湖南省长沙市第一中学2026届高三下学期开学考试数学试题（Word版附解析）

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2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在
本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的）
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】解不等式化简集合 ，再利用补集、交集的定义求解.
【详解】依题意， 或 ， ， ，
所以 .
故选：C
2. 已知 是两个不共线的向量，向量 共线，则实数 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据向量共线，可得 ，列方程即可求得答案.
【详解】因为向量 共线，
所以存在实数 ，使得 ，
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所以 ，解得 ，则 .
故选：D.
3. 已知等差数列 的前 项和为 ，其中 ，则 取得最大值时 的值为（ ）
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
【答案】B
【解析】
【分析】根据等差数列的性质进行判断即可.
【详解】因为等差数列 满足 ， 时， ， 时， .
所以当 时， 取得最大值.
故选：B.
4. 已知直线 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】根据充分条件，必要条件的定义，结合两条直线平行的条件即可求出答案.
【详解】当 ，直线 ，此时 ，故“ ”是“ ”
的充分条件，
由 ，得 ，解得 ，故“ ”是“ ”的必要条件，
故“ ”是“ ”的充要条件.
故选：C.
5. 已知函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
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【解析】
【分析】结合复合函数单调性、对数函数的定义域来求得 a 的取值范围.
【详解】函数 是开口向上的二次函数，其对称轴为 ；
因为函数 在区间 上单调递增，
所以内层函数 在区间 上单调递增且 在区间 上恒成立
即 ，即实数 的取值范围是 .
故选：B.
6. 已知 ， ， ，则 （ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】应用全概率公式、对立事件的概率求法列方程求 .
【详解】由全概率公式知
，
所以 .
故选：A
7. 在平面直角坐标系 中， ，直线 的斜率与直线 的斜率的差是 2，则
的最小值为（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】A
【解析】
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【分析】设 ，由直线 的斜率与直线 的斜率的差是 2，得到点 M 的轨迹方程
， ；由 ，化简得到 ，
利用换元法令 ，求解得到 .
详解】设 ，
因为直线 的斜率与直线 的斜率的差是 2，
所以 ，
化简得到点 M 的轨迹方程 ， ，
由 ，将 代入得到
，
令 得到 且 ，
所以 ，（ 且 ）为开口朝上的二次函数，对称轴
当 时， ，所以 .
故选：A.
8. 已知函数 函数 有 4 个零点，则实数 的取值范围是（
）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题作出函数 图象，将题意转化为 与 有 4 个交点，结合图象分析求解即可
.
【详解】当 时， ，当 时， ，
当 时， ， ，
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所以 ，
当 时， ， ，
所以 ，
当 时， ， ，
所以 ，
当 时， ， ，
所以 ，
作出函数 的大致图象，
若函数 有 4 个零点，即 与 有 4 个交点，
当直线 过点 时， ；当直线 过点 时， ；
由图可知， 与 有 4 个交点时，有 ，
故选：D
二、选择题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，至少有两项
符合题目要求，若全部选对得 6 分，部分选对得部分分，选错或不选得 0 分）
9. 已知 ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用复数模的意义、乘法运算，结合共轭复数的意义逐项计算判断.
【详解】对于 A， ， ，A 正确；
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对于 B， ，则 ，B 正确；
对于 C， ，则 ，C 正确；
对于 D， ， ， ，D 错误.
