浙教版（2024）八年级下册（2024）1.3 二次根式的运算第1课时导学案

这是一份浙教版（2024）八年级下册（2024）1.3 二次根式的运算第1课时导学案，共8页。

情景创设：
1.底面面积：6​×6​=6平方厘米；体积：6×3​=63立方厘米(或先化简无更优空间)；直角三角形直角边相乘：8​×2​=16​=4，先化简8​=22​，再计算22​×2​=4，两种方法均可行，先化简更易规避复杂计算；
2.三角形面积：12×4=2平方厘米，运算结果需化为最简二次根式(如遇12需化为22​​)。
探究一：
解：设AD=xm，则BD=0.6xm，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
AD2+BD2=AB2，
即：x2+0.6x2=152，
解得：x=753434，
即AD=753434，
则AE=AD+DE=753434+2=7534+6834 m，
答：云梯的顶端离地面的距离AE为7534+6834 m。
例1：解：12×6=2×6=22×3=23；
253×2710=53×2710=92=32×222=322；
31.8×1091.5×108=1.8×1091.5×108=12=23.
例2：解：如图1-2，作AD⊥BC于点D，则BD=CD=12BC=12×22=2.
在Rt△ACD中，
AD=AC2−CD2=222−22=6.
所以S△ABC=12×BC×AD=12×22×6=23(平方分米)。
答：这个图案的面积为23平方分米.
课堂练习：
答案：1.C；2.D；3.B；4.32；22；5.52；5；79；
6. 解： 2bab2÷13ba⋅(−32a3b)=2a÷ab3a·−3aab2=2a·3aab·−3aab2=6abb·−3aab2=−9a2a.
7. 解：∵S=ab，
∴a=Sb=2310=305，
又由勾股定理：l=a2+b2，
∴l=(305)2+(10)2=2705.
8. 【答案】解：上述式子的规用含自然数n(n为正整数)的代数式可表示为 n+1n+2=(n+1)1n+2(n≥1)
∵左边= n(n+2)+1n+2=n2+2n+1n+2=(n+1)2n+2=(n+1)1n+2 =右边
∴n+1n+2=(n+1)1n+2(n≥1) .
作业设计：
答案：1.B 3×4=3×2=23.
2.C 12×8=12×8=4=2，所以A错误；
2×6=2×6=4×3=23，所以B错误；
3×9=3×3=33，所以C正确；
7×14=7×7×2=72×2=72，所以D错误.
故选C.
3.C 273=273=9=3≠273，所以C中等式不成立.
4.C 3×2÷23×2=3×2×123×2=1.
5.B 因为长方形的面积为43，一条边的长为15，
所以其邻边的长为43÷15=4315=415=455.
6.解析 (1)33x−27=0，
方程两边同时除以33，得x-1=0，
移项，得x=1.
(2)3(x-1)=45，
即3(x-1)=35，
方程两边同时除以3，得x-1=5，
移项，得x=5+1.
7.解析 36÷26÷3=36×126×13=36×12×66×33=32.
答：它的高为32.
8.C 8a÷2a=8a2a=4=2.
9.910
解析 因为10×m=3，
所以m=310=910=910，所以m=910.
10.11 011
解析 原式=2×12 022×12 022=11 011.
11.-4
解析 ∵2×12=2×23=26，
∴a=2，b=6，∴a-b=2-6=-4.
12.解析 由题可知6a3≥0，a3≥0，a23≠0，∴a>0，
∴原式=4a6a÷3a×2a3a3
=42a×2a3a3=86a23.
13.(1)解：原式=3×22×2=322.
(2)解：原式=2−1(2+1)(2−1)+3−2(3+2)(3−2)+4−3(4+3)(4−3)+⋯+99−98(99+98)(99−98)+100−99(100+99)(100−99)
＝2−1+3−2+4−3+⋯+99−98+100−99＝100−1=9.
