湖南省长沙市第一中学2026届高三下学期开学考试数学试卷含解析（word版）

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1. 答卷前、考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号. 回答非选择题时, 将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效.
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题(本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的)
1. 已知集合 U=R,A=x x2>1,B={x∣2x+1>0} ，则 ∁UA∩B= ( )
A. −12,+∞ B. −12,1 C. −12,1 D. −1,−12
【答案】C
【解析】
【分析】解不等式化简集合 A,B ,再利用补集、交集的定义求解.
【详解】依题意, A={x∣x1},∁UA=−1,1,B={x∣x>−12}=−12,+∞ , 所以 ∁UA∩B=−12,1 .
故选:C
2. 已知 a,b 是两个不共线的向量,向量 b−ta,12a−23b 共线,则实数 t 的值为 ( )
A. 13 B. 32 C. 43 D. 34
【答案】D
【解析】
【分析】根据向量共线,可得 b−ta=λ12a−23b ,列方程即可求得答案.
【详解】因为向量 b−ta,12a−23b 共线,
所以存在实数 λ ,使得 b−ta=λ12a−23b=−2λ3b+λ2a ,
所以 1=−2λ3−t=λ2 ,解得 λ=−32t=34 ,则 t=34 .
故选: D.
3. 已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ,其中 an=19−2n ,则 Sn 取得最大值时 n 的值为 ( )
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
【答案】B
【解析】
【分析】根据等差数列的性质进行判断即可.
【详解】因为等差数列 an 满足 an=19−2n,n0,n≥10 时, an0 在区间 1,2 上恒成立即 a2≤11−a≥0⇒a≤2a≤1 ,即实数 a 的取值范围是 (−∞,1] .
故选: B.
6. 已知 PM=12,PM∣N=35,PM∣N=110 ,则 PN= ( )
A. 45 B. 34 C. 23 D. 25
【答案】A
【解析】
【分析】应用全概率公式、对立事件的概率求法列方程求 PN .
【详解】由全概率公式知 PM=PNPM∣N+PNPM∣N =PNPM∣N+1−PNPM∣N=35PN+1101−PN =12PN+110=12,
所以 PN=45 .
故选: A
7. 在平面直角坐标系 xOy 中, A−2,0,B2,0 ,直线 AM 的斜率与直线 BM 的斜率的差是 2,则 OM 的最小值为 ( )
A. 3 B. 6C. 455 D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】设 Mx,y ,由直线 AM 的斜率与直线 BM 的斜率的差是 2,得到点 M 的轨迹方程 y=−12x2+2,x≠±2 ; 由 OM=x2+y2 ,化简得到 OM2=14x4−x2+4 ,
利用换元法令 t=x2 ，求解得到 OMmin=3 .
【详解】设 Mx,y ,
因为直线 AM 的斜率与直线 BM 的斜率的差是 2,
所以 yx+2−yx−2=2 ,
化简得到点 M 的轨迹方程 y=−12x2+2,x≠±2 ,
由 OM=x2+y2 ,将 y=−12x2+2 代入得到
OM2=x2+−12x2+22=14x4−x2+4 ,
令 t=x2 得到 t≥0 且 t≠4 ,
所以 OM2=14t2−t+4,t≥0且t≠4 为开口朝上的二次函数,对称轴 t=2
当 t=2 时, OMmin2=3 ,所以 OMmin=3 .
故选: A.
8. 已知函数 fx=21−x,0≤x≤2,12fx−2,x>2, 函数 gx=fx−kx 有 4 个零点,则实数 k 的取值范围是( )
A. 18,12 B. 14,12 C. 18,14 D. 18,14
【答案】D
【解析】
【分析】由题作出函数 fx 图象,将题意转化为 y=fx 与 y=kx 有 4 个交点,结合图象分析求解即可.
【详解】当 0≤x≤1 时, fx=2−2x ,当 1≤x≤2 时, fx=2x−2 ,
当 2