 分别交椭圆 E 于点 A,B,M 是线段 AB 的中点.
(i) 求证: 直线 AB 和 OM 的斜率乘积为定值;
(ii) 若分别记 OP,AB 的斜率为 k1,k2 ,求 1k2−1k1 的最大值.
19. 已知函数 fx=xaex+x−alnx−1a∈R .
(1)当 a=1 时，求函数 fx 在 x=1 处的切线方程；
(2)若函数 fx 有两个零点，记作 x1 ， x2 .
(i) 求参数 a 的取值范围;
(ii) 若 00 ,即得 x>1 ,
所以函数 y=exx 的单调递增区间是 1,+∞ .
故选: B.
5. A
由题知抛物线 x2=4y 的焦点坐标为 F0,1 ,
所以 F 到直线 x−y+3=0 的距离为 d=0−1+32=2 ,
所以,所求圆的圆心为 F0,1 ,半径为 r=d=2 ,
所以圆的标准方程为 x2+y−12=2 .
故选: A
6. A
若 2an+1=an+an+2n∈N∗ 成立,则 an+2−an+1=an+1−an ,符合等差数列的定义, 所以能够推出数列 an 是等差数列,故充分性成立.
若数列 an 是等差数列,设其公差为 d ,则 an=a1+n−1d,an+1=a1+nd .
an+2=a1+n+1​​d.
所以 2an+1=2a1+nd=2a1+2nd ,
an+an+2=a1+n−1d+a1+n+1d=2a1+2nd
所以 2an+1=an+an+2n∈N∗ . 即必要性成立.
所以甲是乙的充分必要条件.
故选: A.
7. B
先在 1 号箱子放 0 个小球, 2 号箱子放 1 个小球, 3 号箱子放 2 个小球,
问题转化为将剩余的 7 个相同小球放入 3 个不同箱子中,方法数共有 C62=15 种.
故选: B.
8. C
任意的 x∈0,+∞ ,都有 xlnx+2a≥ax+b ,
则有 b≤xlnx+2a−ax 在 0,+∞ 上恒成立,
令 fx=xlnx+2a−ax ,函数定义域为 0,+∞ ,
f′x=lnx+1−a ,令 f′x=0 ,解得 x=ea−1 ,
00 ,使 b≤2a−ea−1 ,
令 ga=2a−ea−1a>0,g′a=2−ea−1 ,令 g′a=0 ,解得 a=1+ln2 ,
01+ln2 时 g′a−a12>0 , 可得数列 an 的公差 d 小于 0,故 A 选项正确;
对于 B 选项,由 a11>0,a120,hx 单调递增
当 x∈e,+∞ 时, h′x0 ,
∴u′t>0 ,则 ut 在 [3,+∞) 上单调递增.
∴ut≥u3=3×3+13−1ln3=5ln3 ,
∴3t+1t−1lnt≥5ln3 ,得证,
∴x1⋅x23≥243 .