课题
1.3二次根式的运算第1课时
单元
一
学科
数学
年级
八
学习
目标
1.掌握二次根式的乘除运算法则，能正确进行根式乘除运算；能规范将运算结果化为最简二次根式，实现分母不含根式；
2.经历“法则推导—基础运算—拓展应用”的过程，提升运算求解与策略选择能力；
3.发展运算素养与推理意识，建立“法则应用—策略优化—结果规范”的运算思维；
4.感受二次根式运算的实用性，培养规范运算、细致严谨的习惯，激发对复杂根式运算的探究兴趣。
重点
1.掌握二次根式的乘除运算法则，能正确进行简单的根式乘除运算；
2.规范运算结果，确保化为最简二次根式(分母不含根式、根号内无开得尽方的因数或因式)。
难点
灵活选择运算策略(先运算再化简或先化简再运算)，解决含小数、幂、几何情境的复杂根式乘除问题，同时保证运算过程的严谨性与结果的规范性。
教学过程
导入新课
情景创设
要制作一个底面为正方形的长方体收纳盒，底面边长为6厘米，高为3厘米；另外要计算一个直角三角形木板的面积，两条直角边分别为8厘米和2厘米。
提问引导
1.计算长方体底面的面积和体积，直接用根式相乘如何计算？先化简再计算是否更简便？
2.直角三角形的面积是多少？计算结果的根式形式是否符合 “最简” 要求？怎样规范二次根式的运算结果？
新知讲解
探究活动一：二次根式的乘除运算法则
如图，架在消防车上的云梯AB长为15m，AD:BD=1:0.6，云梯底部与地面的距离BC为2m。你能求出云梯的顶端离地面的距离AE吗？
总结归纳：
根据二次根式的性质，我们可以得到：
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
上述法则可以用于二次根式的乘除运算.
探究活动二：例题精讲
例1 计算：
(1)2×6； (2)53×2710； (3)1.8×1091.5×108
探究活动三：二次根式乘除的应用
例3：如图1-2，一个正三角形图案边长为22分米，求这个图案的面积。
课堂练习
课堂练习
1.下列运算错误的是( )
A.5×11=5×11
B.5÷3=53
C.16+9=16+9
D.4a2b3=2abb(a>0)
2.下列各式中属于最简二次根式的是( )
A.23B.0.5C.16D.3
3.下列二次根式中，最简二次根式是( )
A.8B.a2−b2C.1x−1D.153
4.(1)3×6= ；(2)243= .
5.计算：①5×10＝ ，②5×153＝ ，③4981＝ .
6.计算2bab2÷13ba⋅(−32a3b)
7.设矩形的面积为S，相邻两边长分别为a、b，对角线长为l，已知S=23，b＝10，求a和l.
8.观察下列各式： 1+13=213 ， 2+14=314 ， 3+15=415 ，…，请你将发现的规律用含自然数 n(n≥1) 的形式表示出来，并证明.
课堂小结
通过本节课的学习你收获了什么？
作业设计
基础达标：
1. 3×4的值是 ( )
A.7 B.23 C.−23 D.±23
2.下列计算正确的是 ( )
A.12×8=±2B.2×6=62 C.3×9=33D.7×14=27
3.下列等式不成立的是 ( )
A.273=273 B.273=333 C.273=273 D.273=9×33
4.计算3×2÷23×2的结果是 ( )
A.2 B.22 C.1 D.12
5.长方形的面积为43，一条边的长为15，则其邻边的长为 ( )
A.45 B.455 C.54 D.45
能力提升：
6.解方程：
(1)33x−27=0； (2)3(x-1)=45.
7.长方体的体积为36，长为26，宽为3，则它的高为多少?
8.计算8a÷2a的结果为 ( )
A.2 B.6a C.2 D.4a
9.若10×m=3，则m= .
10.计算：2÷2 022×12 022= .
拓展迁移：
11.若2×12=2·a3=ab，则a-b= .
12.计算：46a3÷3a23×2aa3.
13. 阅读下列运算过程：
①13=33×3=33，
②15+2=5−2(5+2)(5−2)=5−25−2=5−23
数学上把这种将分母中的根号去掉的过程称作“分母有理化”.模仿上述运算过程，完成下列各题：
(1)32；
(2)11+2+12+3+13+4+⋯+198+99+199+100。