故选：ABC
10. 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，上面挂在轮边缘的是供乘客搭乘的座舱．某地一摩天轮与地
面的垂直高度（最高处与地面的距离）为 208 米，直径 193 米，入口在最底部．摩天轮逆时针方向匀速转
动，30 分钟转一圈，假设该摩天轮共有 36 个座舱，且每两个座舱间隔相等，则下列说法正确的是（ ）
A. 若摩天轮的转速减半，则其旋转一圈的时间是原来的一半
B. 乘客从入口进入座舱，摩天轮开始转动后，乘客距离水平地面的高度 （米）与时间 （分钟）的函数解
析式为
C. 乘客从入口进入座舱，摩天轮开始转动后，经过 10 分钟，乘客距离地面的高度为 163.25 米
D. 游客乙在游客甲后进入座舱，且中间间隔 5 个座舱，在摩天轮转动一周的过程中，两人距离地面的高度
差的最大值为 96.5 米
【答案】BD
【解析】
【分析】由转速和转动时间的关系判断选项 A；待定系数法求 的函数解析式判断选项 B；利用函数解
析式求函数值判断选项 C；辅助角公式化简高度差的表达式，结合三角函数知识求最大值判断选项 D．
【详解】对于 A，若摩天轮的转速减半，则其旋转一圈的时间是原来的 2 倍，故 A 错误；
对于 B，设乘客距离水平地面的高度 （米）与时间 （分钟）的函数解析式为 ，
， ， ，
则 且 ，解得 ， ，
摩天轮转动的周期为 30 分钟，由于 ，则 ，
所以 ，
令 ，则有 ，解得 ，
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所以 ，故 B 正确；
对于 C，当 时， （米），故 C 错误；
对于 D，两人间隔 5 个座舱，乙与甲进入座舱的时间间隔为 5 分钟，
所以两人距离地面的高度差，
，
当 时， ，
当 或 ，即 或 25 时， 取得最大值 96.5（米），故 D 正确．
故选：BD．
11. 如图，在棱长为 2 的正方体 中， 为棱 的中点， 为侧面 内一点（含
边界），则（ ）
A. 若 为线段 上一点，则三棱锥 的体积为定值
B. 若该正方体表面上的动点 满足 ，则动点 的轨迹长度是
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C. 若 为侧面 的中心，则过点 且与 垂直的平面截正方体所得截面面积为
D. 若该正方体的内切球表面上的动点 满足 平面 ，则线段 长度的最小值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】由 平面 ，结合三棱锥的体积公式判断 A；确定动点 的轨迹并求出长度判断 B；确
定符合条件的截面并求出面积判断 C；确定符合条件的点 的轨迹，再求出 长度的最小值判断 D.
【详解】对于 A，若 为 上一点，由 、 平面 、 平面 ，
得 平面 ，则点 到平面 的距离为定值，又 的面积为定值，
因此三棱锥 的体积为定值，A 正确；
对于 B，动点 在正方形 、正方形 、正方形 内，
其轨迹是以点 为圆心，2 为半径的 圆弧，
因此动点 的轨迹长度是 ，B 错误；
对于 C，若 为 的中心，即 的中点，取 的中点 ，
连接 ，则 ，
由 平面 得 ，则 ，
又 平面 ，
于是 平面 ， ，取 中点 ，连接 ，同理 ，
因此 平面 ，过 与 垂直的平面截正方体所得截面为 ，
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，则 的面积为 ，C 正确；
对于 D，在正方体 中，平面 平面 ，
由点 满足 平面 ，则点 平面 上，
又点 在正方体的内切球表面上，
则点 的轨迹为正三角形 的内切圆，记圆心为 ，半径为 ，
因此 的最小值为 ，D 正确.
故选：ACD
三、填空题（本大题共 3 个小题，每小题 5 分，共 15 分）
12. 设随机变量 ，且 ，则 ___________．
【答案】
【解析】
【分析】先求解出 ，然后根据正态分布曲线的对称性可求解出 .
【详解】因为随机变量 ，所以其正态曲线关于 对称，
因此： ，
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又因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 .
故答案为： .
13. 过点 与圆 相切的两条直线的切点分别为 ，则 ___________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】先将圆的方程化为标准方程，从而得到圆心坐标和半径，再根据点到直线的距离公式求出圆心到
点 的距离，然后利用勾股定理求出切线长，最后根据三角形面积公式求出弦长 .
【详解】将圆 化为标准方程得到 ，
所以圆心 ，半径 ，
则 .
在直角三角形 中， ，
所以 ；
同时 ，代入得到 .
故答案为： .
14. 设 ，则称 为 这 个数的几何平均数．若从等比数列
中删除一个数 ，剩下的 个数的几何平均数为 ，则
___________．
【答案】
【解析】
【分析】求出若删除的是 1 或 ，则剩下的 个数的几何平均数最大或最小，从而得到不等式
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，即可求解.
【详解】若删除的是 1，则剩下的 个数的几何平均数最大，
最大值为 ；
若删除的是 ，则剩下的 个数的几何平均数最小，
最小值为 ，
则 ，解得 ，
又 ，可得 .
