湖南长沙市第二十六中学等校2025-2026学年高三下学期开学考试数学试题含答案

这是一份湖南长沙市第二十六中学等校2025-2026学年高三下学期开学考试数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了 已知抛物线 C等内容，欢迎下载使用。
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号. 回答非选择题时, 将答案写在答题卡上, 写在本试卷上无效.
3.考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷分为 4 页, 共 19 题, 考查范围: 高考全部内容.
一、单项选择题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选 项中, 只有一项是符合题目要求的)
1. 已知集合 A=x x2−3x−4b>c B. a>c>b C. c>a>b D. b>a>c
4. 将函数 fx=sin2x+π3 的图像向右平移 φφ>0 个单位长度后,所得图像关于 y 轴对称,则 φ 的最小正值为( )
A. π12 B. π6 C. 5π12 D. π3
5. 已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ,若 a3+a7=12 ,则 S9= ( )
A. 36 B. 45 C. 54 D. 63
6. 一个圆台形水桶，其上下底面的半径分别为10cm 和 20cm，母线长为26cm，则该水桶的容积(忽略桶壁厚度)为( )
A. 1400πcm3 B. 2800πcm3 C. 5600πcm3 D. 11200πcm3
7. 已知抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F ,过 F 的直线 l 与 C 交于 A,B 两点,若 AF=3 ,则 BF= ( )
A. 32 B. 2 C. 12 D. 3
8. 已知函数 fx=ex−ax2−x ,若当 x≥0 时, fx≥1 恒成立,则实数 a 的取值范围是 ( )
A. −∞,12 B. (−∞,1] C. 12,+∞ D. [1,+∞)
二、多项选择题(本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分)
9. 某中学高一年级 100 名学生的数学期中考试成绩的频率分布直方图如图所示, 下列说法正确的有( )
某中学高一年级100名学生数学期中考试成绩频率分布直方图

A. 成绩落在 [80,90) 区间的频率为 0.3
B. 这 100 名学生成绩的中位数为 75
C. 这 100 名学生成绩的平均数为 76
D. 成绩低于 60 分的学生人数为 10 人
10. 已知函数 fx=sin2x−π4 ,下列关于该函数的说法正确的有( )
A. fx 的最小正周期为 π
B. fx 的图象关于直线 x=3π8 对称
C. fx 在区间 −π8,3π8 上单调递增
D. fx 的图象可由 y=sin2x 的图象向左平移 π4 个单位得到
11. 如图,在棱长为 2 的正方体 ABCD−A1B1C1D1 中, E,F 分别为 AB,CC1 的中点,下列说法正确的有( )

A. 直线 EF// 平面 A1BD
B. 直线 EF⊥ 平面 B1D1C
C. 异面直线 EF 与 A1D 所成角的余弦值 36
D. 三棱锥 C−EFB 的体积为 13
三、填空题(本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
12. 已知向量 a=1,2 ， b=x,−1 ，若 a⊥a+b ，则 x= _____.
13. 二项式 2x−1x6 的展开式中的常数项为_____.
14. 已知点 P 是椭圆 C:x24+y23=1 上的动点,点 Q 是直线 l:x−2y−8=0 上的动点,则 PQ 的最小值为_____.
四、解答题(本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤)
15. 在 △ABC 中，内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ，且满足 2b−ccsA=acsC . (1)求角 A 的大小；
(2)若 a=2,ΔABC 的面积为 3 ，求 △ABC 的周长.
16. 如图，在四棱锥 P−ABCD 中，底面 ABCD 为矩形， PA⊥ 平面 ABCD,PA=AB=2,BC=3 ， E 为 AD 的中点.

(1)证明:平面 PAD⊥ 平面 PAB ；
(2)求直线 PC 与平面 PBE 所成角的正弦值.
17. 某新能源汽车企业为了检验一款新车型的续航能力, 随机抽取了 100 辆该车型, 在相同条件下进行续航测试, 得到续航里程 (单位: km) 的频率分布表如下:
(1)求这 100 辆该车型续航里程的平均数 x 和方差 s2 (同一区间的数据用该区间的中点值作代表);
(2)由频率分布表可认为，该车型的续航里程 X 服从正态分布 Nμ,σ2 ，其中 μ 近似为样本平均数 x,σ2 近似为样本方差 s2 .
(i) 求 P480.6