湖南省长沙市第一中学2025-2026学年高二下学期开学考试数学试题含答案

这是一份湖南省长沙市第一中学2025-2026学年高二下学期开学考试数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 A={x∣−1c>b C. c>b>a D. c>a>b
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的四个选项中, 有多项符合题目要求, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知 a>0,b>0 ,且 a+b=1 ,则()
A. 4a+1b≥9 B. 2a−b>12
C. lg2a+lg2b≥−2 D. a+b≤2
10. 如图,在棱长为 2 的正方体 ABCD−A1B1C1D1 中, M,N 分别是线段 A1B,AC 上的动点 (不含端点),且 A1M=AN=a ,则下列结论正确的是 ( )

A. 若 a=2 ，则直线 MN 与直线 B1D1 的夹角为 π3
B. 三棱锥 M−ABN 体积的最大值为 13
C. 存在 a∈0,22 ，使得 MN// 平面 B1CD1
D. 若 a=2 ,则三棱锥 M−ABN 外接球的表面积为 8π
11. 已知抛物线 E:y2=4x 的焦点为 F ，准线交 x 轴于点 C ，直线 l 过 C 且交 E 于不同的 A,B 两点,且 CA=λCBλ>1 ,下列命题正确的有( )
A. 直线 l 的斜率 k∈−1,0∪0,1
B. 若 BF=32 ,则 AF=4
C. 若 λ=2 ,则 AF=2BF
D. 存在 λ 使得 BF 平分 ∠AFC
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 在 △ABC 中, a,b,c 分别为内角 A,B,C 所对的边, A=23π,a=3 ,且 a=2bcsB ，则 △ABC 的面积为_____.
13. 若函数 fx=x−ax+lnx 在 0,+∞ 上无极值点，则 a 的取值范围为_____.
14. 像 87125 这样各个数位上的数字依次先减少再增加的数称为“凹数”，现用 0∼9 这 10 个数字, 每个数字只用一次, 组成的十位数, 能组成_____个凹数.
四、解答题:本题共 5 小题, 第 15 题 13 分, 第 16, 17 题 15 分, 第 18, 19 题 17 分, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知定义在 R 上的函数 fx=aex+be−xa>0,b>0
(1)若 a=2,b=1 ,求出曲线 y=fx 在点 0,f0 处的切线方程; (2)求 fx 的极值.
16. 平面上两个等腰直角 △PAC 和 △ABC ， AC 既是 △PAC 的斜边又是 △ABC 的直角边，沿 AC 边折叠使得平面 PAC⊥ 平面 ABC ， M 为斜边 AB 的中点.

(1)求证: AC⊥PM ；
(2)在线段 PB 上是否存在点 N ，使得平面 CNM⊥ 平面 PAB ? 若存在，求出 PNPB 的值；若不存在, 说明理由.
17. 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn,Sn=2an+2n−5n∈N∗ ,公差不为 0 的等差数列 bn 满足 b1=1,b2b3=b8
(1)证明:数列 an−2 为等比数列.
(2)记 cn=bnan+1−2 ，求数列 cn 的前 n 项和 Tn .
18. 已知无障碍时红方、蓝方发射炮弹攻击对方目标击中的概率均为 23 ，红方、蓝方空中拦截对方炮弹成功的概率分别为 12,14 ,现红方、蓝方进行模拟对抗训练,每次由一方先发射一枚炮弹攻击对方目标，另一方再进行空中拦截，轮流进行，各攻击对方目标一次为 1 轮对抗.经过数轮对抗后, 当一方比另一方多击中对方目标两次时, 训练结束.假定各轮结果相互独立. 记在 1 轮对抗中,红方击中蓝方目标为事件 A ,蓝方击中红方目标为事件 B .
(1)求概率 PA 、 PB ；
(2)设随机变量 X 表示经过 1 轮对抗后红方与蓝方击中对方目标次数之差，求 X 的分布列和数学期望;
(3)求恰好经过 3 轮对抗后训练结束的条件下，红方多击中蓝方目标两次的概率.
19. 双曲线 C:x2a2−y2b2=1 的实轴长为 23 ,且过点 2,3 ,双曲线的左、右顶点分别为
A,B ,右焦点为 F ,过 F 的直线 l 交双曲线右支于 M,N 两点,设直线 AM、BN 交于点 P .
(1)求双曲线 C 的方程；
(2)证明:点 P 在定直线 h 上；
(3)连接 AN 交直线 h 于点 Q ，证明:以 PQ 为直径的圆与直线 l 相切.
1. B
因为 A={x∣−1