故答案为： .
四、解答题（本大题共 5 个小题，共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 如图，在平面四边形 中， ．
（1）证明： ；
（2）已知 ， 的外接圆半径为 1，求 面积的最大值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理和角的关系可证结论；
（2）利用正弦定理、余弦定理以及根与系数关系即可得 ，再利用三角形面积公式得到
面积表达式，再求出的范围即可得到最值.
【小问 1 详解】
证明：设 ，
因为 ，所以 ，
在 中，由正弦定理得， ，
在 中，由正弦定理得， ，
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所以 .
【小问 2 详解】
因为 的外接圆半径为 1，
由正弦定理 ，得 ，
在 中，由余弦定理得 ，
即 ，①
在 中，同理可得 ，②
由①②可知， 是关于的方程 的两根，
所以 ．
的面积为 .
由 ，得到 ，
又因为 ，所以 ，
所以
即 面积的最大值为 .
16. 如图 1，在正方形 中， ， 为 的中点，过点 作 的垂线，与 分别交
于点 ，把四边形 ABFD 沿 BF 折起，使得 AO 平面 BCF，点 A，D 分别到达点 的位置，连接
，如图 2.
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（1）设 ， 是线段 （不含端点）上一动点，问：是否存在点 ，使 ？若存
在，求出 的值；若不存在，请说明理由；
（2）求平面 与平面 所成角的余弦值.
【答案】（1）存在，
（2） ．
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，设 .结合 ，得 ，
利用 ，计算得出结果；
（2）利用空间向量法计算平面 与平面 所成角的余弦值；
【小问 1 详解】
存在点 ，且当 时， .
由题意，知 两两垂直，所以以点 O 为原点，分别以 为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系.
因为
所以可求得
所以 所以 .
因为点 在线段 上，所以可设 .
因为 ，所以点 ，
所以 ，
假设存在点 ，使得 ，则 ，
所以 ，解得 ，即 所以 ，
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所以存在点 ，且当 时， .
【小问 2 详解】
由（1）得
所以 ， ， ， = .
设平面 的法向量为 ，则 ，
取 ，得 ，则 是平面 的一个法向量.
设平面 的法向量为 ，则 ，
取 ，得 ，则 是平面 的一个法向量.
设平面 与平面 所成的角为 ，
则 = ，
所以平面 与平面 所成角的余弦值为 ．
17. 如图，已知椭圆 的离心率为 ，线段 ， 分别为 的长轴与短轴，
四边形 的面积为 .
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（1）求 的标准方程；
（2）若直线 与 分别交于 ， 两点，且总有 平分 求证：直线 恒过定点，并求出定点
坐标；
【答案】（1）
（2）证明见解析，
【解析】
【分析】（1）根据离心率和椭圆的性质求解 的值，得 的标准方程；
（2）令 ， ，得到 ，故有 ，
设 ， ， ，联立方程组，化简得 ，可得定点.
【小问 1 详解】
由题意得 ，
，解得 ， ，
椭圆 的标准方程为 ；
【小问 2 详解】
令 ， ，
由 平分 ，可知直线 、 、 倾斜角的大小关系，
得到 ，故有 ，
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故有 ，化简得到 （※）
设 ， ， ，
联立 ，有 ，
于是有 ， ，
又 ，
，代入※式化简得， ，
则直线 ，
即可证 过定点
18. 已知函数 ．
（1）当 时，讨论 的单调性；
（2）当 时，若曲线 恰有两条过点 的切线，求实数 的取值集合；
（3）设 为非负实数， 为正实数，若 ，证明： ．
【答案】（1）答案见解析；
（2） ；
（3）证明见解析.
【解析】
分析】（1）求导，通过 和 讨论函数单调性，即可求解；
（ 2） 设 切 点 为 ， 得 到 切 线 方 程 ， 代 入 ， 问 题 转 换 成 方 程
有 2 个根，构造函数 ，则 有 2 个根，进而求解即可；
（3）不妨设 ，通过 时，或 时，或 ，三种情况分类讨论即可.
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【小问 1 详解】
当 时， ，
则 ；
当 时， ，所以 在区间 上单调递增.
当 时，令 ，得到 ，
当 时， ，所以 在区间 上单调递增；
当 时， ，所以 在区间 上单调递减；
综上所述，当 时， 在区间 上单调递增；
当 时， 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减.
【小问 2 详解】
当 时， ，则 ，
设切点为 ，
所以切线方程为 ，
因为切线过点 ，所以
整理得到 ，
因为若曲线 恰有两条过点 的切线，
所以方程 有两个不同的实数根.
令 ，
则问题转化为 有两个不同实根，
令 得 ，即 在区间 上单调递增；
令 得 ，即 在区间 上单调递减；
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极大值 ，极小值 ，
所以 或 ，解得 或 ；
所以求实数 的取值集合为 .
【小问 3 详解】
不妨设 ；
当 时，左边 ，右边 ，所以左边 右边，
当 时，左边 ，右边 ，所以左边=右边，
当 时，
因为 为正实数且 ，所以 ，
要证 ，即证 ，
即证 ，
即证 ，
令 ，则 ，
因为 ，所以 ，所以 在 上单调递减，
所以当 时， ，所以 ，
所以 在 上单调递增，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，即 ，
综上可知 .
19. DM 训练机器人玩传球游戏，现有编号为 的 位球员围成一个圆，机器人 DM
居于圆心位置，传球规则如下：球由 DM 传给球员，任何球员接球都直接传回 DM 为一次传球．DM 传球
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给目标球员顺序依次为 1→2→3→…→ ．每次传球时，DM 只从尚未接球的球员中随机选择一人，若选中
当前目标球员（如当前应传至 号，则 为目标球员），则传球成功且之后不再给该球员传球，目标球员更
新为 号；若选中非目标球员，则传球失败，球传回 DM，DM 记下该球员编号，并在其成为目标球员
时直接传球给该球员，且在其成为目标球员前不会再给该球员传球；传球无论成功与否均计为 1 次传球，
直到第 号球员接球后传回机器人 DM 游戏终止．
（1）当 时，
（i）求 DM 第 3 次恰好成功完成给 2 号球员传球的概率；
（ii）设 为完成全部传球所需总次数，求 的分布列及数学期望 ；
（2）设 为完成全部传球所需总次数，若 ，证明： ．
【答案】（1）（i） ；（ii） 的分布列为
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数学期望 .
（2）证明见详解
【解析】
【分析】（1）（i）由题干可知，第一、三次传球成功且第二次失败，或第一次失败且第二、三次成功，再利
用分步乘法计数原理计算即可；
（ii）先求出 的取值范围，再求出对应的概率，代入公式即可；
（2）记 为第 号球员接球的次数，将抽取球员的编号理解为一个数列，计算 在最后一位的情况占
排列的比例，结合 即可证明.
【小问 1 详解】
（i）设事件 A 为＂第 3 次恰好成功完成给 2 号球员传球＂，
情况一：第 1 次传球成功（传给 1 号），第 2 次失败，第 3 次成功（传给 2 号），
概率为 ，
情况二：第 1 次传球失败，第 2 次成功（传给 1 号），第 3 次成功（传给 2 号），
①：第 1 次传球选中的是 2 号，则第 3 次对 2 号是直接传球，
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概率为 ，
②：第 1 次传球选中的非 2 号球员（ 号之一），则第 3 次对 2 号是随机选择成功，概率为
，
综上， .
（ii） 可能的取值为 ，
，
当 时，2 到 5 号球员恰好全部在 1 号成功之前误传，
则 ，
当 时，只有 1 位球员在所有比他小的球员传球时误传， ，
当 时，有 3 次误传， ，
，
故 的分布列为
5 6 7 8 9
数学期望 .
【小问 2 详解】
记 为第 号球员接球的次数，则 ，
时，将抽取球员的编号理解为一个数列： ，
表示第一次选错了 2，第二次选对了 1，第三次由于此时目标为 2，直接给 2，
不难发现，若 ，将各元素第一次出现的相对次序记为一个数列，如 ，
则 必在 出现之后再出现，
相当于计算 在最后一位的情况占 排列的比例，
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则 ， ， ,
.
对任意 ，有 ，
下面证明该不等式成立，设 ， ，
则 在 上恒成立，
则 在 上单调递减，则 ，
即 在 恒成立，
令 ，则： ，
则 ，
则 .
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